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第一章函数的概念与性质题型总结


第一章函数题型总结
一求函数的定义域 1.⑴ y ?

x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

⑶y?

1 1 1? x ?1

? (2 x ? 1)0 ? 4 ? x 2

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_ _

_;函数 f ( x ? 2) 的定义域为________; ; 函 数 f ( ? 2) 的 定 义 域

3. 若 函 数 f ( x ? 1) 的 定 义 域 为 [?2, 3] , 则 函 数 f (2 x ? 1) 的 定 义 域 是 为 。

1 x

4.知函数 f ( x ) 的定义域为 [?1, 1] ,且函数 F ( x) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m) 的定义域存在,求实数 m 的取值范围。

5.已知函数 f ( x) 的定义域为 [1,9] ,求函数 g ( x) ? f ( x2 ) ? f 2 ( x) 的定义域。

6.已知函数 f ( x) 的定义域为 [0,1] ,求函数 g ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? a)(a ? 0) 的定义域

二 已知函数的定义域,求参数的值或取值范围 3 x?4 ①已知函数 f ( x ) ? 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围。 2 mx ? 4mx ? 3

②已知函数 f ( x) ? ln(ax 2 ? ax ? 1) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围。

1

②若函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? a ? 3 的定义域为 [1, 4] ,求实数 a, b 的值

三 求函数的值域 1.求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ( x ? R ) ⑵ y ? x2 ? 2 x ? 3 x ? [1, 2] ⑶y?

3x ? 1 x ?1

⑷y?

3x ? 1 ( x ? 5) x ?1

2 x ?6 ⑸ y? x ?2

5 x 2+9x ? 4 ⑹ y? x2 ?1

⑺ y ? x ? 3 ? x ?1

⑻ y ? x 2? x

⑼ y ? ? x2 ? 4 x ? 5

⑽ y ? 4 ? ? x2 ? 4 x ? 5

⑾ y ? x ? 1 ? 2x

四 求函数的解析式
2 1. f ( x ?1) ? x ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式。

2 2.已知 f ( x) 是二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? 2 x ? 4 x ,求 f ( x) 的解析式。

2

3.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) =



4.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时 f ( x) =____

_

f ( x) 在 R 上的解析式为
五 求函数的单调区间 1 求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ⑵ y ? ? x2 ? 2 x ? 3 ⑶ y ? x ? 6 x ?1
2

2 2.函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是单调递减函数,则 f (1 ? x ) 的单调递增区间是

3.函数 y ?

2? x 的递减 3x ? 6

区间是

;函数 y ?

2? x 的递减区间是 3x ? 6

六 已知单调性求参数的范围 1.若函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在区间 [2, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值集合为______ 2.若函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 3 的增区间是 [2, ??) ,则实数 a 的取值集合为___

3.若 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在区间 [ ?1,1] 上具有单调性,则实数 a 的取值集合为______

七 单调性的应用 1 若 f ( x) 在 [a, b] 上是单调函数,且 f (a) ? f (b) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在 [a, b] 内( ) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.有唯一实根 2 2.函数 f ( x) 是定义域 [ ?1,1] 上的增函数,且 f (m ? 1) ? f (m ? 1) ,则实数 m 的取值范围为_______
3

3.已知函数 f ( x) 在定义域 R 上是增函数,且满足 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( ) ? 1 ,则不等式 ?1 ? f (2 x ? 1) ? 0 的解集 为___________________ 八 抽象函数问题 1.函数 f ( x) 对任意的实数 x, y 都满足: f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 2 xy ( x, y ? R), f (1) ? 2 ,则 f ( ?3) ? ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 2.已知函数 f ( x) 对任意实数 x, y 都有 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) 。求 f (1) 和 f ( ?1) 的值; 3.若函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且在 (0, ??) 上是增函数, f (2) ? 0 ,则不等式 f (2 x ? 2) ? 0 的解集为________。

1 2

? x ? 1( x ? 9) 九 求函数值(分段函数) 1.已知集合 M ? N ? {5,6,7,8,9} ,规定从 M 到 N 的一个映射为 f ( x) ? ? ,若 ?5 ( x ? 9) f { f [ f ( a)]}? 6,则 a 的值为____________

(0 ? x ? 1) ?1 2.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f [ f (a)] ? 1 ,求实数 a 的取值集合。 ? x ? 3 ( x ? 0 or x ? 1)

十 判断关于函数的奇偶性 1.判断下列函数的奇偶性

? x 2 ? 2 x ? 5? ( x ? 0) x ?x ? (1) f ( x) ? ; (2) f ( x) ? ?0 ????? ( x ? 0) ; 1? x ?? x 2 ? 2 x ? 5? ( x ? 0) ?
2

(3) f ( x) ? lg( x ? x 2 ? 1)

十一函数奇偶性的运用 A 利用奇偶性求函数式或函数值 1.设函数 f ( x) 为定义域为 R 上奇函数,又当 x ? 0 时 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,试求 f ( x) 的解析式。

B 已知奇偶性求参数的值 7.若函数 f ( x) ? x4 ? (m ? 2n) x3 ? (2m ? n ? 2) x ? mn 为偶函数,求实数 m, n 的值。

8.若函数 f ( x) ? ln( x ? x2 ? k ) 是 R 上的奇函数,则实数 k =_________
4

C.图象的应用 1.若奇函数 f ( x) 在区间 [3,7] 上是增函数且最小值为 5,则 f ( x) 在区间 [ ?7, ?3] 上是 A.增函数且最小值为 ? 5 ; B.增函数且最大值为 ? 5 ; C.减函数且最小值为 ? 5 ; D.减函数且最大值为 ? 5 2.已知函数 f ( x) 在 (0,2) 上是增函数,又函数 f ( x ? 2) 是偶函数,则(



A f (1) ? f ( ) ? f ( ) ;B f ( ) ? f (1) ? f ( ) ;C f ( ) ? f ( ) ? f (1) ;D f ( ) ? f (1) ? f ( ) 十二函数图象变换

5 2

7 2

7 2

5 2

7 2

5 2

5 2

7 2

函数综合习题
一选择题
1 若函数 f ( x) = A(-∞,+∞)

x?4 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是 ( mx ? 4mx ? 3 3 3 3 ) B(0, ] C( ,+∞) D[0, 4 4 4
2



2 若函数 f ( x) ? mx2 ? mx ?1 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( ) (A) 0 ? m ? 4 (B) 0 ? m ? 4 (C) m ? 4
2

(D) 0 ? m ? 4 )

3 对于 ?1 ? a ? 1 ,不等式 x ? (a ? 2) x ? 1 ? a ? 0 恒成立的 x 的取值范围是( (A) 0 ? x ? 2 (B) x ? 0 或 x ? 2 (C) x ? 1 或 x ? 3 (D)

?1 ? x ? 1
C (??, ?2)

4 函数 f ( x) ? 4 ? x 2 ? x 2 ? 4 的定义域是( 5.函数 f ( x ) ? x ?

)A [?2, 2] B (?2, 2)

(2, ??)

D {?2, 2}

1 ( x ? 0) 是( x

) B 奇函数,且在(0,1)上是减函数 D 偶函数,且在(0,1)上是减函数

A 奇函数,且在(0,1)上是增函数 C 偶函数,且在(0,1)上是增函数

6.如果奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f ( x) 在区间 [- 7,-3] 上是( ) A 增函数且最小值是 - 5 B.增函数且最大值是 - 5 C.减函数且最大值是 - 5 D.减函数且最小值是 - 5 cx 3 , ( x ? ? ) 满足 f [ f ( x)] ? x, 则常数 c 等于( 7 函数 f ( x ) ? )A.3 B.? 3 C.3或 ? 3 D.5或 ? 3 2x ? 3 2
1 1? x2 ( x ? 0) ,那么 f ( ) 等于( 8 已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ? 2 2 x
)A. 15 ) B. 1 C. 3 D. 30

3] ,则 y 9.已知函数 y?f( 的定义域是( x ? 1 )定义域是 [?2, ?f( 2 x ? 1 )
A. [ 0 ,

5 ] 2

, 4] B. [?1

5] C. [?5,

7] D. [?3,
)A. [?2, 2] )A. B. [1, 2] C. [0, 2] D. [? 2, 2]

10 函数 y ? 2 ? ?x2 ? 4x 的值域是(

2 11.已知 f (1 ? x ) ? 1 ? x 2 ,则 f ( x) 的解析式为( 1? x 1? x

x 1? x2

B. ?

2x 1? x2

C.

2x 1? x2

D. ?

x 1? x2

12.函数 y ?

x x

? x 的图象是(


5

? x ? 2( x ? ?1) ? 二填空题 1.函数 f ( x) ? ? x 2 ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?2 x( x ? 2) ?

() x ? fxafxa (?? ) (? ) ( ?? a ? 0 ) 2..已知函数 f ( x ) 的定义域是 ( 0 , 1] ,则 g 的定义域为
mx ? n 的最大值为 4,最小值为 —1 ,则 m = ,n= x2 ? 1 1 4.把函数 y ? 的图象沿 x 轴向左平移一个单位后,得到图象 C,则 C 关于原点对称的图象的解析式为 x ?1
3..已知函数 y ?

1 2



?1 x ? 1( x ? 0), ? ?2 若f (a) ? a. 则实数 a 的取值范围是 5.设函数 f ( x) ? ? ?1 ( x ? 0). ?x ?
6 函数 y ? 2x ? x ? 1 的值域是________________。 7 已知 x ? [0,1] ,则函数 y ?
2



. x ? 2 ? 1 ? x 的值域是 8 若函数 f ( x) ? (k ? 2) x ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是

.

三解答题 1.已知函数 f ( x) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x) 是奇函数; (2) f ( x) 在定义域上单调
递减; (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0, 求 a 的取值范围。

2.若函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2,当x ?[t , t ? 1] 时的最小值为 g (t ) ,求函数 g (t ) 当 t ? [-3,-2]时的最值。

3.已知:f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x-1)<f(x2-1)求 x 的取值范围.

4.设 y=f(x)的单增区间是(2,6),求函数 y=f(2-x)的单调区间.
6

7


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