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高二数学课件:解三角形和不等式


必修5 必修5复习

(一)解三角形
1、掌握正、余弦定理及相应的公式变形; 、掌握正、余弦定理及相应的公式变形; 2、掌握在各种条件下解三角形的方法; 、掌握在各种条件下解三角形的方法; (边长、角度、面积) 边长、角度、面积) 3、理解在处理三角形问题时“边角统一”思想; 、理解在处理三角形问题时“边角统一”思想; 4、了解在实际问题中解三角形思想的运用; 、了解在实际问题中解三角形思想的运用; (距离、高度、角度、面积) 距离、高度、角度、面积)

例题: 例题:
1.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
a2 + c2 ? b2 解析:由 2cosBsinA=sinC 得 ×a=c,∴a=b. ac 答案:C

2、△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边, 如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积 3 为 ,那么 b 等于 B 2
1+ 3 A. 2

B.1+ 3

2+ 3 C. 2

D.2+ 3

解析:∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c.
3 平方得 a +c =4b -2ac.又△ABC 的面积为 , 2
2 2 2

且∠B=30°,故由
1 1 1 3 S△ABC= acsinB= acsin30°= ac= , 2 2 4 2

得 ac=6.∴a2+c2=4b2-12. 由余弦定理,得
a 2 + c 2 ? b 2 4b 2 ? 12 ? b 2 b 2 ? 4 3 cosB= = = = , 2ac 2×6 4 2

解得 b2=4+2 3 .又 b 为边长,∴b=1+ 3 . 答案:B

1.满足条件 a = 4, b = 3 2, A = 45 的 ?ABC 个数是 B ) 满足条件 个数是(
o

A、一个 、

B、 两个 、

C、无数个 、

D、零个 、

2.在△ABC 中, a = 4, b = 6, C = 120o ,则 sinA=( 在 (

A )

57 A、 、 19

21 B、 、 7

3 C、 、 38

57 D、 ? 、 19

a2 + b2 ? c2 ° 3. 若△ABC 的面积为 ,则内角 C 等于______. 等于 45° 4

4.在锐角△ABC 中,边长 a=1,b=2, 则边长 c 的取值范围是_______. (1, 5 )

4、小明在某岛上的 A 处,上午 11 时测得在 A 的北偏东 600 、 处有一艘轮船, 的 C 处有一艘轮船,12 时 20 分时测得该船航行到北偏西 600 的 B 处,12 时 40 分时又测得轮船到达位于 A 正西方 5 千米 如果该船始终保持匀速直线运动, 的港口 E 处,如果该船始终保持匀速直线运动,求: 的距离; (1)点 B 到 A 的距离; (2)船的航行速度。 ) )船的航行速度。

(1) 解: )由已知得 BC=4BE,设 BE=x,则 BC=4x, ( , ,
AE sin ∠EAC 5sin150 1 Q在△ ACE中, C = sin = = EC 5x 2x 1 4x ? BC sin C 2x = 4 3 ∴ 在△ ABC中,AB = = o sin120 sin120o 3 4x 4 3 B ∴ B到A的距离为 千米 x 3
o

C

E

5

A

(2)∵在 ?ABE 中,由余弦定理得
BE 2 = AB 2 + AE 2 ? 2 AB ? AE cos 30o 16 4 3 3 31 = 25 + ? 2 × 5 × × = 3 3 2 3 93 ∴ BE = 3

31 20 ÷ = 93 (千米 小时) 千米/小时 小时) 所以轮船速度是 3 60
C

4x x
E 5 B A

(二)不等式
1、掌握不等式的8个性质; 、掌握不等式的 个性质 个性质; 2、掌握处理线性规划问题的基本思想; 、掌握处理线性规划问题的基本思想; 3、掌握基本不等式的形式及其变形; 、掌握基本不等式的形式及其变形; 4、注意利用基本不等式求最值时的三个限制条件; 、注意利用基本不等式求最值时的三个限制条件; (一正、二定、三相等) 一正、二定、三相等)

?1 ≤ a ? b ≤ 2 例 1.已知 ? . ,求 t = 4a ? 2b 的取值范围[5,10] . ?2 ≤ a + b ≤ 4
b
2a-b=0 a+b=4 a-b=1 D a+b=2 a-b=2 C A B
1 2 4

a

变式:已知函数 f(x)=ax2-c,满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,求 f(3)的最大值和最小值. 答案:20 -1

例 2、.已知函数 f(x)=log 1 (x2-ax+3a)在
2

[2,+∞)上是减函数,则实数 a 的范围是 A.(-∞,4] B.(-4,4] C.(0,12) D.(0,4]
解析: ∵f(x)=log 1 (x2-ax+3a)在[2,+∞)上是减函数,
2

∴u=x2-ax+3a 在[2,+∞)上为增函数, 且在[2,+∞)上恒大于 0.
?a ? ≤ 2, ∴ ?2 ?4 ? 2a + 3a > 0. ? ∴-4<a≤4. 答案:B

[例题 设0 < a < b , a + b = 1 例题3]设 例题 A. b < 2ab < a 2 + b 2 < a 2 + b 2
2 2 2 2 C. 2ab < a + b < b < a + b

,下列不等式正确的是( ) 下列不等式正确的是( B. 2ab < b < a 2 + b 2 < a 2 + b 2
2 2 2 2 D. 2ab < a + b < a + b < b

*分析*Q 2ab?b = b(2a?1) = b(2a?a?b) = b(a?b) <0



2ab < b,
2
2

*点评 作差比较两个数的大小 点评*作差比较两个数的大小 点评 =a ?ab=a(a?b)<0 是最基本的方法, 是最基本的方法,在任何复杂 2 2 a +b <b 的情况下要坚持这个方法。 的情况下要坚持这个方法。另 外把1等量代换起到了重要的 外把 等量代换起到了重要的 2ab< a2 + b2 ,b < a2 + b2 作用,这要认真体会。 作用,这要认真体会。当然特 2 2 2 2 ∴ 2ab < a + b < b < a + b 殊值法也可解之,但作为能力 殊值法也可解之, 训练, 训练,我们还是强调本题给出 ∴ 应选择C. 的解法。 的解法。

Qa +b ?b=a +b(b?1)=a +b(b?a?b)
2 2 2



1 1 例 4.已知 x、 y ∈ R 且 x+2y=1,求 + 的最小值 x y
+

及取得最小值时的 x、y 值.

1 1 x + 2y x + 2y 2y x + = + = 3+ + ≥ 3+ 2 2 x y x y x y
2y x 当且仅当 = .再由 x+2y=1 解得 x y
2 x = 2 ? 1 , y = 1? . 2

1 1 1、若 < < 0 ,则下列结论不正确的是 D ) 则下列结论不正确的是( 、 a b
A. a 2 <b2 C. B. ab<b2 < D. |a|+|b|>|a+b| >

b a + >2 a b

2.原点和点(1,1)在直线 x+y-a=0 两侧, 则 a 的取值范围是( C ) A.a<0 或 a>2 B.a=2 或 a=0 C.0<a<2 D.0≤ a ≤2
3.如果方程 如果方程(x-1)(x -2x+m)=0 的三个根可以作为一个 如果方程
2

3 < m ≤1 三角形的三条边长, 的取值范围是________. 三角形的三条边长,那么 m 的取值范围是 4

4. 目标函数 z = 2 x + y ,变量 x, y 满足

?x ? 4 y + 3 ≤ 0 ? 3 x + 5 y < 25 ,则有 ( C ) y ? ?x ≥ 1 ?
3x+5y-25=0

A. z max = 12, z min = 3 . B. z max = 12, z 无最小值 . C. z min = 3, z 无最大值 . D. z 既无最大值,也无最小值 . 既无最大值,
x=1 2x+y=0

x-4y+3=0

x

5.下列结论正确的是 (

C



A.当 x > 0且x ≠ 1时, lg x + 1 ≥ 2 lg x

1 B. 当x ≥ 2时, x + 的最小值为 2 x
C. 当x > 0时, x +

1 x

≥2

1 D.当 x < 0时, x + 无最大值 x

6、已知点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动, 则 2x+4y 的最小值是( D ) A、8 B、6 C、

3 2

D、 4 2

1 4 7、已知两个正变量 x, y 满足 x + y = 4 ,则使不等式 + ≥ m x y 9 (?∞, ] 4 恒成立的实数 m 的取值范围是

8、若关于 x 的不等式 2 x ? 8 x ? 4 ? a > 0在1 < x < 4 内有解, 、 内有解,
2

的取值范围是( 则实数 a 的取值范围是( A ) A. a < ?4 B. a > ?4 C. a > ?12 . . .

D. a < ?12 .

变形: 上恒成立, 变形:若关于 x 的不等式 2 x ? 8 x ? 4 ? a > 0在(1, 4) 上恒成立,
2

则实数 a 的取值范围是

9.一变压器的铁芯截面为正十字型 为保证所需的磁通量 要求十字应 一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量 一变压器的铁芯截面为正十字型 为保证所需的磁通量,要求十字应 具有 4 5cm
2

的面积, 的面积,问应如何设计十字型宽 x 及长 y ,才能使其

外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省. 外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.

D

C

A

x

B

某工厂家具车间造A、 型两类桌子 型两类桌子, 某工厂家具车间造 、B型两类桌子,每张桌子需木工 和漆工两道工序完成。已知木工做一张A、 型桌子分 和漆工两道工序完成。已知木工做一张 、B型桌子分 别需要1小时和 小时,漆工油漆一张A、 型桌子分别 小时和2小时 别需要 小时和 小时,漆工油漆一张 、B型桌子分别 小时, 需要 3小时和 1小时,又知木工、漆工每天工作分别不 小时和 小时 又知木工、 得超过8小时和 小时,而工厂生产一张A、 型桌子分 小时和9小时 得超过 小时和 小时,而工厂生产一张 、B型桌子分 别可获利润2千元和 千元。试问工厂每天应生产A、 千元和3千元 别可获利润 千元和 千元。试问工厂每天应生产 、B 型桌子各多少张,才能获得最大利润? 型桌子各多少张,才能获得最大利润? 木工 A型 型 B型 型 1 2 漆工 3 1 利润 2 3

型桌子x张 型桌子y张 解:设每天生产A型桌子 张,B型桌子 张,每天所获 设每天生产 型桌子 型桌子 利润为z千元 千元, 利润为 千元,则

? x + 2 y ≤ 8, ?3 x + y ≤ 9, ? ? ? x ≥ 0, ? y ≥ 0. ?

(x、y∈Z) 、 ∈

目标函数为z=2x+3y 目标函数为z=2x+3y 如图,作出可行域, 如图,作出可行域,

2 z Q z = 2 x + 3 y可化为y = - x + 3 3 2 z 这 是斜 率 为 - , 在 y轴上 的 截 距 为 的 一 组平 行 直 线 3 3

2 z Q如图可知,当直线y = - x + 如 3 3 经 过可 行 域 上的 点 M 时, 直 线 在 z y 轴 上 的 截 距 最 大 , 即 z最 大 3 ?x + 2 y = 8 解方程组 ? ?3x + y = 9 ?x = 2 得? ,即 M (2,3) ?y = 3
所以z 万元) 所以 max=2x+3y=4+9=13=1.3(万元 万元 型桌子2张 型桌子3张才能获 答:每天应生产A型桌子 张,B型桌子 张才能获 每天应生产 型桌子 型桌子 最大利润1.3万元 万元。 最大利润 万元。

基本不等式的变形: 基本不等式的变形:

a +b a + b ≥ 2ab ? ab ≤ 2 a+b a + b ≥ 2 ab ? ab ≤ 2 a+b 2 ab ≤ ( ) 2
2 2 2

2

的是( 例6.下列函数中,最小值为 的是 .下列函数中,最小值为4的是

C

)

4 (A) y = x + x 4 (0 < x < π ) (B) y = sinx + sinx (C)y = 4e x + e-x

(D)y = log3 x + log x 3(0 < x < 1)

5 2 的最小值是______. 例7.若lgx+lgy=1, + 的最小值是 2 若 = , x y

进阶练习:
一、选择题:
1、已知

a > b ,在以下4个不等式中:
2

1 1 < a (1) a b (2)

lg( a 2 + 1 ) > lg( b 2 + 1 ) (4) 2 a > 2 b > b2 (3)

正确的个数有( D ) A. 4个 B. 3个 C. 2个

D.1个

2、若 log x 2 > log y 2 > 0,则下列不等式中成立的是( D) A. x C.
1 ? 2

< y
x

?

1 2

B.
1? y

(

1 ) 3

x ? y

< 3 > 3

x ? y

1 1? ( ) 3

< 3

D.

(

1 1? ) 3

x

1? y

log x 2 > log y 2 > 0 ? ? 1 < x < y ? ?

1、已知 a < b < 0, c < d < 0 ,那么下列判断中 、 正确的是( 正确的是(

C )
a b B、 < 、 d c D、 ad > bc 、

A、 a ? c < b ? d 、 C、 ac > bd 、

5.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别 在 高的山顶上, 则塔高为( 为 300 与 600,则塔高为( A )

400 A、 、 3

400 3 B、 、 3
A
30o

200 3 C、 、 3
E
60o

200 D、 、 3

200 m

D

B

C

基本不等式的变形: 基本不等式的变形:

a +b a + b ≥ 2ab ? ab ≤ 2 a+b a + b ≥ 2 ab ? ab ≤ 2 2 2 a+b 2 a +b ab ≤ ( ) ≤ 2 2
2 2 2

2


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