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2.2 对数函数3_图文

对数的概念
定义:一般地,如果 a ? a ? 0, a ? 1?的b次幂等于 N, 就是 a b ? N,那么数 b叫做以a为底 N的对数,记作 log a N ? b 其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

a ? N ? loga N ? b
b
底数 指数 幂 底数 真数 对数

对数示例
2 3

=9 <=>log39=2
1/2 4

Log42=1/2 <=>

=2

通常将以10为底的对数称为常用对数,如log102,log1012等,为了方 便起见,对数log10N简记为lgN,如lg2,lg12等。 在科学技术中,常常使用以e为底的对数,这种对数称为自然对数, e=2.71828是一个无理数。正数N的自然对数logeN一般简记为lnN, 如loge2,loge15分别记为ln2,ln15等。

指数函数的图象和性质

y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质:
x

a>1
f?x? = 2x

0<a<1
f?x? = 0.5 x
4

4


-5

2

2

1 0 1
5

1
-5

0

1

5



-2

-2

-4

-4

-6





1.定义域:(??, ??) 2.值域: (0, ?? ) 3.过点 (0,1) ,即 x ? 0 时,y ? 1 4.在R上是 增 函数 在R上是 减函数

-6

引例:

y?2
x

x

有无反函数?若有,则求出.
4 3

分析:观察图象知,有反函数

f ( x) ? 2

x



y?2



x ? log2 y
-4 -2

2

1

所以反函数为:

2

y ? log2 x x ? (0,??)

1.对数函数的定义: 函数 y

? loga x(a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数;
y ? a (a ? 0且a ? 1) 的反函数。
x

它是指数函数

y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0, ??)
值域为 (??, ??)

2.对数函数的图象

由于对数函数 y ? loga 互为反函数,所以 y ? loga 的图象关于直线
5

y ? x对称。

x 与指数函数 y ? a x x 的图象与 y ? a

x

4 4

4

y=ax

(a>1)

3

y=ax
0<a<1
-4 -4 -2 -2

3 3

2 2

2

1 1

1

2 2

-4

-2

2

4

6

-1

y=logax (a>1)

-1 -1

y=logax
0<a<1

4 4

6

-2 -2

-2

3.对数函数的性质 a>1
3
3

0<a<1
2.5 2 1.5

2.5

2

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

-1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

-0 .5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1 .5

-1.5
-2

-2
-2 .5

-2.5

性 质

定义域: (0, ?? ) 值域: (??, ??) 过点 (1,0), 即当 x

x ? (0,1) ? y ? 0 x ? (1,??) ? y ? 0 在(0,+∞)上是 增 函数 在(0,+∞)上是 减 函数

x ? (0,1) ? y ? 0 x ? (1,??) ? y ? 0

? 0,y ? 1

3 1 【练习】 画出函数的图象, ,并且 3 说明这两个函数的相同性质和不同性质.

y ? log x, y ? log x

两图象都位于 解:相同性质: y=log 1 x y轴右方,都经过点(1,0), 3 这说明两函数的定义域都是 (0, ??), 值域都是(-?, ??),
4 4 3 3 2 2 1 1

且当x ? 1 时y ? 0
不同性质:y ? log3 x

-4

-2 -2

2 2

-1 -1

y=log3x
44

66

-2 -2

-3 -3

y ? log1 x 的图象是下降的曲线,在(0,+∞)
上是减函数.
3

的图象是上升的曲线,在(0,+∞)上是增函数;

【例1】求下列函数的定义域: (1) y ? loga x 解: 由
2
2

x ?0 得 x ? 0 2 ∴函数 y ? loga x 的定义域是 ?x | x ? 0?

x?4 解: 求 由 4 ? x ? 0 得 ,当真数为某一代数式 真数大于零
∴函数 的定义域是 y ? log ( 4 ? x ) x | x ? 4 a 时,可将其看作一个整体单独提出来,
x (3) y ? log ( 49 ? 7 ) 求其大于零的解集,即该函数的定义域 . ( x?1)

求解对数函数定义域问题的关键是要 y ? loga (4 ? x) (2 )

?

?

【练习】 求下列函数的定义域:
(1) (2) (3) (4)

y ? log3 ( x ?1)

? (1, ??) ? [1,??)
1 ? ( ?? , ) 3

y ? log3 x 1 y ? log 7 1 ? 3x 1 y? log2 x

? (0,1) ? (1,??)

【例2】比较下列各组数中两个值的大小: (1)log2 3.4, log2 8.5 (2)log0.3 1.8, log0.3 2.7 解:(1) 考查对数函数

y ? log2 x
-1

3

2.5

2

1.5

因为它的底数2>1,所以它在 (0,+∞)上是增函数,于是

1 0

1

0.5

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

log2 3.4 ? log2 8.5

-1.5

-2

-2.5

解 : (2 ) 考查对数函数

y ? log0.3 x
-1

3

2.5

2

1.5

因为它的底数0<0.3<1,所以它在 (0,+∞)上是减函数,于是

1

1

0.5

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

log0.3 1.8 ? log0.3 2.7

-1.5

-2

-2.5

(3) log 3 3.4, log 2
解:(3)

0 .5
3.4 0.5

( 4)
1

log 2 1.5, log 3 8.5
3 2.5 2 1.5

?

log 3 ? log 3 ? 0 log 2 ? log 2 ? 0
1
-1

1 0

1

0.5

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

?
解:(4)

-1

-1.5

-2

log 2 ? log 3
1.5 2 8.5 3

0.5

3.4

-2.5

?

log 2 ? log 2 ? 1 log 3 ? log 3 ? 1

?

log 2 ? log 3

1.5

8.5

要比较两个数的大小, 一般首先考虑用函数单 调性,如不能用,则可 先观察其正负,其次观 察其与1的大小关系。

【练习】 比较下列各题中两个值的大小:

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

< log106 log108 log0.56 < log0.54 log0.10.5 > log0.10.6 log1.51.6 > log1.51.4
1.5 > ————— 3
1 2

⑸ log

log 2
3

3 2

⑹ log 2
3

—————



lg

8.5

小结:
1.对数函数的定义:
函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数; 它是指数函数 y ? a 值域为 (??,??)
x

(a ? 0且a ? 1) 的反函数。

y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为(0,??)

2、比较两个对数值的大小

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
a>1 图
y y (1, 0) x (1, 0)

0<a<1


o

x

o

(1) 定义域: (0,+∞)

性 (2) 值域:R
(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0



x>1时, y>0

(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数


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