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河南省周口市川汇区李埠口一中2015-2016学年八年级(上)期中数学试卷(解析版)


川汇区 2015-2016 学年八年级(上)期中数学试卷
一、选择题 1.下列图形中,轴对称图形的是( A. B. C. ) D. ) D.等边三角形 )

2.在三角形 ABC 中,∠C=90°,则△ABC 是( A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形

3.若一个多边形的内角和为 1080°,则这个多边形的边数为( A.6 B.7 C.8 D.9

4.如图,直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线,P 为直线 CD 上的一点,已知线段 PA=5,则线段 PB 的长 度为( )

A.6

B.5

C.4

D.3 )

5.下列条件,不能使两个三角形全等的是( A.两边一角对应相等 B.两角一边对应相等

C.直角边和一个锐角对应相等 D.三边对应相等 6.下列说法正确的是( )

A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D.等腰三角形的两个底角相等 7.如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M、N 的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出 其长度的线段是( )

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A.PO

B.PQ

C.MO

D.MQ )

8. 如图, 已知 AB=AE, AC=AD, 再需要哪两个角对应相等, 就可以应用 SAS 判定△ABC≌△AED. (

A.∠A=∠A B.∠BAD=∠EAC C.∠B=∠E D.∠BAC=∠EAD 9.到三角形三边距离相等的点是三角形三条( A.高 B.中线 C.角平分线 D.以上都正确 ) )的交点.

10.如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,则∠A 等于(

A.30° B.40° C.45° D.36° 11.下列说法正确的是( )

A.两个全等的三角形一定关于某条直线对称 B.关于某条直线对称的两图形的对应点的连线被这条直线垂直平分 C.直角三角形都是轴对称图形 D.锐角三角形都不是轴对称图形 12.如图所示,∠1=∠2,AE⊥OB 于 E,BD⊥OA 于 D,交点为 C,则图中全等三角形共有( )

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A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 13.如图所示,将一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,使顶点 C、D 分别落在点 C′、D′处,C′E 交 AF 于点 G,∠CEF=70°,则∠GFD′=( )

A.20° B.40° C.70° D.110° 14.如图,△ABC 中,∠ABC=135°,MN 垂直平分 AB,PQ 垂直平分 BC,则∠MBP=( )

A.45° B.60° C.75° D.90° 15.在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于 E,给出下列结论:①AD 平分∠CDE;②∠BAC= ∠BDE;③DE 平分∠ADB;④BE+AC=AB,其中正确的是( A.①② B.①③ C.②③④ 二、填空题 16.在等边三角形中,两条中线所夹的钝角度数为 . . D.①②④ )

17.若三角形的两边长分别是 2 和 7,请你写一个第三边的可能取值 18.五边形的对角线的总条数是 .

19.已知线段 a,b 和 m,求作△ABC,使 BC=a,AC=b,BC 边上的中线 AD=m.下面作法的合理顺序为 (填序号):①延长 CD 到 B,使 BD=CD;②连接 AB;③作△ADC,使 DC= a,AC=b,AD=m. 20.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若 EC=1,则 EF= .

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三、解答题 21.如图,△ABC 在平面直角坐标系中,点 A、B、C 的坐标分别为 A(﹣2,1),B(﹣4,5),C (﹣5,2),直线 l 经过点(﹣1,0)且和 y 轴平行. (1)作△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1,其中点 A、B、C 的对称点分别为 A1、B1、C1; (2)写出点 A1、B1、C1 的坐标.

22.如图,已知∠A=20°,∠B=27°,AC⊥DE,求∠1,∠D 的度数.

23.作图题(只画图,不写过程) (1)如图 1,在一条公路两旁各有一个村庄,想在公路旁边修一公共汽车站,怎样选址可使车站到 两个村庄的距离和最短?(公路宽度忽略不计) 如图②,如果这两个村庄在公路的同一侧,其他条件不变,车站又应该选在何处?

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24.如图所示,已知∠ABC=∠ADC=90°,E 是 AC 上一点,AB=AD. 求证:(1)△ABC≌△ADC; (2)EB=ED.

25.如图,在菱形 ABCF 中,∠ABC=60°,延长 BA 至点 D,延长 CB 至点 E,使 BE=AD,连结 CD,EA, 延长 EA 交 CD 于点 G. (1)求证:△ACE≌△CBD; (2)求∠CGE 的度数.

26.在△ABC 中∠C 为直角,AC=BC,D 为△ABC 外一点,且 AD=BD,DE⊥AC 交 CA 延长线于点 E,探 求 DE,AE,BC 之间有何数量关系.

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27.已知:如图,锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O,且 OB=OC. (1)求证:△ABC 是等腰三角形; (2)判断点 O 是否在∠BAC 的角平分线上,并说明理由.

28.如图,已知△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BD=BC,AC,BD 相交于点 E,∠DCE=∠DBC. (1)求∠CBD 的度数; (2)求证:CD=CE; (3)判断△EAB 的面积 S△EAB 与△EDC 的面积 S△EDC 的大小关系.

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2015-2016 学年河南省周口市川汇区李埠口一中八年级(上) 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题 1.下列图形中,轴对称图形的是( A. B. C. ) D.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误; B、不是轴对称图形,故此选项错误; C、不是轴对称图形,故此选项错误; D、是轴对称图形,故此选项正确. 故选:D. 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后 可重合.

2.在三角形 ABC 中,∠C=90°,则△ABC 是( A.锐角三角形 B.直角三角形

) D.等边三角形

C.钝角三角形

【考点】三角形内角和定理. 【分析】直接利用直角三角形的定义判定即可. 【解答】解:∵在三角形 ABC 中,∠C=90°, ∴△ABC 是直角三角形, 故选 B. 【点评】此题主要考查了直角三角形的定义,解本题的关键是掌握直角三角形的定义.

3.若一个多边形的内角和为 1080°,则这个多边形的边数为(
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A.6

B.7

C.8

D.9

【考点】多边形内角与外角. 【分析】首先设这个多边形的边数为 n,由 n 边形的内角和等于 180°(n﹣2),即可得方程 180(n ﹣2)=1080,解此方程即可求得答案. 【解答】解:设这个多边形的边数为 n, 根据题意得:180(n﹣2)=1080, 解得:n=8. 故选 C. 【点评】此题考查了多边形的内角和公式.此题比较简单,注意熟记公式是准确求解此题的关键, 注意方程思想的应用.

4.如图,直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线,P 为直线 CD 上的一点,已知线段 PA=5,则线段 PB 的长 度为( )

A.6

B.5

C.4

D.3

【考点】线段垂直平分线的性质. 【专题】计算题. 【分析】由直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线可以得到 PB=PA,而已知线段 PA=5,由此即可求出线段 PB 的长度. 【解答】解:∵直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线,P 为直线 CD 上的一点, ∴PB=PA, 而已知线段 PA=5, ∴PB=5. 故选 B. 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质,此题比较简单,主要利用了线段的垂直平分线上的 点到线段的两个端点的距离相等这个结论.

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5.下列条件,不能使两个三角形全等的是( A.两边一角对应相等 B.两角一边对应相等



C.直角边和一个锐角对应相等 D.三边对应相等 【考点】全等三角形的判定. 【分析】全等三角形的判定定理有“边角边”,“角边角”,“边边边”“角角边”,“HL”,根 据此可判断正误找出答案. 【解答】解:A、“边边角”不能证明两个三角形全等,故本选项错误. B、两角一边对应相等能证明三角形全等.故本选项正确. C、直角边和一个锐角对应相等能证明三角形全等.故本选项正确. D、三边对应相等能证明三角形全等.故本选项正确. 故选 A. 【点评】 本题考查全等三角形的判定定理, 关键是熟记这些“边角边”, “角边角”, “边边边”“角 角边”,“HL”,判定定理.

6.下列说法正确的是(



A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D.等腰三角形的两个底角相等 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】根据等腰三角形的性质分析各个选项. 【解答】解:A、应为等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合,故错误; B、顶角相等的两个等腰三角形,若对应边不等,则不全等,故错误; C、等腰三角形中腰可以是底边的 2 倍的,故错误; D、等腰三角形的两个底角相等是正确. 故选 D. 【点评】本题考查了对等腰三角形的性质的正确理解.

7.如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M、N 的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出 其长度的线段是( )
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A.PO

B.PQ

C.MO

D.MQ

【考点】全等三角形的应用. 【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得 MN 的长,只需求得其对应边 PQ 的长,据此可以 得到答案. 【解答】解:要想利用△PQO≌△NMO 求得 MN 的长,只需求得线段 PQ 的长, 故选:B. 【点评】本题考查了全等三角形的应用,解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一 起.

8. 如图, 已知 AB=AE, AC=AD, 再需要哪两个角对应相等, 就可以应用 SAS 判定△ABC≌△AED. (



A.∠A=∠A B.∠BAD=∠EAC C.∠B=∠E D.∠BAC=∠EAD 【考点】全等三角形的判定. 【分析】观察图形,找着已知条件在图形上的位置,然后结合全等的判定方法可得. 【解答】解:有 AB=AE,AC=AD,必须加它们的夹角,所以是∠BAC=∠EAD,D 是正确的; A、B、C 都不能应用 SAS 判定△ABC≌△AED. 故选 D. 【点评】若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角,要结合图形做题,由位置定方法.

9.到三角形三边距离相等的点是三角形三条( A.高 B.中线 C.角平分线 D.以上都正确

)的交点.

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【考点】角平分线的性质. 【分析】首先确定到两边距离相等的点的位置,再确定到另外两边的位置,根据到角的两边的距离 相等的点在它的平分线上,O 为△ABC 三个角的平分线的交点. 【解答】解:如图,∵OD=OE, ∴OC 为∠ACB 的平分线, 同理,OA 为∠CAB 的平分线,OB 为∠ABC 的平分线, 所以,到三角形三边距离相等的点是三角形三个角的平分线的交点. 故选:C.

【点评】此题主要考查了角平分线的性质,熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关 键.

10.如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,则∠A 等于(



A.30° B.40° C.45° D.36° 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】题中相等的边较多,且都是在同一个三角形中,因为求“角”的度数,将“等边”转化为 有关的“等角”,充分运用“等边对等角”这一性质,再联系三角形内角和为 180°求解此题. 【解答】解:∵BD=AD ∴∠A=∠ABD ∵BD=BC ∴∠BDC=∠C 又∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
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∴∠C=∠BDC=2∠A ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C 又∵∠A+∠ABC+∠C=180° ∴∠A+2∠C=180° 把∠C=2∠A 代入等式,得∠A+2?2∠A=180° 解得∠A=36° 故选:D.

【点评】本题反复运用了“等边对等角”,将已知的等边转化为有关角的关系,并联系三角形的内 角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题.

11.下列说法正确的是(



A.两个全等的三角形一定关于某条直线对称 B.关于某条直线对称的两图形的对应点的连线被这条直线垂直平分 C.直角三角形都是轴对称图形 D.锐角三角形都不是轴对称图形 【考点】轴对称图形;线段垂直平分线的性质;轴对称的性质. 【分析】分别利用轴对称图形的性质结合线段垂直平分线的性质分析得出答案. 【解答】解:A、两个全等的三角形一定关于某条直线对称,错误; B、关于某条直线对称的两图形的对应点的连线被这条直线垂直平分,正确; C、直角三角形都是轴对称图形,错误; D、锐角三角形都不是轴对称图形,错误; 故选:B.

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【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质以及线段垂直平分线的性质,正确把握相关定义是解题 关键.

12.如图所示,∠1=∠2,AE⊥OB 于 E,BD⊥OA 于 D,交点为 C,则图中全等三角形共有(



A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 【考点】全等三角形的判定. 【分析】根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段,然后猜想可能全等的三角形,然 后一一进行验证,做题时要由易到难,循序渐进. 【解答】解:①△ODC≌△OEC ∵BD⊥AO 于点 D,AE⊥OB 于点 E,OC 平分∠AOB ∴∠ODC=∠OEC=90°,∠1=∠2 ∵OC=OC ∴△ODC≌△OEC(AAS) ∴OE=OD,CD=CE; ②△ADC≌△BEC ∵∠CDA=∠CEB=90°,∠3=∠4,CD=CE ∴△OBE≌△OCD(AAS) ∴AC=BC,AD=BE,∠B=∠A; ③△OAC≌△OBC ∵OD=OE ∴OA=OB ∵OA=OB,OC=OC,AC=BC ∴△ABO≌△ACO(SSS); ④△OAE≌△OBD ∵∠ODB=∠OEA=90°,OA=OB,OD=OE ∴△AEC≌△ADB(HL).
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故选 C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定方法;全等三角形的判定方法一般有:AAS、SAS、ASA、SSS、 HL.应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用,做题时要做到不重不漏.提出猜想,证明猜想是解 决几何问题的基本方法.

13.如图所示,将一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,使顶点 C、D 分别落在点 C′、D′处,C′E 交 AF 于点 G,∠CEF=70°,则∠GFD′=( )

A.20° B.40° C.70° D.110° 【考点】平行线的性质. 【分析】根据平行线的性质和翻折不变性解答. 【解答】解:∵AD∥BC, ∴∠DFE=180°﹣∠CEF=180°﹣70°=110°, ∴∠D′FE=110°,∠GFE=180°﹣110°=70°, ∴∠GFD′=180°﹣70°=40°. 故选 B. 【点评】本题考查了平行线的性质和翻折不变性,注意观察图形.

14.如图,△ABC 中,∠ABC=135°,MN 垂直平分 AB,PQ 垂直平分 BC,则∠MBP=(



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A.45° B.60° C.75° D.90° 【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 AP=BP,AQ=CQ,求出∠AQP=90°,根据勾股定理求出 AP, 即可得出 BP,求出即可. 【解答】解:∵MN 垂直平分 AB,PQ 垂直平分 BC, ∴AM=BM,PB=PC, ∴∠MBA=∠A,∠PBC=∠C, ∵∠A+∠C=180°﹣∠ABC=45°, ∴∠MBA+∠PBC=45°, ∴∠MBP=90°, 故选 D. 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质和勾股定理的应用,注意:线段垂直平分线上的点到线段 两个端点的距离相等.

15.在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于 E,给出下列结论:①AD 平分∠CDE;②∠BAC= ∠BDE;③DE 平分∠ADB;④BE+AC=AB,其中正确的是( A.①② B.①③ C.②③④ D.①②④ )

【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质. 【分析】根据题中条件,结合图形及角平分线的性质得到结论,与各选项进行比对,排除错误答案, 选出正确的结果. 【解答】解:如图,∵AD 平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAE ∵∠C=90°,DE⊥AB ∴∠C=∠E=90° ∵AD=AD
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∴△DAC≌△DAE ∴∠CDA=∠EDA ∴①AD 平分∠CDE 正确; 无法证明∠BDE=60°, ∴③DE 平分∠ADB 错误; ∵BE+AE=AB,AE=AC ∴BE+AC=AB ∴④BE+AC=AB 正确; ∵∠BDE=90°﹣∠B,∠BAC=90°﹣∠B ∴∠BDE=∠BAC ∴②∠BAC=∠BDE 正确. 故选 D.

【点评】本题主要考查了角平分线的性质,是一道结论开放性题目,考查了学生利用角平分线的性 质解决问题的能力,有利于培养发散思维能力.

二、填空题 16.在等边三角形中,两条中线所夹的钝角度数为 120° . 【考点】等边三角形的性质. 【分析】如图,等边三角形 ABC 中,根据等边三角形的性质知,底边上的高与底边上的中线,顶角 的平分线重合,所以∠1=∠2= ∠ABC=30°,所以∠AFB=180°﹣∠1﹣∠2. 【解答】解:如图,∵等边三角形 ABC,AD、BE 分别是中线, ∴AD、BE 分别是角平分线, ∴∠1=∠2= ∠ABC=30°, ∴∠AFB=180°﹣∠1﹣∠2=120°. 故答案为:120°.

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【点评】本题主要考查了等边三角形的性质,得到 AD、BE 分别是角平分线是正确解答本题的关键.

17.若三角形的两边长分别是 2 和 7,请你写一个第三边的可能取值 6 等(答案不唯一) . 【考点】三角形三边关系. 【分析】根据题意首先得出第三边长的取值范围进而得出答案. 【解答】解:∵三角形的两边长分别是 2 和 7, ∴设第三边长为:x,则第三边长的取值范围是:5<x<9, 则第三边的可能取值:6 等(答案不唯一). 故答案为:6 等(答案不唯一). 【点评】此题主要考查了三角形三边关系,正确得出第三边长的取值范围是解题关键.

18.五边形的对角线的总条数是 5 . 【考点】多边形的对角线. 【分析】根据多边形的对角线的条数的计算公式 计算即可.

【解答】解:五边形的对角线的总条数是:5×(5﹣3)÷2=5, 故答案为:5. 【点评】本题考查的是多边形的对角线的条数的计算,掌握计算公式: 是解题的关键.

19.已知线段 a,b 和 m,求作△ABC,使 BC=a,AC=b,BC 边上的中线 AD=m.下面作法的合理顺序为 ③①② (填序号):①延长 CD 到 B,使 BD=CD;②连接 AB;③作△ADC,使 DC= a,AC=b,AD=m. 【考点】作图—复杂作图. 【分析】先作△ADC,再延长 CD 到 B,最后连接 AB. 【解答】解:作法:①作△ADC,使 DC= a,AC=b,AD=m ②延长 CD 到 B,使 BD=CD,
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③连接 AB;

故答案为:③①②. 【点评】本题考查了复杂的几何作图,基本作图是作一条线段等于已知线段;主要利用圆规截取或 以某点为圆心,以所作的线段长为半径作圆得出.

20.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若 EC=1,则 EF= 2 .

【考点】角平分线的性质;含 30 度角的直角三角形. 【分析】作 EG⊥OA 于 F,根据角平分线的性质得到 EG 的长度,再根据平行线的性质得到∠OEF=∠ COE=15°,然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°,利用 30°角所对的直角边是斜边 的一半解题. 【解答】解:作 EG⊥OA 于 G, ∵EF∥OB, ∴∠OEF=∠COE=15°, ∵∠AOE=15°, ∴∠EFG=15°+15°=30°, ∵EG=CE=1, ∴EF=2×1=2. 故答案为 2.

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【点评】本题考查了角平分线的性质和含 30°角的直角三角形,综合性较强,是一道好题.

三、解答题 21.如图,△ABC 在平面直角坐标系中,点 A、B、C 的坐标分别为 A(﹣2,1),B(﹣4,5),C (﹣5,2),直线 l 经过点(﹣1,0)且和 y 轴平行. (1)作△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1,其中点 A、B、C 的对称点分别为 A1、B1、C1; (2)写出点 A1、B1、C1 的坐标.

【考点】作图-轴对称变换. 【分析】(1)根据轴对称的性质画出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1 即可; (2)根据点 A1、B1、C1 在坐标系中的位置写出各点坐标即可. 【解答】解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求;

(2)由图可知,A1(0,1),B1(2,5),C1(3,2).

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【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换,熟知轴对称的性质是解答此题的关键.

22.如图,已知∠A=20°,∠B=27°,AC⊥DE,求∠1,∠D 的度数.

【考点】三角形内角和定理;三角形的外角性质. 【分析】利用三角形外角性质,得∠1=∠A+∠APE,只需求∠APE,由 AC⊥DE,得∠APE=90°;由三 角形内角和定理得出∠D 的度数. 【解答】解:∵AC⊥DE, ∴∠APE=90°. ∵∠1 是△AEP 的外角, ∴∠1=∠A+∠APE. ∵∠A=20°, ∴∠1=20°+90°=110°. 在△BDE 中,∠1+∠D+∠B=180°, ∵∠B=27°, ∴∠D=180°﹣110°﹣27°=43°. 【点评】考查三角形外角性质与内角和定理.内容简单,可直接利用所学知识解决.

23.作图题(只画图,不写过程)
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(1)如图 1,在一条公路两旁各有一个村庄,想在公路旁边修一公共汽车站,怎样选址可使车站到 两个村庄的距离和最短?(公路宽度忽略不计) 如图②,如果这两个村庄在公路的同一侧,其他条件不变,车站又应该选在何处?

【考点】作图—应用与设计作图;轴对称-最短路线问题. 【分析】(1)连接 AB 即可,根据两点之间,线段最短; (2)作点 A 的对称点 A′,连接 A′B′即可,根据三角形两边的和大于第三边. 【解答】解:(1)如图 1,

连接 AB,交公路于点 C,则点 C 处建修一公共汽车站,可使车站到两个村庄的距离和最短; (2)如图 2,作 A 关于直线 l 的对称点 A′,连接 A′B′,交直线 l 于 C, 则车站应该选在点 C 处.

【点评】本题是最短路径的作图问题,具体作法是:①如果在直线的两侧,直接连接即可;②如果 在直线的同侧,作其中一个点的对称点与另一点相连,与直线的交点即是;根据都可以理解为两点 之间,线段最短.

24.如图所示,已知∠ABC=∠ADC=90°,E 是 AC 上一点,AB=AD. 求证:(1)△ABC≌△ADC; (2)EB=ED.

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【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】(1)利用 HL 定理判定 Rt△ABC≌Rt△ADC 即可; (2)根据 Rt△ABC≌Rt△ADC 可得∠DCE=∠BCE,DC=BC,再利用 SAS 判定△DCE≌△BCE,进而可得 结论. 【解答】证明:(1)∵∠ABC=∠ADC=90°, ∴在 Rt△ADC 和 Rt△ABC 中, ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL); ,

(2)∵Rt△ABC≌Rt△ADC, ∴∠DCE=∠BCE,DC=BC, ∴在△DCE 和△BCE 中, ∴△DCE≌△BCE(SAS), ∴EB=ED. 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及性质,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证 明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件. ,

25.如图,在菱形 ABCF 中,∠ABC=60°,延长 BA 至点 D,延长 CB 至点 E,使 BE=AD,连结 CD,EA, 延长 EA 交 CD 于点 G. (1)求证:△ACE≌△CBD; (2)求∠CGE 的度数.

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【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】(1)先判断出△ABC 是等边三角形,根据等边三角形的性质可得 BC=AC,∠ACB=∠ABC,再 求出 CE=BD,然后利用“边角边”证明即可; (2)连接 AC,易知△ABC 是等边三角形,由探究可知△ACE 和△CBD 全等,根据全等三角形对应角 相等可得∠E=∠D,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC 即 可. 【解答】解:(1)∵AB=AC,∠ABC=60°, ∴△ABC 是等边三角形, ∴BC=AC,∠ACB=∠ABC, ∵BE=AD, ∴BE+BC=AD+AB, 即 CE=BD, 在△ACE 和△CBD 中, , ∴△ACE≌△CBD(SAS);

(2)如图,连接 AC,易知△ABC 是等边三角形, 由(1)可知△ACE≌△CBD, ∴∠E=∠D, ∵∠BAE=∠DAG, ∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG, ∴∠CGE=∠ABC, ∵∠ABC=60°, ∴∠CGE=60°.
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【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,菱形的性质,熟记性质 并确定出三角形全等的条件是解题的关键,(2)作辅助线构造出探究的条件是解题的关键.

26.在△ABC 中∠C 为直角,AC=BC,D 为△ABC 外一点,且 AD=BD,DE⊥AC 交 CA 延长线于点 E,探 求 DE,AE,BC 之间有何数量关系.

【考点】等腰直角三角形;线段垂直平分线的性质. 【分析】首先连接 CD,由 AC=BC,AD=BD,可得 CD 是 AB 的垂直平分线,又由∠ACB=90°,易得△CDE 是等腰直角三角形,继而证得结论. 【解答】解:DE=AE+BC, 理由:连接 CD, ∵AC=BC,AD=BD, ∴C 在 AB 的垂直平分线上,D 在 AB 的垂直平分线上, ∴CD 是 AB 的垂直平分线, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD= ∠ACB=45°, ∵DE⊥AC, ∴∠CDE=∠ACD=45°, ∴CE=DE, ∴DE=AE+AC=AE+BC.
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【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰直角三角形的性质,正确的作出辅助线是解题 的关键.

27.已知:如图,锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O,且 OB=OC. (1)求证:△ABC 是等腰三角形; (2)判断点 O 是否在∠BAC 的角平分线上,并说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定. 【专题】几何综合题. 【分析】(1)由 OB=OC,即可求得∠OBC=∠OCB,又由,锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O, 根据三角形的内角和等于 180°,即可证得△ABC 是等腰三角形; (2)首先连接 AO 并延长交 BC 于 F,通过证△AOB≌△AOC(SSS),得到∠BAF=∠CAF,即点 O 在∠ BAC 的角平分线上. 【解答】(1)证明:∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, ∵锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O, ∴∠BEC=∠CDB=90°, ∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°, ∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE=180°﹣∠CDB﹣∠CBD, ∴∠ABC=∠ACB,
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∴AB=AC, ∴△ABC 是等腰三角形;

(2)解:点 O 在∠BAC 的角平分线上. 理由:连接 AO 并延长交 BC 于 F, 在△AOB 和△AOC 中,

∴△AOB≌△AOC(SSS). ∴∠BAF=∠CAF, ∴点 O 在∠BAC 的角平分线上.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定,以及角平分线的判定等知识.此题难度不大,注意 等角对等边与三线合一定理的应用.

28.如图,已知△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BD=BC,AC,BD 相交于点 E,∠DCE=∠DBC. (1)求∠CBD 的度数; (2)求证:CD=CE; (3)判断△EAB 的面积 S△EAB 与△EDC 的面积 S△EDC 的大小关系.

【考点】等腰三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 【分析】(1)证明∠D=∠DCB=45°+α,运用三角形的内角和定理即可解决问题.
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(2)证明∠DEC=∠D,即可解决问题. (3)如图,作辅助线,证明 AM=DN,即可解决问题. 【解答】解:(1)∵∠A=90°,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45°; ∵BD=BC,且∠DCE=∠DBC(设为 α), ∴∠D=∠DCB=45°+α; 由三角形的内角和定理得: α+2(45°+α)=180°, ∴α=30°,即∠CBD=30°. (2)∵∠DEC=45°+30°=75°, ∠D=45°+30°=75°, ∴∠DEC=∠D, ∴CD=CE. (3)如图,分别过点 A、D 作 AM⊥BC、DN⊥BC; 设 BD=BC=λ; ∵AB=AC,AM⊥BC, ∴BM=CM,AM= BC= ∵∠DBC=30, ∴DN= BD= ∴AM=DN, ∴△ABC 与△DBC 的面积相等, ∴S△EAB=S△EDC. , ;

【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是作辅助线,灵活运 用有关定理来分析、判断、推理或解答.
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