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辽宁省大连市2018-2019学年高三第一次模拟数学文试题+Word版含解析

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辽宁省大连市 2018-2019 学年高三第一次模拟 数学文试题最新试卷十年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送祝福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 设集合 A. 【答案】C 【解析】由题意得: ∴ 故选:C 2. 若复数 A. 1 B. 0 为纯虚数,则实数的值为( C. D. -1 ) , B. , C. D. ,则 ( )

【答案】D 【解析】设 ,得到: ∴ 解得: 故选:D 3. 中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中 记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算 筹的摆放形式有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数 位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示, 十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如 3266 用算筹表示就是 算筹可表示为( ) ,则 8771 用 ,且 +

A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间, 个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示, 则 8771 用算筹可表示为 故选:C. 4. 如图所示程序框图是为了求出满足 输出的 值分别是( ) 的最小正偶数 ,那么 空白框中及最后 ,

A. 【答案】D

和6

B.

和6

C.

和8

D.

和8

【解析】空白框中 n 依次加 2 可保证其为偶数,排除 A,C 时, 所以 D 选项满足要求. 故选:D. 5. 函数 的部分图象大致为( ) , 时,

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】由函数是偶函数,排除 A,C, 当 故选:D. 点睛:识图常用的方法 (1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这 一特征分析解决问题; (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题; (3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问 题. 6. 等差数列 ( A. 9 ) B. 81 C. 10 D. 90 的公差不为零,首项 , 是 和 的等比中项,则数列 的前 9 项和是 , .排除 B

【答案】B 【解析】设等差数列 的公差

是 和 的等比中项,

,解得

则数列 故选

的前 项和

7. 某几何体的三视图如图所示(单位: 位: )是( )

) ,其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积(单

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥, 故选:B. 8. 已知首项与公比相等的等比数列 为( A. ) B. C. D. 中,满足 ( , ) ,则

.

的最小值

【答案】A 【解析】由题意可得: ,

即 即

故选 9. 过曲线 是( ) 上一点 作曲线的切线, 若该切线在 轴上的截距小于 0, 则 的取值范围

A. 【答案】C 【解析】 切线斜率为 切线方程为 当 时,

B.

C.

D.



则 的取值范围是 故选 点睛:本题考查了导数的几何意义,运用导数先求出在切点处的切线方程,然后根据题意满 足在 轴上的截距小于 0,从而计算出结果,本题较为简单,理清题目意思即可求解答案。 10. 已知边长为 2 的等边三角形 则过 A. B. ,为 ) 的中点, 以 为折痕进行翻折, 使 为直角,

四点的球的表面积为( C. D.

【答案】C 【解析】折后的图形可放到一个长方体中,其体对角线长为 半径为 ,其表面积为 . 故选:D. 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为 平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=a,PB=b, , 故其外接球的

PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用 4R2=a2+b2+c2 求解.
11. 将函数 的值可以为( A. B. ) C. D. 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象,则

【答案】C 【解析】将函数 的图象向右平移个单位得到函数

∴ 得到: 故选:C. 12. 已知双曲线 且 A.

,∴ .当 k=1 时,

的左、右焦点分别为 、 ,若 上存在一点 满足 )



的面积为 3,则该双曲线的离心率为( B. C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】由双曲线可知

,从而

.

故选:B. 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 设实数 , 满足约束条件 【答案】14 【解析】作出可行域,如图: ,则 的最大值为__________.

由可行域可确定目标函数 故 故答案为:14 的最大值为 14



处取最大值

点睛:本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形 结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要 注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的 最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 14. 已知半径为 的圆周上有一定点 ,在圆周上等可能地任意取一点与点 连接,则所得弦 长小于 【答案】 【解析】当弦长为 时,如图: 的概率为__________.

, 故



满足题意,另一半也存在相同的弧 存在一点满足于题意的概率为

15. 已知抛物线 ,

,过点

任作一条直线和抛物线 交于 、 两点,设点 过定点__________.

,连接

并延长,分别和抛物线 交于点 和 ,则直线

【答案】

【解析】设 设A 同理:B 又 AB 过定点 ,

方程为: ,则 , ,∴ ,

,代入抛物线

得:

共线,∴

∴ ∴ 直线 : ,又

,即 ,∴ ,利用点在抛物线上化简得:

∴ ∴直线 过定点

故答案为: 16. 已知菱形 点,若 【答案】-7 的一条对角线 ,则 长为 2,点 为 上一点且满足 ,点 为 的中

__________.

【解析】

.

如图建立平面直角坐标系,设 , ∵ , ,∴ , ,解得: ,



. 故答案为:-7 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知 的内角 的对边分别为 ,若 ,且 .

求 的大小; 求 面积的最大值. (2) 运用正弦定理化简 ,由基本不等式可得 ,化简求出结果 3. 可得 , 故 所以 , . ,根据余弦定理可得 所以 , , 即可计算出结果 所以 算出

【答案】 (1)

【解析】试题分析: 法一:利用余弦定理

结果;法二:利用正弦定理 解析: 由

方法一:由 由基本不等式可得 当且仅当 从而 故

时,等号成立. , 面积的最大值为 .

方法二: 因为

所以



, 当 故 ,即 时, ,

面积的最大值为 .

18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 (单位:千元)对 年销售量 (单位: )和年利润(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 和年销售量 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6

573

6.8

289.8

1.6

215083.4

31280

表中



. 与 哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方

根据散点图判断,

程类型?(给出判断即可,不必说明理由) 根据 的判断结果及表中数据,建立 关于 的回归方程; .根据 的结果回答下列问题:

已知这种产品的年利润与 、 的关系为 年宣传费

时,年销售量及年利润的预报值是多少?

年宣传费 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据 计分别为: ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估



.

【答案】 (1)

(2)

(3)年销售量

,年利润

.年宣传费为

46.24 千元时,年利润预报值最大.

【解析】试题分析: (1)由散点图可以判断

适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回 知,当 时,

归方程类型; (2)利用公式计算 ,从而得到 关于 的回归方程; (3) 由 年销售量 的预报值为 报值 试题解析: 解: 令 由散点图可以判断 ,年利润的预报值为 ,求二次函数的最值即可. ; 根据

的结果知,年利润的预

适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型.

,先建立 关于 的线性回归方程

, , 所以 关于 的线性回归方程为 所以 关于 的线性回归方程为 由 知,当 , . ,

时,年销售量 的预报值为 .

年利润的预报值为 根据 的结果知,年利润的预报值

, 当 ,即 时,年利润的预报值最大,

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润预报值最大. 19. 在如图所示的几何体中, 四边形 的中点, . 是正方形, 平面 , 分别是线段 ,

求证: 求 到平面

平面



的距离.

【答案】 (1)见解析(2) 【解析】 (1)取 所以 ∥平面 , 中点 ,连接 ; (2) , 平面 所在直线为 ,易得四边形 ,且四边形 为平行四边形,从而 是正方形, 两两垂直, ,求出平面 与

以 为原点, 平面 解: 取

轴,建立空间直角坐标系

的法向量,代入公式得到所成锐二面角的余弦值. 方法一: 中点 ,连接 分别是 中点, 为正方形, , 平面 平面 . 四边形 , 为平行四边形, 平面 , , , ,



中点,

方法二: 取 中点 ,连接 是 又 是 中点, 是 中点, 是 , 又 平面 又 . 平面 , 平面 . , , 平面 , 平面 , 平面 , 平面 , 平面 , . , ,

中点, 中点,

方法三: 取 中点 ,连接 , , 中点, 是 中点

在正方形

中, 是

又 又



中点, 是 ,

中点,



, , 平面 //平面 平面 平面 . .

方法四: 平面 所在直线为 则 ,且四边形 是正方形, , 两两垂直, 以 为原点, , ,

轴,建立空间直角坐标系

, 则设平面 则 法向量为 , 即 , , 取 ,

, 所以 ,又 平面 , ∥平面 .

平面 所在直线为 则 设平面 法向量为

,且四边形

是正方形, ,

两两垂直,以 为原点,





轴,建立空间直角坐标系

, ,



, 即



取 则设平面

, 法向量为 ,



, 即

, 取



.

平面

与平面

所成锐二面角的余弦值为

.

(若第一问用方法四,则第二问部分步骤可省略)

点睛:本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答 立体几何问题的一般步骤是: (1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系; (2)写出相应点 的坐标,求出相应直线的方向向量; (3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为 零列出方程组求出法向量; (4)将空间位置关系转化为向量关系; (5)根据定理结论求出相 应的角和距离. 20. 在平面直角坐标系 求椭圆 的方程; 已知 形 与 为平面内的两个定点,过点 的直线与椭圆 交于 两点,求四边 中,椭圆 的离心率为 ,点 在椭圆 上.

面积的最大值. (2)6 , 面积的

【答案】 (1)

【解析】 试题分析: (1) 由椭圆定义得到动圆圆心 的轨迹 的方程; (2) 设的方程为 联立可得 ,通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形

表达式,利用换元法及均值不等式求最值即可. 试题解析: 解: 由 可得, ,又因为 ,所以 .

所以椭圆 方程为

,又因为

在椭圆 上,所以

.

所以

,所以

,故椭圆方程为

.

方法一:设的方程为 消去 得

,联立 ,设点

, ,





所以







,由

函数



故函数

,在

上单调递增,

故 当且仅当 四边形

,故 即 时等号成立,

面积的最大值为 . ,联立 ,设点 , ,

方法二:设的方程为 消去 得 有







到直线的距离为





到直线的距离为 的面积



从而四边形









函数



故函数

,在

上单调递增,

有 大值为 .

,故

当且仅当



时等号成立,四边形

面积的最

方法三:①当的斜率不存在时, 此时,四边形 的面积为 . ,

②当的斜率存在时,设为: 则



, 四边形 的面积 ,



则 , , ,

综上,四边形 21. 已知函数

面积的最大值为 . , .



恒成立,求 的取值范围; 的两个零点,且 ,求证: .

已知 , 是函数 【答案】 (1) (2)见解析

【解析】试题分析: 构造 联立方程组求解 转化为证明

,求导,算单调性,取最值情况 ,设

法一:

,求导证明结论;法二:

要证 解析: 令

,只需证

,由单调性只需证 ,有

,令 ,当 上单调递增, 时, 在

证明结论 ,当 处取得最

时, 大值,为 若 ,

,所以



上单调递减,在

恒成立,则 方法一: ,

即 ,

.

, 即 ,

欲证:

,只需证明

,只需证明



只需证明

.



,则只需证明



即证:

.

设 在

, 单调递减, ,所以原不等式成立.

, ,

方法二: 由 (1) 可知, 若函数 要证 ,只需证 , 只需证 又 即证 即证 , . , , ,由于 在

有两个零点, 有

, 则

, 且 ,由



上单调递减,从而只需证











上单调递增, 成立.



.

所以原不等式

点睛:本题考查了运用导数证明恒成立和不等式问题,在证明恒成立时构造新函数,求导利 用单调性即可证明,在证明不等式时,有一定难度,注意题目的转化,构造 或是利用单

调性转化为

,本题属于难题。

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 , 求 与 交点的极坐标; 设点 在 上, 【答案】 (1) (2) ,得到 ,由已知 ,从而求出 与 的交点的极坐标; (2) 利用相关点法可得动点 的极坐标 ,求动点 的极坐标方程. .

【解析】试题分析: (1)联立 设 方程. 试题解析: , 且

(1)联立 (2)设 ,

, 且







交点坐标

.

,由已知



,点 的极坐标方程为

.

23. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 当 时,求不等式 ,都有 【答案】 (1) (2) , .

的解集; 恒成立,求 的取值范围.

【解析】试题分析: (1)对 x 分类讨论,得到三个不等式组,分别解之,最后求并集即可; (2) 对于 ,都有 恒成立,转化为求函数的最值问题即

可..................................... 试题解析:

解:

当 m=-2 时,

,



解得



恒成立



解得

此不等式的解集为

.







当 由 当且仅当

时,不等式化为

.



时等号成立.

, 当 时,不等式化为 ,令 , 在 当 时, . 综上 .

. . , .

上是增函数. 取到最大值为 .


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