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高中数学解题思想方法技巧全集5__芝麻开门__点到成功

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第 5 才子开门
●计名释义

风情万种

所谓才子,就是才思繁捷的弟子. 数学才子,也像画学才子一样,胡洒乱泼,墨皆成画. 这里,人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来,科学的规律,艺术的工夫,全藏肘后. 别 人肩上的重负,移到他的掌上,都成了玩意儿.

●典例示范
[引例] 试比较以下三数的大小:
ln 2 ln 3 ln 5 , , 3 5 2

[解一] 建构函数法 设 f (x) =
1 ln x e ? f'(x)= 2 ln ≤0 ? f (x)为减函数 ? x x x
ln 2 ln 3 ln 5 > > 3 5 2

[旁白] 才子一看,发现是个错解,于是有以下的评语. [评语] 学了导数可糟糕,杀鸡到处用牛刀,单调区间不清楚,乱用函数比大小. [解二] 作差比较法

ln 2 ln 3 3 ln 2 ? 2 ln 3 ln 8 ? ln 9 1 8 ? ? ln <0 = 3 2?3 6 6 9 2 ln 2 ln 5 5 ln 2 ? 2 ln 5 ln 32 ? ln 25 1 32 ? ? ln = >0 5 2?5 10 10 25 2

?

ln 3 ln 2 ln 5 ? ? 3 2 5

[旁白] 才子一看,答案虽是对的,但解题人有点过于得意,因此得到以下评语. [评语]解题成本你不管,别人求近你走远,作差通分太费力,面对结果向回转. [旁白] 大家听才子这么说,纷纷要求才子本人拿出自己的解法来,于是有了以下的 奇解. [奇解]
ln 2 3 ln 8 × = <1 ln 3 ln 9 2 ln 2 5 ln 32 × = >1 ln 5 ln 25 2

?

ln 3 ln 2 ln 5 > > 3 5 2

[旁白] 大家一看,十分惊喜,但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评. [自评] 标新本来在立意,别人作商我作积,结果可由心算出,不用花费纸和笔. [旁白] 这时,上面那位提供解法一的人有点不服气:难道“求导法”就不能解出此 题吗? 才子回答:当然能!不过需要“统一单调区间” ,请看下解

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1 ln x e ? f'(x)= 2 ln <0 (x≥3) [正解] f (x) = x x x

?

ln 3 ln 4 ln 5 > > 3 4 5

?

ln 3 ln 2 ln 5 > > 3 5 2

[旁白] 大家一看,齐声说妙,要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文. [评语] 因为数 3 比 e 大,单调区间从 3 划,数 4 也在本区间,故把数 2 搬个家. 【例 1】 已知向量 a=( 3 , b 是不平行于 x 轴的单位向量, a? 1), 且 b= 3 , b= ( ) 则

? A.(

3 1 , ) 2 2

B.(

1 3 , ) 2 2

C.(

1 3 3 ) , 4 4

D. (1,0)?

【特解】 由|b|=1,排除 C;又 b 与 x 轴不平行,排除 D;易知 b 与 a 不平行,排除 A.答案只能为 B.? 【评说】 本解看似简单,但想时不易,要看出向量 b 与 A( 考生不能做到.? 【别解】 因为 b 是不平行于 x 轴的单位向量,可排除 C、D 两项. 又 a?b= 3 ,将 A

3 1 , )是平行向量,一般 2 2

代入不满足题意,所以答案只能为 B.? 【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到 A、B 选项时还需动手计 算,真是淘尽黄沙始是金啊!? 【另解】 设 b=(cosα ,sinα ),则 a?b=( 3 ,1)?(cosα ,sinα )=

3 cosα +sinα = 3

sin(60°+α )=

3 在区间(0,π )上解α 得:α =60°.? 2 3 ).? 2
本题涉及解三角方程,并确定解答区间,这不是一个小题的份量.?

故 b=( , 【评说】

1 2

【错解】 选 A 者,误在(

3 1 1 , ) ? a, 2 2 2

选 C 者,误在|(

1 3 3 ) ?a|=1.? , 4 4

选 D 者,没有考虑到(1,0)与 x 轴平行.? 【评说】 本题三个假支的设计,其质量很高,各有各的错因,相信各有各的“选择 人”.??

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●对应训练?
1.若奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,又 f(-3)=0,则{x|x?f(x)<0}等于 ( )? ? A.{x|x>3 或-3<x<0} B.{x|0<x<3 或 x<-3}? ? C.{x|x>3 或 x<-3} ? D.{x|0<x<3 或-3<x<0}? 2.某工程队有 6 项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行, 工程丙必须在工程乙完成后才能进行, 又工程丁必须在工程丙完成后立即进行, 那么安排这 6 项工程的不同排法种数是 .(用数字作答)??

●参考答案?
1.分析 由函数的奇偶性和单调性概念入手,结合其草图即可写出所求答案.? 解析一 由 f(x)为奇函数且 f(-3)=0,得 f(3)=0.又 f(x)在(0,+∞)上是增函数,据上述条件作 出满足题意的 y=f(x)草图(如图(1)),在图中找出 f(x)与 x 异号的部分,可以看出 x?f(x)<0 的 解集为{x|0<x<3 或-3<x<0},选 D.?

(1)

(2)

解析二 由 f(-3)=0 得 f(3)=0,又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出 y=f(x)(x>0)的草图(如 图(2)),∵x、f(x)均为 R 上的奇函数,∴x?f(x)为偶函数,∴不等式 x?f(x)<0 的解集关于原 点对称,故先解 ?

?x ? 0 借助图象得 0<x<3,由对称性得 x?f(x)<0 的解集为{x|0<x<3 或 ? f ( x) ? 0

-3<x<0},故选 D.? 解析三 借助图(1)或图(2),取特殊值 x=2,知适合不等式 x?f(x)<0,排除 A、C;又 奇?奇=偶,∴x?f(x)为偶函数,解集关于原点对称,又可排除 B,故选 D.? 【点评】 本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质, 是解题的基础与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三, 判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解 析二.? 奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)?奇(偶)=偶.? 数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大 体结构,作出草图即可.? 2.【分析】 排列组合解应用题.6 个元素作有限制的排列,其中 4 个元素有先后顺序.并 且 C,D 捆绑之后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑.? 【通解】 考查有条件限制的排列问题,其中要求部分元素间的相对顺序确定:据题 意由于丁必须在丙完成后立即进行,故可把两个视为一个大元素,先不管其它的限制条件,

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Http://www.fhedu.cn 使其与其他四人进行排列共有 A 5 种排法,在所有的这些排法中,甲、乙、丙相对顺序共有 5 A 3 种,故满足条件的排法种数共有 3 【正解】
5 A5 3 A3

=20.?

5 个元素设作 A,B,(C,D),x,y.将排列种数分两类:?

第一类,x,y 相连,在 A,B,(C,D)之间或两头插位,有 2C 1 =8 种方法.? 4 第二类,x,y 不连,在 A,B,(C,D)之间或两头插位,有 2C 2 =12 种方法.? 4 【评说】 先分类:“相连”与“不连”为完全划分;后分步:第 1 步组合,第 2 步排 列,也是完全划分.? 【另解】 5 个元素设作 A,B, (C,D) ,x,y.五个时位设作 a,b,(c,d),e,f.? 第 1 步考虑元素 x 到位,有 5 种可能;? 第 2 步考虑元素 y 到位,有 4 种可能;? 第 3 步,A,B, (C,D)按顺序到位,只 1 种可能.? 由乘法原理,方法总数为 5?4=20 种.? 【评说】 “另解”比“正解”简便,但思维要求高.在元素 x 和 y 已到位之后,在留 下的 3 个位置上,A,B, (C,D)按序到位情况只 1 种.——这点,一般学生不易想通.? 【别解】 设所求的排法总数为 x 种,在每 1 个排好的队列中,取消 A,B, (C,D) 3 元素的限序,则有 xP3=P5 ? x=

P5 =5?4=20.? P3

【评说】 别解也是“想得好,算得省” ,用的是乘法原理 P5=5P4=20P3.??

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