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直线与方程经典例题


经典例题
1, 直线的倾斜角与斜率

例, 直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45° , 则 a 的取值范围是多少? 解: 已知倾斜角取值范围是[0° ,180° ) , 当倾斜角的斜率在[0° ,90° )之间 时递增,在(90° ,180° )递增(小于 0) 。 所以,当倾斜角在[0° ,90° )时,? 当倾斜角在(90° ,180° )时,?
1 2 +1 +1

>tan(45° )=1,解得-1<a<- 。
2

1

<0,解得 a<-1 或 a>0。

综上 a 的取值范围是(?∞,- )∪(0,+∞)

变式
已知过定点 p(2,0)的直线 l 与曲线 y= 2 ? 2 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 当?AOB 的面积取最大值时, 直线了 l 的倾斜角为多少?

2,

两条直线的平行与垂直

例,当 a 为多少时直线 l1:ax+3y-1=0 与直线 l2:6x+4y-3=0 垂直? 解:当直线 l1 与直线 l2 垂直时,二者斜率之积为-1。 所以,- *(- )=-1,求解得 a=-2
3 2 3

变式
当 m 为多少时不同的直线 l1:2x-my-1=0 与 l2:(m-1)x-y+1=0 平行?

3,

距离问题
例,若点 A(m,n)在直线 l:4x+3y-10=0 上,求 m2+n2 的最小值。 解:由观察发现,m2+n2 即为点 A 到原点距离的平方。所以该问 题等价于求,原点到直线 l 上一点的最小值,也就是求原点到直 线的距离。 由点到直线的距离公式得最小值为:
?10 32 +4 2

=2

变式
设两条直线的方程分别为 x+y+a=0, x+y+b=0,已知 a, b 是方程 x2+x+c=0 的两个不等的实根,且 0≤c≤ ,则两条直线之间距离的最大值与最
8 1

小值分别是多少?

4,

中心对称
例,求直线 A:y=x+3 关于点 C(1,1)中心对称的直线 B 的方程。 解,在直线 A 上任取两点 T1(0,3),T2(1,4),因为直线 A,B 关于点 C 对称,所以存在直线 B 上的两点 T3(a,b),T4(c,d),使得
0+ 2

=1,

+3 2

=1,则 T3(a,b)为(2,1) ,同理 T4(c,d)为(1,0) ,所
?2 ?1 ?1

以直线 B 的两点式为

=

?1

变式
设 A 的坐标为(3,4) ,C 为(2,1) ,B,A 关于 C 对称,求过 B 点且垂直与直线 AB 的直线 方程。

5,轴对称问题
例:光线沿直线 l1 : x ? 2 y ? 5 ? 0 射入,遇直线 l : 3x ? 2 y ? 7 ? 0 后反射,求 反射直线所在的直线方程。 解 : 设直 线 x ? 2 y ? 5 ? 0上 任意 一 点 P( x0 , y0 ) 关 于 直线 l 的 对 称点 为
P' ( x, y) ,则
y0 ? y 2 ?? , x0 ? x 3

又 PP ' 的中点 Q ? ?

x ? x0 y ? y0 x ? x0 y ? y 0 ? , ? 在 l 上,所以, 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 7 ? 0 2 ? ? 2

2 ? y0 ? y ?? , ? 3 ?x ?x 由? 0 可得 P 点坐标为 ?3 ? x ? x0 ? (y ? y 0) ? 7 ? 0, ? ? 2
x0 ? ?5 x ? 12 y ? 42 12 x ? 5 y ? 28 , y0 ? , 13 13

代入方程 x ? 2 y ? 5 ? 0 中,化简得 29 x ? 2 y ? 33 ? 0 即所求直线方程为 29 x ? 2 y ? 33 ? 0 。

变式
若直线 l 与两直线 y ? 1, x ? y ? 7 ? 0 分别交于 M , N 两点,且 MN 的中点是
P(1, ?1) ,则直线 l 的斜率是_。

6,求直线的方程
例:求适合下列条件的直线方程:
(3, 2) (1) 经过点 P ,且在两坐标轴上的截距相等;
( ? 1, ? 3) (2) 过点 A ,斜率是直线 y=3x 的斜率的 ? ;

1 4

x y a a x y 所以,直线的方程为 ? ? 1 。 5 5

解: (1) 设直线的方程为 ? ? 1 , 将 P2 3 , ) (

代入方程, 解得 a ? 5 ,

(2)由题可知,所求直线的斜率 以直线的方程为:
y?3? ?

k ??

3 4 ,又直线过 A 点,所

3 ? x ? 1? 4 ,化简, 3x ? 4 y ? 15 ? 0 。

变式
求满足下列条件的直线的方程; (1) 过点 A(0, 2) ,它的倾斜角的正弦值是 ;
(2,1) (2) 过点 A ,它的倾斜角的是直线 l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的倾斜
3 5

角的一半;
(3)

过点 A(2,1) 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0与2 x ? 3 y ? 2 ? 0 的交点:


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