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河南省郑州市登封一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


河南省郑州市登封一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)数列 , , , ,…的第 10 项是() A. B. C. D.

2. (5 分)设△ ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2,c=4,B=60°,则 b 等于 () A.28 B. 2 C.12 D.2 3. (5 分)不等式 x﹣2y+6<0 表示的区域在直线 x﹣2y+6=0 的() A.右上方 B.左上方 C.右下方 D.左下方 4. (5 分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是() A.a1,a3,a9 成等比数列 B. a2,a3,a6 成等比数列 C. a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 5. (5 分)已知 f(x)=x+ ﹣2(x<0) ,则 f(x)有() A.最大值为 0 B.最小值为 0 C.最大值为﹣4 D.最小值为﹣4

6. (5 分)数列{an}满足 a1=2,an= A. B. ﹣

,其前 n 项积为 Tn,则 T2014=() C. 6 D.﹣6

7. (5 分)推理过程 个数为() A.0

?

?ac>bd? > 共有三个推理步骤,其中错误步骤的

B. 1

C. 2

D.3

8. (5 分)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c<bcosA,则△ ABC 为() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定

9. (5 分)已知 < <0,给出下列四个结论:①ab<b ;②a+b<ab;③a|a|>b|b|;④a >b .其中正确结论的个数是() A.1 B. 2
3

2

3

C. 3

D.4

10. (5 分)如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 间的距离,李宁同学首先选定了与 A,B 不共线的一点 C,然后给出了三种测量方案: (△ ABC 的角 A,B,C 所对的边分别记为 a,b, c) :①测量 A,C,b;②测量 a,b,C;③测量 A,a,b 则一定能确定 A,B 间距离的所有 方案的序号为()

A.②③

B.①②

C.①③

D.①②③ (n∈N ) .若
*

11. (5 分)数列{an}的各项为正数,其前 n 项和 Sn=4﹣
*

Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N ) ,则 Tn 的取值所在的区间最恰当的是() A. B.

16. (5 分)已知实数 x,y 满足 xy+1=4x+y,且 x>1,则(x+1) (y+2)的最小值为.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知 f(x)=﹣3x +m(6﹣m)x+6 (Ⅰ)若关于 x 的不等式 f(x)>n 的解集为(﹣1,3) ,求实数 m,n 的值; (Ⅱ)解关于 m 的不等式 f(1)<0. 18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b +c =a +bc. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)如果 cosB= ,b=2,求 a 的值.
2 2 2 2

19. (12 分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的 最小值;若不存在,说明理由. 20. (12 分)为了测量某峰顶一颗千年松树的高(底部不可到达) ,我们选择与峰底 E 同一水 平线的 A,B 为观测点,现测得 AB=20 米,点 A 对主梢 C 和主干底部 D 的仰角分别是 40°, 30°,点 B 对 D 的仰角是 45°.求这棵千年松树的高(即求 CD 的长,结果保留整数.参考数 据:sin10°=0.17,sin50°x,y,z)

21. (12 分)人们生活水平的提高,越来越注重科学饮食.营养学家指出,成人良好的日常饮 食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质, 0.06kg 的脂肪.1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合 物, 0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同 时使花费最低,每天需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg?最低花费是多少? 22. (12 分)将各项均为正数的数列{an}排成如下所示的三角形数阵(第 n 行有 n 个数,同一 行中,下标小的数排在左边) .bn 表示数阵中,第 n 行、第 1 列的数.已知数列{bn}为等比数 列,且从第 3 行开始,各行均构成公差为 d 的等差数列(第 3 行的 3 个数构成公差为 d 的等 差数列;第 4 行的 4 个数构成公差为 d 的等差数列,…) ,a1=1,a12=17,a18=34.

(1)求数阵中第 m 行、第 n 列的数 A(m,n) (用 m、n 表示) . (2)求 a2014 的值.

河南省郑州市登封一中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)数列 , , , ,…的第 10 项是() A. B. C. D.

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由数列 , , , ,…可得其通项公式 an= 解答: 解:由数列 , , , ,…可得其通项公式 an= ∴ = . .即可得出. .

故选 C. 点评: 得出数列的通项公式是解题的关键. 2. (5 分)设△ ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2,c=4,B=60°,则 b 等于 () A.28 B. 2 C.12 D.2 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理列出关系式,把 a,c 以及 cosB 的值代入计算即可求出 b 的值. 解答: 解:∵△ABC 中,a=2,c=4,B=60°, 2 2 2 ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=4+16﹣8=12, 则 b=2 . 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题关键. 3. (5 分)不等式 x﹣2y+6<0 表示的区域在直线 x﹣2y+6=0 的() A.右上方 B.左上方 C.右下方 D.左下方 考点: 一元二次不等式的应用;二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 计算题. 分析: 过点(﹣6,0)和(0,3)作出直线 x﹣2y+6=0,把原点(0,0)代入 x﹣2y+6<0, 不成立,不等式 x﹣2y+6<0 表示的平面区域是不含原点的半平面. 解答: 解:过点(﹣6,0)和(0,3)作出直线 x﹣2y+6=0, 把原点(0,0)代入得 x ﹣2y+6>0, ∴不等式 x﹣2y+6<0 表示的平面区域是不含原点的半平面, ∴不等式 x﹣2y+6<0 表示的平面区域在直线 x﹣2y+6=0 的左上方. 故选 B. 点评: 本题考查二无一次不等式的几何意义,解题时要作出半平面,然后结合图象数形结 合,事半功倍. 4. (5 分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是() A.a1,a3,a9 成等比数列 B. a2,a3,a6 成等比数列 C. a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 利用等比中项的性质,对四个选项中的数进行验证即可. 解答: 解:A 项中 a3=a1?q ,a1?a9= B 项中(a3) =(a1?q ) ≠a2?a6= C 项中(a4) =(a1?q ) ≠a2?a8= D 项中(a6) =(a1?q ) =a3?a9=
2 5 2 2 3 2 2 2 2 6 2

?q , (a3) ≠a1?a9,故 A 项说法错误,

8

2

?q ,故 B 项说法错误, ?q ,故 C 项说法错误, ?q ,故 D 项说法正确,
10 8

故选 D. 点评: 本题主要考查了是等比数列的性质.主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行 判断.

5. (5 分)已知 f(x)=x+ ﹣2(x<0) ,则 f(x)有() A.最大值为 0 B.最小值为 0 C.最大值为﹣4 D.最小值为﹣4

考点: 函数的最值及其几何意义. 分析: 因为 x<0,可得﹣x>0,然后利用不等式的基本性质进行放缩,从而求解. 解答: 解:∵x<0,∴﹣x>0, ∴x+ ﹣2=﹣(﹣x+ 等号成立的条件是﹣x= )﹣2≤﹣2 ﹣2=﹣4,

,即 x=﹣1.

故选 C. 点评: 此题考查函数的最值及其几何的意义,利用不等式的性质进行求解,是一道基础题, 主要是符号的变化.

6. (5 分)数列{an}满足 a1=2,an= A. B. ﹣

,其前 n 项积为 Tn,则 T2014=() C. 6 D.﹣6

考点: 数列递推式. 专题: 计算题;点列、递归数列与 数学归纳法. 分析: 根据数列{an}满足 a1=2,an= a1a2a3a4=1,即可得出结论. 解答: 解:∵an= , ,可得数列{an}是周期为 4 的周期数列,且

∴an+1=



∵a1=2,∴a2=﹣3,a3=﹣ ,a4= ,a5=2,…, ∴数列{an}是周期为 4 的周期数列,且 a1a2a3a4=1, ∵2014=4×503+2, ∴T2014=﹣6. 故选:D. 点评: 本题考查数列递推式,考查学生分析解决问题的能力,确定数列{an}是周期为 4 的周 期数列,且 a1a2a3a4=1 是关键.

7. (5 分)推理过程 个数为() A.0

?

?ac>bd? > 共有三个推理步骤,其中错误步骤的

B. 1

C. 2

D.3

考点: 演绎推理的基本方法. 专题: 不等式的解法及应用;推理和证明. 分析: 本题根据不等式的基本性质进行严格推理,注意不等式的运用条件,不具备条件的 不能乱用法则,可得本题结论. 解答: 解:第一个推理: ? 是错误的.

不确定 b,c 的符号时,由

不能推导出



第二个推理是正确的. ∵ac>bc,bc>bd, ∴根据不等式的传递性,有 ac>bc>bd,即 ac>bd. 第三个推理 ac>bd? > 是错误的. ∵当 cd>0 时,ac>bd,? > , ∴当 cd<0 时,ac>bd,? < , 当 cd=0 时, > 无意义, ∴本题的错误推理有两个. 故选 C. 点评: 本题考查的是不等式的基本性质,注意不等式传递时的条件,不能乱用不等式.本 题有一定的思维量,属于中档题.

8. (5 分)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c<bcosA,则△ ABC 为() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 依题意,可得 sinC<sinBcosA,利用两角和的正弦整理得 sinAcosB<0,从而可判断 B 为钝角. 解答: 解:△ ABC 中,∵c<bcosA, ∴sinC<sinBcosA, 即 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA<sinBcosA, ∴sin AcosB<0,sinA>0, ∴cosB<0,B 为钝角, ∴△ABC 为钝角三角形, 故选:A. 点评: 本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与两角和的正弦,属于中档题.
2 3

9. (5 分)已知 < <0,给出下列四个结论:①ab<b ;②a+b<ab;③a|a|>b|b|;④a >b .其中正确结论的个数是() A.1 B. 2
3

C. 3

D.4

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题可以利用不等式基本性质证明正确的不等式,用举反例的方法说明那些命题不 正确,从而得到本题结论. 解答: 解:∵ < <0, ∴a<0,b<0,b<a<0. ∴a﹣b>0. (1)∵b<0,b﹣a<0. ∴b ﹣ab=b(b﹣a)>0, 2 ∴b >ab, 故①正确; (2)∵ab>0,a+b<0, ∴ab>a+b, 故②正确; 2 2 (3)∵a|a|=﹣a ,b|b|=﹣b , 2 2 ∴a|a|﹣b|b|=b ﹣a =(b﹣a) (b+a) . ∵a<0,b<0,b﹣a<0, ∴a|a|﹣b|b|>0, ∴a|a|>b|b|. 故命题③正确; 3 3 2 2 (4)∵ a ﹣b =(a﹣b) (a +ab+b ) , 2 2 又∵a﹣b>0,a >0,ab>0,b >0,
2

∴a ﹣b >0, 3 3 ∴a >b . 故④正确. 综上,命题①②③④均正确. 故选 D. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,本题难度不大,属于基础题. 10. (5 分)如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 间的距离,李宁同学首先选定了与 A,B 不共线的一点 C,然后给出了三种测量方案: (△ ABC 的角 A,B,C 所对的边分别记为 a,b, c) :①测量 A,C,b;②测量 a,b,C;③测量 A,a,b 则一定能确定 A,B 间距离的所有 方案的序号为()

3

3

A.②③

B.①②

C.①③

D.①②③

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 根据图形,可以知道 a,b 可以测得,角 A、B、C 也可测得,利用测量的数据,求 解 A,B 两点间的距离唯一即可. 解答: 解:对于①③可以利用正弦定理确定唯一的 A,B 两点间的距离. 对于②直接利用余弦定理即可确定 A,B 两点间的距离. 故选 D. 点评: 本题以实际问题为素材,考查解三角形的实际应用,解题的关键是分析哪些可测量, 哪些不可直接测量,注意正弦定理的应用. (n∈N ) .若
*

11. (5 分)数列{an}的各项为正数,其前 n 项和 Sn=4﹣
*

Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N ) ,则 Tn 的取值所在的区间最恰当的是() A.
3﹣2×1

B. < ,

又 Tn≥T1=a1a2=2 =2, ∴Tn∈ ≥1+2(7+6)=27. ∴(x+1) (y+2)取最小值为 27. 故答案为:27. 点评: 本题主要考查基本不等式及应用,解题时应注意变量的范围,同时用一个变量表示 另一个变量,这是解题常用的方法,应掌握,最后要检验最值取得的条件. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 17. (10 分)已知 f(x)=﹣3x +m(6﹣m)x+6 (Ⅰ)若关于 x 的不等式 f(x)>n 的解集为(﹣1,3) ,求实数 m,n 的值; (Ⅱ)解关于 m 的不等式 f(1)<0.

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据二次函数和不等式的关系,得到方程组,解出即可; (2)由已知 f(1)= 2 2 ﹣m +6m+3,得不等式﹣m +6m+3<0,解出即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)>n, ∴3x ﹣m(6﹣m)x+n﹣6<0, 2 ∴﹣1,3 是方程 3x ﹣m(6﹣m)x+n﹣6=0 的两根,
2






2

(Ⅱ)由已知 f(1)=﹣m +6m+3, 2 ∴﹣m +6m+3<0, 2 ∴m ﹣6m﹣3>0, ∴ , ∴不等式 f(1)<0 的解集为: . 点评: 本题考查了二次函数的性质,考查了不等式和二次函数的关系,是一道基础题. 18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b +c =a +bc. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)如果 cosB= ,b=2,求 a 的值.
2 2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用余弦定理表示出 cosA,将已知等式变形后代入求出 cosA 的值,即可确定 出 A 的大小; (Ⅱ)由 cosB 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值,再由 sinA,b 的值,利 用正弦定理即可求出 a 的值. 2 2 2 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)∵b +c =a +bc,即 b +c ﹣a =bc, ∴cosA= 又∵A∈(0,π) , ∴A= ; ,B∈(0,π) , = , = ,

(Ⅱ)∵cosB= ∴sinB=

由正弦定理

=

,得 a=

=

=3.

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解 本题的关键. 19. (12 分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的 最小值;若不存在,说明理由. 考点: 等差数列的性质;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设出数列的公差,利用等比中项的性质建立等式求得 d,则数列的通项公式可 得. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中数列的通项公式,表示出 Sn 根据 Sn>60n+800,解不等式根据不等式的 解集来判断. 2 解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成比数列,故有(2+d) =2 (2+4d) , 化简得 d ﹣4d=0,解得 d=0 或 4, 当 d=0 时,an=2, 当 d=4 时,an=2+(n﹣1)?4=4n﹣2. (Ⅱ)当 an=2 时,Sn=2n,显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立, 当 an=4n﹣2 时,Sn=
2 2 2

=2n ,

2

令 2n > 60n+800,即 n ﹣30n﹣400>0, 解得 n>40,或 n<﹣10(舍去) , 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41, 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的正整数 n, 当 an=4n﹣2 时,存在满足题意的正整数 n,最小值为 41 点评: 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质.要求学生对等差数列和等比数列的通 项公式,求和公式熟练记忆. 20. (12 分)为了测量某峰顶一颗千年松树的高(底部不可到达) ,我们选择与峰底 E 同一水 平线的 A,B 为观测点,现测得 AB=20 米,点 A 对主梢 C 和主干底部 D 的仰角分别是 40°, 30°,点 B 对 D 的仰角是 45°.求这棵千年松树的高(即求 CD 的长,结果保 留整数.参考数 据:sin10°=0.17,sin50°x,y,z)

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 先利用正弦定理求出 AD,在△ ACD 中,由正弦定理求出 CD. 解答: 解:∵∠DAE=30°,∠DBE=45°, 0 ∴∠ADB=45°﹣30 , 0 0 ∴sin∠ADB=sin(45 ﹣30 )=sin45°cos30°﹣ cos45°sin30°= 在△ ABD 中,由正弦定理得 ∵AB=20, .…(4 分) ,



.…(8 分)

根据题意,得∠CAD=10°,∠ACD=50°,在△ ACD 中,由正弦定理得



(米) .…(11 分)

答:这棵千年松树高 12 米.…(12 分)

点评: 本题考查仰角的定义,考查学生的计算能力,要求学生能借助正弦定理解题. 21. (12 分)人们生活水平的提高,越来越注重科学饮食.营养学家指出,成人良好的日常饮 食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质, 0.06kg 的脂肪.1kg 食物 A 含有 0.105kg

碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合 物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时 使花费最低,每天需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg?最低花费是多少? 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用.本题主要考 查找出约束条件与目标函数,准确地描画可行域,再利用图形直线求得满足题设的最优解. 解答: 解:设每天食用 xkg 食物 A,ykg 食物 B,总花费为 z 元,那么 则目标函数为 z=28x+21y,且 x,y 满足约 束条件

,…(3 分)

整理

,…(5 分)

作出约束条件所表示的可行域, 如右图所示.…(7 分) 将目标函数 z=28x+21y 变形. .如图,作直线 28x+21y=0,当直线平移经过可行域,在过点 M 处时,y 轴上截距 最小,即此时 z 有最小值.…(9 分) 解方程组 ,得点 M 的坐标为 .…(11 分)

∴每天需要同时食用食物 A 约 kg,食物 B 约 kg.…(12 分) 能够满足日常饮食要求,且花费最低 16 元.…(13 分)

点评: 本题考查简单线性规划的应用,用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条 件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列 出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值 一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解. 22. (12 分)将各项均为正数的数列{an}排成如下所示的三角形数阵(第 n 行有 n 个数,同一 行中,下标小的数排在左边) .bn 表示数阵中,第 n 行、第 1 列的数.已知数列{bn}为等比数 列,且从第 3 行开始,各行均构成公差为 d 的等差 数列(第 3 行的 3 个数构成公差 为 d 的等 差数列;第 4 行的 4 个数构成公差为 d 的等差数列,…) ,a1=1,a12=17,a18=34.

(1)求数阵中第 m 行、第 n 列的数 A(m,n) (用 m、n 表示) . (2)求 a2014 的值. 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: (1) 依题意, a12 为数阵中第 5 行、 第 2 列的数; a18 为数阵中第 6 行、 第 3 列的数. 求 出公差与公比,即可求数阵中第 m 行、第 n 列的数 A(m,n) (用 m、n 表示) . (2)a2014 为数阵中第 63 行,第 61 列的数,即可求 a2014 的值. 解答: 解: (1)设{bn}的公比为 q. 依题意,a12 为数阵中第 5 行、第 2 列的数;a18 为数阵中第 6 行、第 3 列的数. ∴b1=1, ∴q=2,d=1, ∴ , . . …(6 分) , .…(3 分)

(2)由 1+2+3+…+62=1953,1+2+3+…+62+63=2016,2013﹣1953=60 知,a2014 为数阵中第 63 行,第 61 列的数. 63 ∴a2014=2 +61. …(12 分) 点评: 本题是规律探究型题目,此题要发现各行的数字个数和行数的关系,从而进行分析 计算.


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