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上海市七宝中学2009届高三3月月考(数学理)


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上海市七宝中学 上海市七宝中学 2009 届高三 3 月月考
理科) 数学试题(理科) 命题、审卷、制卷: 命题、审卷、制卷:卢立臻
一、填空题(每题 5 分,共 60 分) : 1. 已知集合 U = {?1,2,x lg x } , A = {?1,2} ,且 ?U A = {10} ,则 x = 2. 已知 △ ABC 的三内角满足 sin 2 A = sin 2 C + sin 2 B + 3 sin C sin B , 则角 A 的大小为 3. 已知 . . .

m = 1 ? ni ,其中 m,n 是实数, i 是虚数单位,则 | m + ni |= 1+ i a9 2 = a11
. 开始

4. 在等比数列 {an } 中,若 a3 ? a7 ? a11 = 27 ,则

?x = t ? 2 ? 5. 曲线 C: ? 1 (t 为参数)的对称中心坐标是 ?y = t +1 ?
6. 如果将函数 y = sin(2 x +

f ( x) = x 4 ? 16 x + 1
.

a = ?2,b = 2

π
4

) 的图像向右平移

π
8

个 是

m=

a+b 2

单位得到函数 y = g ( x ) 的图像,则函数 y = g ( x ) 的解析式为 .

f (m) = 0?


r r 7. 已知向量 a = {x1, y1} 和向量 b = {x2, y2 } ,
r r 将 a 和 b 的数量积用行列式的形式表示

4

( * )




b=m

a=m


.

| a ? b |< 0.0001?

打印m

8. 右上图是用二分法求方程 x ? 16 x + 1 = 0 在 [ ?2, 2] 的近似解的程序框图,要求解的

结束

精确度为 0.0001 ,则 ( * ) 处应填的内容是_________________. 9. 已知 ( ax + 1) n 的展开式中,二项式系数和为 32 ,各项系数和为 243 ,则 a = 10. 某人参加某电视台举办的答题游戏,从 8 道备选题中任抽取 4 道作答.已知他答对 题目的个数 ξ 的分布律如下表所示,则 ξ 的数学期望 E (ξ ) = . 3 4 .

ξ
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0

1
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2

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P

1 81

8 81

8 27

32 81

16 81

11. 给出下列 5 个命题:①函数 f ( x ) = x | x | + ax + m 是奇函数的充要条件是 m = 0 ;② 若函数 f ( x ) = lg(ax + 1) 的定义域是 {x | x < 1} ,则 a < ?1 ;③若 log a 2 < log b 2 ,则

lim

a n ? bn = 1 (其中 n ∈ N * ) ;④圆: x 2 + y 2 ? 10 x + 4 y ? 5 = 0 上任意一点 M 关于 n →∞ a n + b n

直线 ax ? y ? 5a = 2 的对称点 M ′ 也在该圆上;⑤函数 y = cos | x | 是周期函数. 其中正确结论的序号是 12. 已知 f ( x) = .(填写你认为正确的所有结论序号)

1 ,且关于 x 的方程 f 2 ( x) + bf ( x) + c = 0 有 k ( k ∈ N * ) 个根, | x ? 1| ?1
.(请写出所有可能值)

则这 k 个根的和可能是 二、选择题(每题 4 分,共 16 分) :

13. 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 对 于 任 意 n ∈ N , 点 Pn ( n,S n ) 都 在 直 线
*

y = 3x + 2











{an }

( ) A.是等差数列不是等比数列 C.是常数列

B.是等比数列不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 )

14. m、n 是不重合的两直线, α、β 是不重合的两平面,则下列命题正确的是 ( A.若 m // α,n ? α ,则 m // n ; C.若 m ⊥ α,m ⊥ β ,则 α // β ; B.若 m // α,m // β ,则 α // β ;

D.若 α I β = n,m // n ,则 m // α 且 m // β
o

15. 已知 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC = 2 3,∠BAC = 30 ,若 ?MBC 、 ?MAB 、

uuu uuur r

1 1 4 ?MAC 的面积分别为 、 x、y , 则 + 的最小值是( ) 2 x y
A.9 B. 16 C. 18 D. 20

16. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f ( x) 的图 象恰好通过 n(n ∈ N * ) 个整点,则称函数 f ( x) 为 n 阶整点函数.有下列函数:

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① f ( x ) = sin 2 x ; ② g ( x) = x 3 ; 其中是一阶整点函数的是 ( A.①②③④ B.①③④

③ h( x) = ( ) ;
x

1 3

④ ? ( x) = ln x .

) C.①④

D.④

三、解答题(共 74 分) : 17. (本题满分 12 分)如图, ABCD 是底面半径为 1 的圆柱 OO1 的轴截面, P 是下底面 , 圆周上一点(异于 A、B ) (1)判断 A、B、D、P 是否在同一个球面上,说明理由; (2)若 DP 与底面所成的角是 45 ,圆柱的体积为 3π ,求二面角 B ? AD ? P 的大小.
o

D

O1

C

A

O P

B

18. (本题满分 14 分)已知 f ( x ) =

x ∈ [0, ] . 2
(1)若 f ( x ) = 0 ,求常数 a、b、c 所满足的条件; (2)当 a = b = c ≠ 0 时,求函数 y = f ( x) 的值域.

π

a ? c cos x b ? c sin x + ,其中 a、b、c 为正实数, b + c sin x a + c cos x

19. (本题满分 14 分)函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象关于原点对称,且 f ( x ) = x 2 + 2 x . (1)求函数 g ( x ) 的解析式; (2)解不等式 g ( x ) > f ( x ) ? | x ? 1| ;

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(3)若 h ( x ) = g ( x ) ? λ f ( x ) + 1 在 [ ?1,1] 上是增函数,求实数 λ 的取值范围

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) = log 3 像上的两点,横坐标为

3x ,M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) 是 f ( x) 图 1? x

1 的点 P 满足 2OP = OM + ON ( O 为坐标原点). 2

(1)求证: y1 + y2 为定值; (2)若 S n = f ?

?1? ?+ ?n?

?2? f ? ? +L + ?n?

? n ?1 ? * f? ? ,其中 n ∈ N , n ≥ 2 ? n ?

?1 n =1 ?6, ? * 令 an = ? ,其中 n ∈ N ,Tn 为数列 {an } 的前 n 项和, 1 ? ,n ≥ 2 ? 4 ( S n + 1)( S n +1 + 1) ?
若 Tn < m ( S n +1 + 1) 对一切 n ∈ N 都成立,试求 m 的取值范围.
*

(3)对于给定的实数 a ( a > 1) 是否存在这样的数列 {an } ,使得 f ( an ) = log 3 ( 3an +1 ) , 且 a1 =

1 ?若存在,求出 a 满足的条件;若不存在,请说明理由. a ?1
x2 2 + y = 1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的 4

21. (本题满分 18 分)已知椭圆 C1 的方程为

左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; (2)若直线 l:y = kx + 2 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B ,且 OA? OB > 2 (其 中 O 为原点) ,求 k 的范围. (3)试根据轨迹 C2 和直线 l ,设计一个与 x 轴上某点有关的三角形形状问题,并予以 解答(本题将根据所设计的问题思维层次评分).

uuu uuu r r

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2008 学年度七宝中学高三三月考试数学试题参考答案(理) 学年度七宝中学高三三月考试数学试题参考答案(
一、填空题: 1. x = 10 或 x = 6. y = sin 2 x ; 9.2;

1 ; 10
7.

2.

5π ; 6

3. 5 ;

4.3;

5. ( ?2, ; 1)

x1 ? y2
8 3

y1 等; x2

8. f ( a ) ? f ( m ) < 0? 或 f ( b ) ? f ( m ) > 0? ; 11.①④⑤; 12. 2、3、4、5、6、7、8

10. E (ξ ) =

二、 选择题: 13.D; 14.C; 15.C; 16.C 三、解答题: 17. (1)在同一球面上,理由:取线段 BD 的中点 Q ,易证 ?BAD 和 ?BPD 都是直角三 角形,∴ QA = QB = QP = QD ,所以 A、B、D、P 在同一球面上; (2)依题意,显然 ∠BAP 是二面角 B ? AD ? P 的平面角, 又 DP 与底面所成的角是 45 , AP = AD = 2 cos ∠BAP ,
o

3 π ,∴ ∠BAP = . 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ? c cos x + b ? c sin x a +b ?c 18. (1)由 f ( x) = = = 0, (b + c sin x)(b + c sin x) (b + c sin x)(b + c sin x) 2 2 2 得a +b ?c = 0; 1 (2)当 a = b = c ≠ 0 时, y = 1 + sin x + cos x + sin x cos x t 2 ?1 π 令 sin x + cos x = t , sin x cos x = , ∵ x ∈ [0, ] , ∴ 2 2 t = sin x + cos x ∈ [1, 2] , 1 2 y= = , (t + 1) 2 在 [1, 2] 上是增函数, 2 1 + sin x + cos x + sin x cos x (t + 1) 1 ∴ (t + 1) 2 ∈ [4,3 + 2 2] ,∴函数 y = f ( x) 的值域为 [6 ? 4 2, ] 2 19. (1)设函数 y = f (x ) 的图象上任意一点 Q ( x 0 , y 0 ) 关于原点的对称点为 P ( x , y ) ,则
∴ V圆柱 = π ×1× 2 cos ∠BAP =

3π ,∴ cos ∠BAP =

? x0 + x ? 2 =0 ? x0 = ? x ? ,即 ? ∵点 Q ( x0 , y0 ) 在函数 y = f ( x ) 的图象上, ? ? y0 = ? y ? y0 + y = 0 ? 2 ? ∴ ? y = x 2 ? 2 x , 即 y = ? x 2 + 2 x ,故 g ( x ) = ? x 2 + 2 x (2)由 g ( x ) > f ( x ) ? | x ? 1| ,可得 2 x 2 ? | x ? 1|< 0 , 2 当 x ≥ 1 时, 2 x ? x + 1 ≤ 0 ,此时不等式无解
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当 x < 1 时, 2 x + x ? 1 ≤ 0 ,解得 ?1 < x <
2

1 2

1 ① 当λ = ?1时,h ( x ) = 4 x + 1在 [ ?1, ] 上是增函数,
② 当λ ≠ ?1时,对称轴的方程为x = ⅰ)当 λ < ?1 时,

1 2 2 (3) h ( x ) = ? (1 + λ ) x + 2 (1 ? λ ) x + 1
因此,原不等式的解集为 (?1, ) .

∴ λ = ?1

1? λ ≤ ?1 ,解得 λ < ?1 1+ λ 1? λ ≥ 1 ,解得 ? 1 < λ ≤ 0 ⅱ)当 λ > ?1 时, 1+ λ 综上所述, λ ≤ 0 . uuu 1 uuuu uuur r r 1 20. (1)证明:设 P 点坐标为 ( ,y P ) ,由已知可得, OP = (OM + ON ) 2 2 1 1 则 ( ,yP ) = ( x1 + x2,y1 + y2 ) ,∴ x1 + x2 = 1 2 2 3 x1 3 x2 3 x1 x2 y1 + y2 = log 3 + log 3 = log 3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? ( x1 + x2 ) + x1 x2 3 x1 x2 = log 3 =1 1 ? 1 + x1 x2 (2)由(1)知当 x1 + x2 = 1 时, y1 + y2 = f ( x1 ) + f ( x2 ) = 1. 1 2 n ?1 Sn = f ( ) + f ( )L + f ( ), ① n n n n ?1 2 1 n ?1 Sn = f ( ) + L + f ( ) + f ( ), ②,∴ 2 S n = n ? 1 ,故 S n = n n n 2 1 1 1 (3)当 n ≥ 2 时, an = = ? . n +1 n + 2 n +1 n + 2 4× × 2 2 1 1 1 1 1 又当 n = 1 时, a1 = = ? ,所以 an = ? (n ∈ N *) 6 2 3 n +1 n + 2 1 1 1 1 1 1 n 故 Tn = ( ? ) + ( ? ) + L + ( ? )= 2 3 3 4 n +1 n + 2 2(n + 2) * ∵ Tn < m( S n +1 + 1) 对一切 n ∈ N 都成立. Tn n 1 4 ∴m > = = ,而 n + + 4 ≥ 8 (当且仅当 n = 2 时等号成立) 2 4 S n +1 + 1 (n + 2) n n+ +4 n 1 1 ∴ m > ,即 m 的取值范围是 ( , ∞) + 8 8 3an (3)假设存在数列 {an } 满足条件,则 log 3 ( 3an +1 ) = log 3 , 1 ? an

1? λ . 1+ λ

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即 an +1 = 列,

an 1 1 1 1 ? = ? 1 ,∴ { } 是以 = a ? 1 为首项, ?1 为公差的等差数 an +1 an 1 ? an an a1

1 1 1 = a ? 1 + (n ? 1) × (?1) = a ? n ,∴ an = ,注意到 an = ∈ (0,1) an a?n a?n ∴当 a > 3 时,存在这样的有穷数列 {an } ;当 1 < a ≤ 3 时,不存在这样的数列.
于是 21.解: (1)设双曲线 C2 的方程为
2 2 2

x2 y2 ? = 1, a2 b2
2 2

则 a = 4 ?1 = 3 ,再由 a + b = c 得 b = 1,故 C2 的方程为

x2 2 ? y =1 3

x2 2 (2)将 y = kx + 2 代入 ? y = 1得 (1? 3k 2 )x2 ? 6 2kx ? 9 = 0 3 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点得:
?1 ? 3k 2 ≠ 0 1 ? ∴k 2 ≠ 且 k 2 < 1LL① ? 2 2 2 3 ? ? = (6 2k ) + 36(1 ? 3k ) = 36(1 ? k ) > 0 ? 6 2k ?9 A(x1,y1),B(x2,y2 ) ,则 x1 + x2 = , x1 x2 = 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

∴ x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + (kx1 + 2)(kx2 + 2) = (k 2 + 1) x1 x2 + 2k ( x1 + x2 ) + 2 =
又QOA? OB > 2 ,得 x1x2 + y1 y2 > 2 ,∴

3k 2 + 7 3k 2 ? 1

uuu uuu r r

3k 2 + 7 >2 3k 2 ?1

?3k2 + 9 1 3 3 即 , 1) > 0 ,解得: < k 2 < 3,LL②,故 k 的取值范围为 (?1 ? ) U ( , . 2 3k ?1 3 3 3 (3)参考问题 1:若 x 轴上存在点 P ( m,0) ,使 ?APB 是以 AB 为底边的等腰三角形,求 m 的取值范围. 解:显然,当 k = 0 时, P 点坐标为 (0,0) ,即 m = 0 ; 当 k ≠ 0 时,设线段 AB 的中点 M ( x0, y0 ) ,
x1 + x2 3 2k 3 2k 2 2 , y0 = = + 2= 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 2 1 3 2k 于是,线段 AB 的中垂线方程为 y ? = ? (x ? ) ,令 y = 0 ,得 2 1 ? 3k k 1 ? 3k 2 3 3 3 3 4 2k 4 2 m= = ,由①知, k ∈ (?1 ? ) U (? , U (0, ) U ( , , 0) 1) 2 1 3 3 3 3 1 ? 3k ? 3k k 1 ∴ ? 3k ∈ R ,∴ m ∈ R ,且 m ≠ 0 。综上所述, m ∈ R . k 参考问题 2:若 x 轴上存在点 P ( m,0) ,使 ?APB 为等边三角形,求 m 的值. 同问题 1,当 k = 0 时, P 点坐标为 (0,0) ,即 m = 0 ,此时
由(2)知 x0 =

y1 = y2 = 2,AB |=| x1 ? x2 |= 6 ,点 P 到 AB 的距离 d = 2 ,显然不合题意; |
当 k ≠ 0 时,线段 AB 的中垂线方程为 y ?
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2 1 3 2k = ? (x ? ) ,令 y = 0 ,得 2 1 ? 3k k 1 ? 3k 2
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m=

1 4 2k 2 2 ,由①知, k < 1且 k ≠ 2 3 1 ? 3k
2 2

? 6 2k ? (1 + k 2 )(36 ? 36k 2 ) 36 + = 由(2)知: | AB |= 1 + k ? ? 2? 2 |1 ? 3k 2 | ?1 ? 3k ? 1 ? 3k
点 P 到 AB 的距离 d =

|k?

4 2k ?0+ 2 | | 2k 2 + 2 | 3 1 ? 3k 2 = ,且 d = | AB | , 2 1+ k 2 |1 ? 3k 2 | 1 + k 2



| 2k 2 + 2 | |1 ? 3k 2 | 1 + k 2
2 2

=

3 (1 + k 2 )(36 ? 36k 2 ) 5 3 ? ,解得, k = ± , 2 2 |1 ? 3k | 9

5 6 . 4 参考问题 3: x 轴上存在点 P ( m,0) , ?APB 是以 AB 为底边的等腰直角三角形, m 若 使 求
满足 k < 1且 k ≠ ,故 m = ± 的值. 同问题 1,当 k = 0 时,此时 y1 = y2 =

1 3

2,AB |=| x1 ? x2 |= 6 , d = 2 , |

P 点坐标为 (0,0) ,显然不合题意;
当 k ≠ 0 时,线段 AB 的中垂线方程为 y ?

2 1 3 2k = ? (x ? ), 2 1 ? 3k k 1 ? 3k 2 1 4 2k 2 2 令 y = 0 ,得 m = ,由①知, k < 1且 k ≠ , 2 3 1 ? 3k
2 2

? 6 2k ? (1 + k 2 )(36 ? 36k 2 ) 36 由问题 2 知, | AB |= 1 + k ? ? + = 2? 2 |1 ? 3k 2 | ?1 ? 3k ? 1 ? 3k
点 P 到 AB 的距离 d =

| 2k 2 + 2 | |1 ? 3k 2 | 1 + k 2

,由 d =

1 | AB | , 2

1 (1 + k 2 )(36 ? 36k 2 ) 7 2 即 = ? ,解得, k = ± , 满 足 k <1 且 2 2 2 2 |1 ? 3k | 3 |1 ? 3k | 1 + k | 2k 2 + 2 |
1 7 k 2 ≠ ,故 k = ± .此时 m = ± 14 . 3 3 参考问题 4:对 x 轴上点 P ( m,0) ,若 ?APB 是以 P 为直角顶点的直角三角形,求 m 的取
值范围. 依题意, PA ? PB = 0 ,即 ( x1 ? m)( x2 ? m) + y1 y2 = x1 x2 ? m( x1 + x2 ) + m + y1 y2 = 0
2

uuu uuu r r

3k 2 + 7 6 2 mk 即 ? + m 2 = 0 , (3m 2 + 3) k 2 + 6 2 mk ? m 2 + 7 = 0 LL (*) 2 2 3k ? 1 1 ? 3k 3 3 3 3 在 k ∈ (?1 ? ) U (? , U (0, ) U ( , 上有解, , 0) 1) 3 3 3 3 令 f ( k ) = (3m 2 + 3) k 2 + 6 2 mk ? m 2 + 7
于是

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? f (?1) > 0 ? 3 2m ? ∵ ? ?1 < ? < 1 恒成立,由 ? = (6 2m) 2 ? 4(3m 2 + 3)(7 ? m 2 ) > 0 2 3m + 3 ? ? f (1) > 0 ? 解得 m > 4 7 ,或 m < ? 4 7 ,
若 f (0) = 0 ,则 m = ± 7 ,此时方程 (*) 的另一个解不是 ± 若 f (±

3 ; 3

3 2 6 ) = 0 ,则 m = ± ∈ (?∞, 4 7 ) U ( 4 7, ∞) ,直线 l 与 C2 只有唯一交 ? + 3 3 2 6 . 点;综上所述, m > 4 7 ,或 m < ? 4 7 ,且 m ≠ ± 3

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