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2016年高考全国卷(文数)(新课标I)含答案全解析word版


2016 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I ) 数学(文科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)设集合 A ? {1,3,5,7} , B ? {x | 2 ? x ? 5} ,则 A ? B ? (A){1,3}(B){3,5}(C){5,7}(D){1,7} 【答案】B 【解析】 试题分析:集合 A 与集合 B 公共元素有 3,5,故 A ? B ? {3,5} ,选 B. 考点:集合运算 (2) 设 (1 ? 2i)(a ? i) 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a= (A)-3(B)-2(C)2(D)3 【答案】A 【解析】 试题分析:设 (1 ? 2i)(a ? i) ? a ? 2 ? (1 ? 2a)i ,由已知,得 a ? 2 ? 1 ? 2a ,解得 a ? ?3 , 选 A. 考点:复数的概念 (3)为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

1 1 1 5 (A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 6
【答案】A

1

考点:古典概型 (4)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a ? 5 , c ? 2 , cos A ? b= (A)

2 ,则 3

2 (B) 3 (C)2(D)3

【答案】D 【解析】 试题分析:由余弦定理得 5 ? b ? 4 ? 2 ? b ? 2 ?
2

2 1 ,解得 b ? 3 ( b ? ? 舍去) ,选 D. 3 3

考点:余弦定理 1 (5)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ,则该 4 椭圆的离心率为 1 1 2 3 (A) (B) (C) (D) 3 2 3 4 【答案】B 【解析】 试题分析:如图,由题意得在椭圆中, OF ? c, OB ? b, OD ?

1 1 ? 2b ? b 4 2

2 2 2 在 Rt?OFB 中, | OF | ? | OB |?| BF | ? | OD | ,且 a ? b ? c ,代入解得

a 2 ? 4c2 ,所以椭圆得离心率得: e ?
y

1 ,故选 B. 2

D F

B O x

考点:椭圆的几何性质 π 1 (6)若将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为 6 4 π π π π (A)y=2sin(2x+ ) (B)y=2sin(2x+ ) (C)y=2sin(2x– ) (D)y=2sin(2x– ) 4 3 4 3 【答案】D

2

考点:三角函数图像的平移 (7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几 28π 何体的体积是 ,则它的表面积是 3

(A)17π (B)18π (C)20π (D)28π 【答案】A 【解析】 试题分析:由三视图知:该几何体是

7 7 4 28 ? 3 个球,设球的半径为 R ,则 V ? ? ? R ? , 8 8 3 3

解得 R ? 2 ,所以它的表面积是

7 3 ? 4? ? 22 ? ? ? ? 22 ? 17? ,故选 A. 8 4

考点:三视图及球的表面积与体积 (8)若 a>b>0,0<c<1,则 (A)logac<logbc(B)logca<logcb(C)ac<bc(D)ca>cb 【答案】B

考点:指数函数与对数函数的性质
3

(9)函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

(A)

(B)

(C) 【答案】D

(D)

(10)执行右面的程序框图,如果输入的 x ? 0, y ? 1, n=1,则输出 x, y 的值满足 (A) y ? 2 x (B) y ? 3x (C) y ? 4 x (D) y ? 5 x

4

开始 输入x,y,n x=x+ n-1 ,y=ny 2

n=n+1

x2+y2≥36? 输出x,y 结束

【答案】C 【解析】 试题分析:第一次循环: x ? 0, y ? 1, n ? 2 , 第二次循环: x ?

1 , y ? 2, n ? 3 , 2 3 3 , y ? 6, n ? 3 ,此时满足条件 x 2 ? y 2 ? 36 ,循环结束, x ? , y ? 6 , 2 2

第三次循环: x ?

满足 y ? 4 x .故选 C 考点:程序框图与算法案例 (11)平面 ? 过正文体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A ? //平面CB1D1 , ? ? 平面ABCD ? m ,

? ? 平面ABB1 A1 ? n ,则 m,n 所成角的正弦值为
(A)

1 3 2 3 (B) (C) (D) 3 2 2 3

【答案】A

5

考点:平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.

(12)若函数 f ( x) ? x - sin 2 x ? a sin x 在 ? ??, ??? 单调递增,则 a 的取值范围是 (A) ??1,1? (B) ? ?1, ? (C) ? ? , ? (D) ? ?1, ? ? 3 3 3 3

1 3

? ?

1? ?

? 1 1? ? ?

? ?

1? ?

【答案】C 【解析】 试题分析: f ? ? x ? ? 1 ?

2 cos 2 x ? a cos x… 0 对 x ? R 恒成立, 3

故1 ?

2 4 5 2 cos2 x ? 1? ? a cos x… 0 ,即 a cos x ? cos 2 x ? … 0 恒成立, ? 3 3 3

即?

4 2 5 4 5 t ? at ? … 0 对 t ???1,1? 恒成立,构造 f ? t ? ? ? t 2 ? at ? ,开口向下的二 3 3 3 3

次函数 f ? t ? 的最小值的可能值为端点值,

1 ? f ? ?1? ? ? t… 0 ? 1 1 ? 3 a 故只需保证 ? ,解得 ? 剟 .故选 C. 3 3 ? f ? ?1? ? 1 ? t… 0 ? 3 ?
考点:三角变换及导数的应用

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
6

(13)设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a ? b,则 x=. 【答案】 ? 【解析】 试题分析:由题意, a ? b ? 0, x ? 2( x ? 1) ? 0,? x ? ? . 考点:向量的数量积及坐标运算 (14)已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+ 【答案】 ?

2 3 ? ?

2 3

π 3 π )= ,则 tan(θ– )=. 4 5 4

3 4

考点:三角变换 (15)设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若 面积为。 【答案】 3? 【解析】 试题分析:圆 C : x ? y ? 2ay ? 2 ? 0 ,即 C : x ? ( y ?a ) ? a ? 2 ,圆心为 C (0, a ) ,由
2 2 2 2 2

,则圆 C 的

| AB | ? 2 3, C

到 直 线

y? ? x2

的 a 距 离 为

| 0 ? a ? 2a | , 所 以 由 2

(

2 2

3 2

)?

?|a ? 0 a ( 2

| 22 ? a) ? 2 得 a 2 ? 21, 所以圆的面积为 ? (a2 ? 2) ? 3? .

考点:直线与圆 (16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要 甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg, 用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业 现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元。 【答案】 216000

7

将 z ? 2100 x ? 900 y 变 形 , 得 y ? ?

7 z 7 x? ,平行直线 y?? x ,当直线 3 900 3

7 z y ?? x? 经过点 M 时, z 取得最大值. 3 900
解方程组 ?

?10 x ? 3 y ? 900 ,得 M 的坐标 (60,100) . ?5 x ? 3 y ? 600

所以当 x ? 60 , y ? 100 时, zmax ? 2100 ? 60 ? 900 ?100 ? 216000 . 故生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000 元. 考点:线性规划的应用 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 ?an ? 是 公 差 为 3 的 等 差 数 列 , 数 列 ?bn ? 满 足

8

1 b1 =1,b2 = ,anbn ?1 ? bn ?1 ? nbn ,. 3
(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求 ?bn ? 的前 n 项和. 【答案】 (I) an ? 3n ? 1 (II)

3 1 ? . 2 2 ? 3n ?1

考点:等差数列与等比数列 18.(本题满分 12 分)如图,在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (I)证明 G 是 AB 的中点; (II)在答题卡第(18)题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由) ,并 求四面体 PDEF 的体积.

P

A G

E D B C

【答案】 (I)见解析(II)作图见解析,体积为

4 3

9

【解析】 试题分析:证明 AB ? PG. 由 PA ? PB 可得 G 是 AB 的中点. (II)在平面 PAB 内, 过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F , F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影.根据 正三棱锥 的侧面是直角三角形且 PA ? 6 ,可得 DE ? 2, PE ? 2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中,可 得 EF ? PF ? 2. 四面体 PDEF 的体积 V ?

1 1 4 ? ? 2? 2? 2 ? . 3 2 3

试题解析: (I)因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ,所以 AB ? PD.

因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E ,所以 AB ? DE. 所以 AB ? 平面 PED ,故 AB ? PG. 又由已知可得, PA ? PB ,从而 G 是 AB 的中点.

考点:线面位置关系及几何体体积的结束 (19) (本小题满分 12 分)某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器 有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用 期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零 件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
10

频数

24 20 16 10 6 0 16 17 18 19 20 21 更换的易损零件数

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上 所需的费用(单位:元) , n 表示购机的同时购买的易损零件数. (I)若 n =19,求 y 与 x 的函数解析式; (II)若要求―需更换的易损零件数不大于 n ‖的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; (III) 假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件, 或每台都购买 20 个易损 零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购 买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件? 【答案】 (I) y ? ?

, x ? 19, ?3800 ( x ? N ) (II)19(III)19 , x ? 19, ?500x ? 5700

考点:函数解析式、概率与统计 (20) (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H.
2

(I)求

OH ON



(II)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由.
11

【答案】 (I)2(II)没有

考点:直线与抛物线 (21) (本小题满分 12 分)已知函数 (I)讨论 (II)若 的单调性; 有两个零点,求 a 的取值范围. .

【答案】见解析(II)

?0, ???

【解析】 试题分析:(I)求导,根据导函数的符号来确定,主要要根据导函数零点来分类;(II)借组第 一问的结论来,通过分类判断得 a 的取值范围为 ? 0, ??? .
x x 试题解析: (I) f ' ? x ? ? ? x ? 1? e ? 2a ? x ? 1? ? ? x ? 1? e ? 2a .

?

?

(i)设 a ? 0 ,则当 x ? ? ??,1? 时, f ' ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 . 所以在 ? ??,1? 单调递减,在 ?1, ?? ? 单调递增.
12

(ii)设 a ? 0 ,由 f ' ? x ? ? 0 得 x=1 或 x=ln(-2a).

e x ,则 f ' ? x ? ? ? x ? 1? ? e ? e ? ,所以 f ? x ? 在 ? ??, ??? 单调递增. 2 e ②若 a ? ? ,则 ln(-2a)<1,故当 x ? ? ??,ln ? ?2a ?? ? ?1, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 ; 2
①若 a ? ? 当 x ? ln ? ?2a ? ,1 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ??,ln ? ?2a ? , ?1, ??? 单调递增,在

?

?

?

?

? ln ? ? 2a ? ,1? 单调递减.
③若 a ? ?

e , 则 ln ? ?2a ? ? 1 , 故 当 x ? ? ??,1 a ? ?? , ? 时 , f ' ? x? ? 0 , 当 ? ? ? ln? ? 2 2

x ? ?1, ln? ? 2 a ?? 时 , f ' ? x ? ? 0 , 所 以 f ? x ? 在 ? ??,1? , ? ln ? ?2a ? , ??? 单 调 递 增 , 在

?1, ln ? ?2a ? ? 单调递减.

考点:函数单调性,导数应用 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120° .以 O 为圆心, (I)证明:直线 AB 与 ? O 相切; (II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.

1 OA 为半径作圆. 2

13

【答案】(I)见解析(II)见解析

考点:四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 x ? y 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cos t (t 为参数,a>0) ? y ? 1 ? a sin t

.在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ= 4 cos ? . (I)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ?0 ,其中 ? 0 满足 tan ? 0 =2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都 在 C3 上,求 a. 【答案】 (I)圆, ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0 (II)1 【解析】
? x ? a cos t 试题分析:⑴把 ? 化 为 直 角 坐 标 方 程 , 在 化 为 极 坐 标 方 程 ; ⑵ C2 : ? y ? 1 ? a sin t

14

? x ? 2?

2

? y2 ? 4 , C3 : y ? 2 x , C1 C2 相减为 C3 由此可得 a ? 1
? x ? a cos t ( t 均为参数) ? ? y ? 1 ? a sin t
2

试题解析:⑴

∴ x2 ? ? y ? 1? ? a2 ①

1? 为圆心, a 为半径的圆.方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ∴ C1 为以 ? 0 ,
∵ x2 ? y 2 ? ? 2 ,y ? ? sin ? ∴ ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0 即为 C1 的极坐标方程

考点:参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 (24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2x ? 3 . (I)在答题卡第(24)题图中画出 y ? f ? x ? 的图像; (II)求不等式 f ? x ? ? 1 的解集.

15

1? ? 【答案】 (I)见解析(II) ? ?? , ? ? ?1 ,3? ? ? 5 ,? ? ? 3? ?

? ? x ? 4 ,x ≤ ?1 ? 3 ? ⑵ f ? x ? ? ?3x ? 2 ,? 1 ? x ? 2 ? 3 ? 4 ? x ,x ≥ ? ? 2
f ? x? ? 1

当 x ≤ ?1 , x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3
∴ x ≤ ?1

当 ?1 ? x ?

3 1 , 3x ? 2 ? 1,解得 x ? 1 或 x ? 2 3 1 3 ∴?1 ? x ? 或 1 ? x ? 3 2

16

3 当 x ≥ , 4 ? x ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3 2 3 ∴ ≤ x ? 3或 x ? 5 2 1 综上, x ? 或 1 ? x ? 3 或 x ? 5 3
1? ? ∴ f ? x ? ? 1 ,解集为 ? ?? , ? ? ?1 ,3? ? ? 5 ,? ? ? 3? ?

考点:分段函数的图像,绝对值不等式的解法

17


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