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2018-2019学年广东省湛江市第一中学高二上学期第一次大考试题 数学(理) Word版

湛江一中 2018-2019 学年度第一学期“第一次大考”

高二级理科数学试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 命题人:何佩锦; 审题人:许振广;做题人:陈振宇
一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.数列 1,3,6,10,?的一个通项公式是( A.an=n2-n+1 C.an=n +1
2

)

n?n-1? B.an= 2 D.an=

n?n+1?
2

1 1 2.已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出 < 成立的 a b 有( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

3.把 1,3,6,10,15,21, …这些数叫做三角形数, 这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角 形(如图).则第 7 个三角形数是( )

A.27

B.28

C.29

D.30 )

4.在△ ABC 中,A∶B=1∶2,sin C=1,则 a∶b∶c 等于( A.1∶ 3∶2 C.1∶2∶3 B.3∶2∶1 D.2∶ 3∶1

2x-y≤0, ? ? 5. 若 x,y 满足?x+y≤3, 则 2x+y 的最大值为( ? ?x≥0, A.0 B.3 C.4

)

D.5

6.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcos C,则此三角形一定 是( ) B.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

A.等腰直角三角形 C.直角三角形

1

?an ?, ?bn ? 7.设等差数列 的前n项和分别为S n , Tn , 若对任意自然数 n都有
则 A. a9 a3 ? 的值为( ) b5 ? b7 b8 ? b4 B. 41 19 C. 17 37 D. 7 15

Sn 2n ? 3 ? , Tn 4n ? 3

19 41

8. 已 知 函 数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? b2 ? b ? 1(a ? R, b ? R) , 对 任 意 实 数

x 都有
)

f (1 ? x) ? f (1 - x) 成立,若当 x ? ?? 1,1? 时, f ( x) ? 0 恒成立,则 b 的取值范围是(
A.(-1,0) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(2,+∞) D.不能确定

9.已知数列 ?an ? 是等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列, 若 a1 ? a6 ? a11 ? ?3 3, b1 ? b6 ? b11 ? 7? ,则 tan b3 ? b9 的值是( 1 ? a4 ? a8 A. ? 3 B. )

2 2
11 B.7,- 2 D.7,-5

C. ?

2 2

D. )

3

10.若 2α+β=π,则 y=cos β-6sin α 的最大值和最小值分别是( 11 A.5,- 2 C.7,5

a 16b 11.不等式 x2+2x< + 对任意 a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数 x 的取值范围是( b a A.(-4,2) C.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-2,0) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)

)

12.记方程①: x2 ? a1x ? 1 ? 0 ,方程②: x2 ? a2 x ? 2 ? 0 ,方程③: x2 ? a3 x ? 4 ? 0 ,其 中 a1 , a2 , a3 是正实数.当 a1 , a2 , a3 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实 根的是( ) B.方程①无实根,且②无实根 D.方程①有实根,且②无实根

A.方程①无实根,且②有实根 C.方程①有实根,且②有实根

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.在等差数列 {an } 中, a9 ? a11 ? 10 ,则数列 {an } 的前 19 项之和是___________. 14.给出平面区域如图阴影部分所示,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有
2

无穷多个,则 a 的值为________.

15. 在?ABC中, D为AB的一个三等分点 , 且AB ? 3AD, AC ? AD, CB ? 3CD , 则 cos B =

2 16.已知 a>b,不等式 ax2+2x+b≥0 对一切实数 x 恒成立.又存在 x0∈R,使 ax0 +2x0+b

a2+b2 =0 成立,则 的最小值为 a- b

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 70 分) 17. (本题 10 分)如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D = 2? B ,且 AD ? 1 , CD ? 3 ,

cos B ?

3 . 3
A D

(Ⅰ)求△ ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

B

C

18.(本题 12 分)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1(n∈N ).

1 2

*

(1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)设 bn=log1(1-Sn+1)(n∈N*),令 Tn=b b +b b +?+ ,求 Tn. b b 1 2 2 3 n n+1 3

19. (本题 12 分)如图,四棱锥 S ? ABCD 中, M 是 SB 的中点, AB / / CD , BC ? CD ,

3

且 AB ? BC ? 2 , CD ? SD ? 1,又 SD ? 面 SAB . (1) 证明: CD ? SD ; (2) 证明: CM / / 面 SAD ; (3) 求四棱锥 S ? ABCD 的体积. A

S

D

M

C

B

20. (本题 12 分)已知 f ( x) ? 3 sin (Ⅰ)若 f (? ) ? 1,求 cos(2? ?

x x x cos ? cos 2 . 2 2 2

?
3

) 的值;

( Ⅱ ) 在 锐 角 ?A B C 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为

a , b , c ,且满足

(2b ? a) c o C s ? cc o s A ,求 f ( B ) 的取值范围.

21. (本题 12 分)

解关于 x 的不等式 ax -(2a+1)x+2<0(a∈R).

2

2 22. (本题 12 分)数列 {an } 的通项 an 是关于 x 的不等式 x ? x ? nx 的解集中正整数的个

数, f (n) ?

1 1 1 . ? ? …? an ? 1 an ? 2 an ? n

(1)求数列 {an } 的通项公式;

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ; 2n 7 (3)求证:对 n ? 2 且 n ? N * 恒有 ? f ( n) ? 1 . 12
(2)若 bn ?

湛江一中 2018-2019 学年度第一学期“第一次大考”
4

高二级理科数学普通卷(A)答案
一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 C 6 B 7 A 8 C 9 A 10 D 11 A 12 D

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.95 14. 3 5 15.

7 6 18

16. 2 2

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 70 分) 17.解: (Ⅰ)

cos D ? cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? ?

1 3

……………………………………………….…………2 分 因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以

sin D ?

2 2 ,……………………………………………………………………………3 分 3
所以△ACD 的面积

S?

1 ? AD ? CD ? sin D ? 2 .…………………………………………………..………5 分 2

(Ⅱ)在△ACD 中, AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所 以

AC ? 2 3 . …………………………………………………………………………………….....
………………7 分 在△ABC 中,

AC2 ? AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 12 …………………………………….………9 分
把已知条件代入并化简得: AB2 ? 4 AB ? 0 因为 AB ? 0 , 所以 AB ? 4 …………………10 分 18. 解

1 2 (1)当 n=1 时,a1=S1,由 S1+2a1=1,得 a1=3,…………………………………1 分

1 1 当 n≥2 时,Sn=1-2an,Sn-1=1-2an-1,…………………………………………………………………2 分

5

1 1 1 则 Sn-Sn-1=2(an-1-an),即 an=2(an-1-an),所以 an=3an-1(n≥2). ……………4 分 2 1 故数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列. 2 ?1?n-1 ?1?n ?3? ?3? (n∈N*).………………………………………………………………………………………5 分. 故 an=3· =2· ? ? ? ? 1 ?1?n (2)因为 1-Sn=2an=?3? .………………………………………………………………………………………………………6 分 ? ? ?1?n+1 所以 bn=log1(1-Sn+1)=log1?3? =n+1,……………………………………………………………7 分 ? ?
3 3

因为

1 1 1 1 = = - ,………………………………………………………9 分 bnbn+1 (n+1)(n+2) n+1 n+2

1 1 1 所以 Tn=b b +b b +?+ bnbn+1 1 2 2 3 1 ? 1 1 n ? 1 ?1 1? ?1 1? =?2-3?+?3-4?+?+?n+1-n+2?=2- = .……………………12 分 ? ? ? ? n+2 2(2n+2) ? ?
19. (1)证明:由 SD ? 面 SAB ., AB ? 面SAB 所 以

D ………………………………………………………………………………………… ……………………………1 分 又
………………………………………………………………………………………… ………………………………2 分 所 以 C ? D ………………………………………………………………………………………… ……………………………3 分 ( 2 ) 取 SA 中 点 N , 连 结

S ?

AB / /CD

N ,D

……………………………………………………………………… ..…………4 分 N M

则 NM / / AB ,且 MN ? 所 形 分

以 平 D 行 四 边 …………………………………………………………………………………..…..…………5

1 AB ? DC , AB / /CD 2 N M 是 C

ND / / MC , ………………………………………………………………………………………
……………………..…………6 分 且 ND ? 面SAD, MC ? 面SAD 所

CM / / 以 面 SAD ;………………………………………………………………………………………………..
6

…………7 分 (

3



VS ? ABCD : VS ? ABD ? S?ABCD : S?ABD ? 3: 2 ………………………………………………………..
…………8 分 D 过 作

DH ? AB







H









BD ? AD ? 12 ? 22 ? 5 ……………………..…………9 分


Rt ?DSA, Rt ?DSB





S ?


5

2

2

A ……………………………… ? 1 S ? ..………… 2 B 10 分 .…………

?


1 3 ……………………..…………………………………… VS ? ABD ? VD? SAB ? ? DS ? S?ABS ? 3 3
…….……11 分 所 以 -……………………..……………………………………………….…… A

VS ?

?

3 2

?

3 3

………….……12 分 (注:其他解法按步骤相应给分) 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?

x x x 3 sin ? co s ? co s 2 2 2 2

3 1 1 sin x ? cos x ? , ??????????????????2 分 2 2 2 ? 1 ? sin( x ? ) ? .?????????????????????3 分 6 2 ? 1 ? 1 1 ,∴ sin(? ? ) ? .????????4 分 由 f (? ) ? 1 ,得 sin( ? ? ) ? ? 6 2 6 2 ? ? ? 1 2 ∴ cos( 2 x ? ) ? cos 2( x ? ) ? 1 ? 2 sin ( x ? ) ? . ?????????5 分 3 6 6 2 (Ⅱ)由 (2b ? a) cosC ? c cos A 及正弦定理得: ?
??????????????????6 分 (2 sin B ? sin A) ? cosC ? sin C ? cos A . ∴ 2 sin B cos C ? sin A cos C ? sin C ? cos A ,

2 sin B cosC ? sin( A ? C ) ? sin B .?????????????????8 分
∵ sin B ? 0 ,且 ?ABC 是锐角三角形,∴ cos C ? ∴ A? B ?

1 ? ,C ? . 2 3

2? 2? ? A . ??????????????????10 分 ,B ? 3 3
7

∵0 ? A ?

?
2





?
6

?B?

?
2





?
3

? B?

?
6

?

2? . 3



3 ? ? sin(B ? ) ? 1 .?????????????????????11 分 2 6

∵ f ( B) ? sin( B ?

?
6

)?

∴ f ( B ) 的取值范围是 (

1 , 2 3 ?1 3 , ] . ???????????????12 分 2 2

21. 解关于 x 的不等式 ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R). 解:原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0. ……………………………………………………………….……..1 分

? 1? ? 1? (1) 当 a>0 时,原不等式可以化为 a(x-2) x-a <0,等价于(x-2)· x-a <0. ? ? ? ?
? 1? 1 1 (2) 当 0<a<2时,2<a,则原不等式的解集是?x|2<x<a?;……………………………………...3 分 ? ?

1 当 a=2时,原不等式的解集是?;………………………………………………………………….……….……..5 分
? ?1 ? 1 1 当 a>2时,a<2,则原不等式的解集是?x a<x<2?.………………………………………….……..7 分 ?

?

?

(2)当 a=0 时,原不等式为-(x-2)<0,解得 x>2, 即原不等式的解集是{x|x>2}.…………………………………………………………………..…………….……..9 分

? 1? (3)当 a<0 时,原不等式可以化为 a(x-2) x-a <0, ? ? ? 1? 根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)· x-a >0, ? ?
? 1 ? 1 由于a<2,故原不等式的解集是?x|x<a或x>2?.…………………………………………..….……..11 分 ? ? ? 1 ? 综上所述,当 a<0 时,不等式的解集为?x|x<a或x>2?; ? ?

当 a=0 时,不等式的解集为{x|x>2};
? 1? 1 当 0<a<2时,不等式的解集为?x|2<x<a?; ? ? ? 1 ? 1 1 当 a=2时,不等式的解集为?;当 a>2时,不等式的解集为?x|a<x<2?.……..12 分 ? ?

22. 解: (1) x 2 ? x ? nx 等价于 x( x ? n ? 1) ? 0 ,解得 x ? (0, n ? 1) 其 中 有 正 整 数

n









an ? n

…………………………………………..….……...….……..….…….2 分

8

(2) bn ?

n 1 ? n ? ( )n n 2 2

1 1 1 Sn ? b1 ? b2 ? … ? bn ? 1? ? 2 ? ( )2 ? … ? n ? ( )n 2 2 2 1 1 1 1 Sn ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? … ? n ? ( ) n ?1 ………………………………..….……...….…….. 2 2 2 2
….….3 分 两式相减得 故

1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ( )2 ? ( )3 ? … ? ( )n ? n ? ( )n ?1 ? 1 ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ….4 分 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 Sn ? 2 ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n =2 ? (n ? 2)( ) n 2 2 2
….6 分 (3)

…………………………..….……...….……..….

f ( n) ?

1 1 1 1 1 1 ? ? …? ? ? ? …? an ? 1 an ? 2 an ? n n ? 1 n ? 2 n?n
………………………………..….……...….……..…...….……..….…

?

1 1 1 ? ??? ?1 n n n

…...….……...8 分 由 f ( n) ?

1 1 1 1 1 1 ? ?…? ? ? ? …? an ? 1 an ? 2 an ? n n ? 1 n ? 2 n?n

1 1 1 1 1 ? ?…? + + n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 于是 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? ? 0 .….……...10 分 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 故 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n) 当 n ? 2 且 n ? N * 时为增函数? f (n) ? f (2) ? 12
知 f (n +1) ? 综 上 可 知

7 ? f (n ? 12
……..12 分

)

…………………………… ..….……...….……..…...….……..….……...…. 1

9


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