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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.4.2 抛物线的简单几何性质_图文

第二章 圆锥曲线与方程 物 线 2. 4 抛 2.4.2 抛物线的简单几何性质 栏 目 链 接 1.了解抛物线的实际背景,了解抛物线在 刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 栏 目 链 接 2.掌握抛物线的简单性质. 栏 目 链 接 基 础 梳 理 类型 y2=2px(p> 0) y2=-2px(p >0) x2=2py(p> 0) x2=-2py(p >0) 图形 性 质 焦 点 准 线 ?p ? F? ,0? ?2 ? ? p ? F?- ,0? ? 2 ? ? p? F?0, ? 2? ? ? p? F?0,- ? 2? ? 栏 目 链 接 x=- p 2 x= p 2 y=- p 2 y= p 2 基 础 梳 理 (续表) 范围 对称轴 x≥0, y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 栏 目 链 接 x 轴 ____ O(0,0) ________ ______ e= 1 y轴 ____ 性 质 顶点 离心率 开口方 向 向右 ____ 向左 ____ 向上 ____ 向下 ____ 基 础 梳 理 2.焦半径与焦点弦. 抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径,过焦 点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦.设抛物线上 任意一点P(x0,y0),焦点弦端点A(x1,y1),B(x2,y2), 则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式 栏 目 链 接 基 础 梳 理 如下表: 标准方程 焦半径 |PF| 焦点弦 |AB| y2=2px(p>0) y2=-2px(p 2 x2=-2py(p x =2py(p>0) >0) >0) |PF|=-x0 |AB|=p-x1 - x2 |PF|=y0+ |AB|=y1+y2 +p |PF|=-y0 |AB|=p-y1 -y2 |PF|=x0+ |AB|=x1+x2 +p 栏 目 链 接 自 测 自 评 1.顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距 离为4的抛物线方程是( D ) A.x2=16y B.x2 =8y C.x2=±8y D.x2=±16y 栏 目 链 接 自 测 自 评 1 2 2.抛物线 y=- x 的准线方程是( 8 1 A.x= 32 1 B.x= C.y=2 2 ) D.y=4 栏 目 链 接 解析:对于此类问题,解决过程中尤其要注意所给的方 1 2 程形式是否是标准方程形式,否则容易出错.由 y=- x 得 8 x2=-8y,故其准线方程是 y=2. 答案:C 3.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点, PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=( B ) A .4 3 B.8 C.8 3 D.16 栏 目 链 接 栏 目 链 接 题型一 例1 求抛物线的标准方程及几何性质 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点, M 为准线与 y 轴的交点, A 为抛物线上一点, 且|AM|= 17, |AF|=3,求此抛物线的标准方程及准线方程. 解析: 设所求抛物线的标准方程为 x2=2py(p>0), 设 A(x0, y0), ? p? M?0,- ?. 2? ? 栏 目 链 接 ∵|AF|=3,∴y0+ =3. 2 ? p?2 ∵|AM|= 17,∴x +?y0+ ? =17, 2? ? 2 0 2 ∴x 2 0=8 代入方程 x0=2py0,得 p ? p? 8=2p?3- ?,解得 p=2 或 p=4. 2 ∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. 其准线方程为y=-1或y=-2. 点评:求抛物线的标准方程的一般步骤:①根据条 件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向;②根 据焦点位置和开口方向设出标准方程;③根据条件列出 关于p的方程;④解方程,将所求得的p值代入所设方程, 即可得抛物线方程. 栏 目 链 接 变 式 迁 移 1.(1)顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点 的距离等于3的抛物线的标准方程是( A.x2=±3y C.x2=±12y B.y2=±6x D.x2=±6y ) 栏 目 链 接 (2)平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线 段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛 物线的标准方程是________. 变 式 迁 移 解析:(1)依题意知抛物线方程为 x2=±2py(p>0)的形式, 又 =3,所以 p=6,2p=12,故方程为 x2=±12y. 2 (2)线段 OA 的垂直平分线为 4x+2y-5=0,与 x 轴的交点 ?5 ? ?5 ? 为? ,0?,所以抛物线的焦点为? ,0?,所以其标准方程是 y2= ?4 ? ?4 ? 5x. 答案:(1)C (2)y2=5x p 栏 目 链 接 点评:解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题 时,一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组,再 结合根与系数的关系解题;二是注意焦点弦长、焦半径公 式的应用.解题时注意整体代入思想的运用,简化运算. 栏 目 链 接 题型二 焦点弦问题 例2 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|=7,求AB的中点M到抛物 线准线的距离. 解析:抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.由抛物线 p p 定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p,即 x1+x2+2 2 2 5 =7,得 x1+x2=5,于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 .因此点 M 2 5 7 到抛物线准线的距离为 +1= . 2 2 栏 目 链 接 点评:解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题 时,一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组,再 结合根与系数的关系解题;二是注意焦点弦长、焦半

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