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正弦定理课件:课件四(21张PPT)


一、创设情境
1、问题的给出: 如图,要测量小河两岸A,B两个码头的距离。可在小河 一侧如在B所在一侧,选择C,为了算出AB的长,可先测出 BC的长a,再用经纬仪分别测出B,C的值,那么,根据a, B, C的值,能否算出AB的长。 A.

2、实际问题转化为数学问题:

a 已知三角形的两个角和一条边,求另一条边。 A.

B.

.C

B.

a

.C

想一想?

二、定理的猜想

在一个直角三角形 ABC中 ?

问题

a a sin A ? ? c? sin A c b b sin B ? ? c ? sin B c c c sin C ? 1 ? ? c? sin C c
a b c ? ? sin A sin B sin C

A c

b

C

a

B

(1)你有何结论?

(2)上述结论是否可推广到任意三角形?若成立,如何证明?

三、定理的证明

平面几何法

在?ABC中, 已知BC ? a, AC ? b, AB ? c, 作三角形的外接圆 , O为圆心, 连结AO并延长交圆于 B ' , 设AB ' ? 2 R, 则

A O b

? ?ACB ' ? 900 , ?B ? ?B '

B B`

C

b =2R sinB a b c = = =2R. sinA sinB sinC

b ? sin B ? sin B ? 2R
'

a b c ? ? ? 对任意三角形都成立 . sin A sin B sin C

正弦定理:
a b c ? ? sin A sin B sin C

(1)文字叙述 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角 的正弦的比相等. (2)结构特点 和谐美、对称美. (3)方程的观点

正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?

在锐角三角形中 B

两边同取与 j的数量积, 得 j ? AC ? CB ? j ? AB j ? AC ? j ? CB ? j ? AB (根据向量的数量积的 定义)

j
A

c
b

a

?

?

证明:过点 A作单位向量 j垂直 于 AC,
90?? ? ? , j与AC的夹角为? ? ? ? ? ?
? ?? j与CB的夹角为? ?90? ? ?C? ?, ??

C

j ? AC ? cos 90? ? j ? CB ? cos(90? ? C ) ? j ? AB ? cos(90? ? A)

即a ? sinC ? c ? sin A ? a c ? sin A sinC

90 ? ? j与AB的夹角为? ? ? ?????A? ? .

同理, 过C点作 j垂直于CB,可得 c b ? ,? 在锐角三角形中 sinC sin B a b c 也有 ? ? sin A sin B sinC

由向量加法的三角形法则
AC ? CB ? AB

在钝角三角形中

设?A ? 900 过点A作与AC垂直的单位向量 j , 则 j与AB的夹角为
A ? 90?
90? ? C

B

j与CB的夹角为

j
A C

具体证明过程 马上完成!

学以致用 如图:若测得a=48.1m,B=43 ° ,

C=69 °,求AB。

A.

B.

a

.C

解:A=180 °-(43 °+69 °)=68 °
在 ABC中,由正弦定理得:
a AB = sinA sinC

sinC 48.1· sin69° ∴AB= a· = ≈48.4(m)
sinA sin68 °

You try
例1.在?ABC中, 已知c ? 10, A ? 45?, C ? 30?. 求角B和边b.
解:
B ? 180? ? ( A ? C ) ? 105? b c ∵ sin B ? sin C

c ? sin B 10 ? sin105 ? ? b ?   ? sin 30? sin C

? 5 6 ? 5 2 ? 19

正弦定理应用一: 已知两角和任意一边,求其余两边和一角

例⒉在△ABC中,已知a=2,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 变式1:在△ABC中,已知a=4,b= 2 2,A=45°, a b 解:  ? 求B和c。 A ? sin B sin 变式2:在△ABC中,已知a=2 4 2 ,b=2 2 ,A=45°, 2 3 3 ? a b b sin A 2 ?1 解 :   求B和c。? ?    sin B ?? ?
sin Aa sin Bb a 2 解:  ? ?    A sin B 2 sin    Bsin A     c 2 ?21 ? b ? 90 2 2 ? 2    sin B ? b sin? 2 2 ? ? ? A a 4 2 2? 3       ? sin B ? a ? 4 3 2    B ? 30 或150 ( 舍去)     ? 3 6? 2    4? 正弦定理应用二: a sin C    B 60 ? ? 4  C ? 105?  c或120      ? ?2 3?2 42 3 6? 2 sin A 已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进 ? a sin C 23 8 3 4  C ? 75 或15  c ? ? ? 8? 而可求其它的边和角。(要注意可能有两解) 3 2 sin A 2
0
0 0

0

0

0

0

0

1.在?ABC中 (1)已知b ? 12, A ? 300 , B ? 120? , 求a;

(2)已知c ? 10, A ? 45? , C ? 30? , 求b, S ?ABC.
(3)已知A ? 300 , B ? C ? 600 , a ? 2, 求c.

点拨:已知两角和任意一边,求其余两边和一角,
此时的解是唯一的.

(1)已知b ? 12, A ? 300 , B ? 120? , 求a;
a b 解: ) ? (1 ? , s in A s in B b s in A 12 s in 300 ?a ? ? s in B s in 1200
?4 3

( )已知c ? 10, A ? 45 , C ? 30 , 求b, S ?ABC . 2
? ?

b c 解: ? ? , sin B sinC
B ? 180? ? ( A ? C ) ? 180? ? (45? ? 30? ) ? 105? ,
c ? sin B 10 sin105 ?b ? ? ? 5( 6 ? ? sinC sin 30 1 S ?ABC ? bc sin A 2
?

2)

1 ? ? 5( 6 ? 2 ) ? 10 sin45? 2 ? 25( 3 ? 1)

( 3)已知A ? 30? , B ? C ? 60? , a ? 2, 求c.

解:

? A ? 30 , B ? C ? 60
?

?

? B ? C ? 150? ?C ? 45?

a c 又? ? , sin A sin C

a ? sin C 2 sin 45 ?c ? ? ?2 2 ? sin A sin 30
?

2.在?ABC中 (1)已知b ? 3 , c ? 1, B ? 60? , 求a, 和A,C ;
(2)已知a ? 2 3 , b ? 2 2 , B ? 45? , 求A。

(3)已知a ? 20, b ? 28, A ? 1200 , 解这个三角形.

点拨:已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边 对大角定理等三角形有关性质.

2.在?ABC中 (1)已知b ? 3 , c ? 1, B ? 60? , 求a, 和A,C ;

b c 解: ? , sin B sinC

c sin B 1 ? sin60 1 ? sinC ? ? ? b 2 3
?

? b ? c , B ? 60? ,? C ? B , C为锐角, C ? 30?,A ? 90?

?a ?

c 2 ? b2 ? 2

( 2)已知a ? 2 3 , b ? 2 2 , B ? 45? , 求A.
2 3 sin 45? 3 a sin B ? ? 解: A ? sin 2 b 2 2 ? a ? b,? A ? C (大边对大角)

? A ? 60? 或120?

(3)已知a ? 20, b ? 28, A ? 120? , 解这个三角形.
b sin A 28 s in120? 解: sin B ? ? ? a 20
? 7 3 ?1 10

? 本题无解.

自我提高!
练习1、在 ABC中,若A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=( C )

A、1:2:3
C、1: 3 :2

B、3:2:1
D、2:

3 :1

练习2、在 ABC中,若 3a=2bsinA,则B=( C ) ? ? ? ? 2? 5? A、 B、 C、 或 D、 或
3 6 3

3

6

6

练习3.在?ABC中, 若 sin A ? sin B ? sin C , 则?ABC的形状是(    B)
2 2 2

A、等腰三角形

B、直角三角形

C、等腰直角三角形

D、不能确定

课时小结
a ? b ? c 一个 定理 ——正弦定理 sin A sinB sinC
二种 方法 —— 平面几何法 向量法

二个 应用 —— 已知两角和一边(只有一解) 已知两边和其中一边的对角
(有一解,两解,无解)

P144

习题5.9 1, 2, 4

思考题: 在?ABC中的两边a , b及角A
它们之间满足什么关系式有 一解, 两解, 无解.


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