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(新课标)高中数学《1.2.1-1.2.2 充分条件与必要条件》评估训练 新人教A版选修1-1


1.2.1-1.2.2 充分条件与必要条件
双基达标 (限时 20 分钟) 1.“x >2 012”是“x >2 011”的( A.充分不必要条件 C.充要条件
2 2 2 2

). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

解析 由于“x >2 012”时,一定有“x >2 011” ,反之不成立,所以“x >2 012”是“x >2 011” 的充分不必要条件. 答案 A 2. x|=|y|”是“x=y”的( “| A.充分不必要条件 C.充要条件 ). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 因|x|=|y|? x=y 或 x=-y,但 x=y? |x|=|y|. 答案 B 3.函数 f(x)=x +mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是( A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1
2 2

).

解析 当 m=-2 时,f(x)=x -2x+1,其图象关于直线 x=1 对称,反之也成立,所以 f(x) =x +mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是 m=-2. 答案 A 4.给定空间中直线 l 及平面 α ,条件“直线 l 与平面 α 内两条相交直线都垂直”是“直线
2

l 与平面 α 垂直”的______条件.
解析 “直线 l 与平面 α 内两条相交直线都垂直”?“直线 l 与平面 α 垂直”. 答案 充要条件 5.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以为 x <1 的一个充分条 件的所有序号为________. 解析 由于 x <1 即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1 一定成立,②③④满足题意. 答案 ②③④ 6.判断 p:|x-2|≤5 是 q:x≥-1 或 x≤5 的什么条件,说明理由. 解 p 是 q 的充分不必要条件. ∵p:|x-2|≤5 的解集为 P={x|-3≤x≤7};
2 2

q:x≥-1 或 x≤5 就是实数集 R.
∴P? R,也就是 p? q,q

p,

故 p 是 q 的充分不必要条件. 综合提高 (限时25分钟)

-1-

7.在△ABC 中,“sin 2A= A.充分不必要条件 C.充要条件

3 ”是“A=30°”的( 2

). B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

解析 若 A=30°,显然有 sin 2A=

3 3 ,但 sin 2A= 时,在△ABC 中,有 2A=60°或 2A 2 2 3 ”是“A=30°”的必要不充分条件. 2

=120°,即不一定有 A=30°,故“sin 2A= 答案 B 8.在下列 3 个结论中,正确的有( ①x >4 是 x <-8 的必要不充分条件;
2 3

).

②在△ABC 中,AB +AC =BC 是△ABC 为直角三角形的充要条件; ③若 a,b∈R,则“a +b ≠0”是“a,b 不全为 0”的充要条件. A.①② C.①③
3 2 2 2 2

2

2

2

B.②③ D.①②③
3 3

解析 对于结论①,由 x <-8? x<-2? x >4,但是 x >4? x>2 或 x<-2? x >8 或 x <-8,不一 定有 x <-8,故①正确;对于结论②,当 B=90°或 C=90°时不能推出 AB +AC =BC ,故② 错;对于结论③,由 a +b ≠0? a,b 不全为 0,反之,由 a,b 不全为 0? a +b ≠0,故③正 确. 答案 C 9.设集合 A={x|x(x-1)<0},B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”). 解析 由于 A={x|0<x<1},则 A 答案 充分不必要? 10.已知条件 p:|x-1|>a 和条件 q:2x -3x+1>0,则使 p 是 q 的充分不必要条件的最小正 整数 a=________. 解析 依题意 a>0.由条件 p:|x-1|>a 得 x-1<-a,或 x-1>a,∴x<1-a,或 x>1+a. 1 2 由条件 q:2x -3x+1>0,得 x< ,或 x>1. 2
2 2 2 2 2 3 2 2 2

B,所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件.

?1-a≤1, ? 2 要使 p 是 q 的充分不必要条件, 即“若 p, q”为真命题, 则 逆命题为假命题, 应有? ? ?1+a≥1,
1 解得 a≥ . 2

-2-

令 a=1,则 p:x<0,或 x>2, 1 此时必有 x< ,或 x>1.即 p? q,反之不成立. 2 答案 1 11.已知 p:x<-2 或 x>10,q:1-m≤x≤1+m ,若綈 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 解 綈 p:A={x|-2≤x≤10},
2

q:B={x|1-m≤x≤1+m2},
∵綈 p 是 q 的充分不必要条件,∴A ? B.

?1-m<-2, ? 2 ∴?1+m >10, ∴m>3. ?1-m<1+m2, ?
故所求实数 m 的取值范围为(3,+∞). 1 2 12.(创新拓展)证明 “0≤a≤ ”是“函数 f(x)=ax +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上为 6 减函数”的充分不必要条件. 1 证明 充分性:由已知 0≤a≤ , 6 对于函数 f(x)=ax +2(a-1)x+2, 当 a=0 时,f(x)=-2x+2,显然在(-∞,4]上是减函数. 1 1 当 a≠0 时,由已知 0<a≤ ,得 ≥6. 6 a 二次函数 f(x)=ax +2(a-1)x+2 图象是抛物线,其开口向上, 1-a 1 对称轴方程为:x= = -1≥6-1=5.
2 2

a

a

所以二次函数 f(x)在(-∞,4]上是减函数. 非必要性:当 a≠0 时,二次函数 f(x)=ax +2(a-1)x+2 的图象是抛物线,其对称轴为:x = 1-a 1 = -1.
2

a

a

因为二次函数 f(x)在(-∞,4]上是减函数,

?a>0 ? 1 所以?1 ?0<a≤ . 5 ?a-1≥4 ?
显然,函数 f(x)=ax +2(a-1)x+2 在(-∞,4]上是减函数时,也有 a=0. 1 1 1 2 由于[0, ]? [0, ],所以 0≤a≤ 不是函数 f(x)=ax +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上为 6 5 6 减函数的必要条件.
-32

综上所述,命题成立.

-4-


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