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2018-2019学年最新高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案:第二讲第1节第3课时参数方程和普通方程的互化-


第 3 课时

参数方程和普通方程的互化

[核心必知] 参数方程和普通方程的互化 (1)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线类型,曲线的参数方程和普通方 程是曲线方程的不同形式,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致. [问题思考] 1.将参数方程化为普通方程的实质是什么? 提示:将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用. 2.将普通方程化为参数方程时,所得到的参数方程是唯一的吗? 提示:同一个普通方程,选取的参数不同,所得到的参数方程也不同,所以在写参数方 程时,必须注明参数是哪一个.

根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程. (x-1)2 (y-2)2 (1) + =1,x= 3cos θ +1.(θ 为参数) 3 5 (2)x2-y+x-1=0,x=t+1.(t 为参数) [精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方法,解答本题只需将已知的变量 x 代

入方程,求出 y 即可. (x-1)2 (y-2)2 (1)将 x= 3cos θ+1 代入 + =1 得: 3 5 y=2+ 5sin θ.

? ?x= 3cos θ+1, ∴? (θ 为参数) ?y= 5sin θ+2. ?
这就是所求的参数方程. (2)将 x=t+1 代入 x2-y+x-1=0 得: y=x2+x-1=(t+1)2+t+1-1 =t2+3t+1

?x=t+1, ? ∴? (t 为参数) ?y=t2+3t+1. ?
这就是所求的参数方程. ————— —————————————

(1)求曲线的参数方程,首先要注意参数的选取,一般来说,选择参数时应注意以下两 点:一是曲线上每一点的坐标(x,y)都能由参数取某一值唯一地确定出来;二是参数与 x,y 的相互关系比较明显,容易引出方程. (2)选取参数后,要特别注意参数的取值范围,它将决定参数方程是否与普通方程等价.

1.把方程 xy=1 化为以 t 为参数的参数方程是(

)

?x=t , A.? 1 ?y=t-2

1 2

x=sin t, x=cos t, x=tan t, ? ? ? ? ? ? B.? C.? D.? 1 1 1 y= y= y= ? ? ? ? sin t ? cos t ? tan t

解析:选 D 由 xy=1 得 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),而 A 中 x∈[0,+∞),B 中 x∈[- 1,1],C 中 x∈[-1,1],只有 D 选项中 x、y 的取值范围与方程 xy=1 中 x、y 的取值范围 相对应.

?x=2(e +e 分别在下列两种情况下,把参数方程? 1 ?y=2(e -e
t t

1

-t

)cos θ , 化为普通方 -t )sin θ

程: (1)θ 为参数,t 为常数; (2)t 为参数,θ 为常数. [精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法,解答本题需要分清谁为参数,谁 为常数,然后想办法消掉参数. (1)当 t=0 时,y=0,x=cos θ,即|x|≤1,且 y=0; x y 当 t≠0 时,cos θ= ,sin θ= , 1 t -t 1 t -t (e +e ) ( e -e ) 2 2 而 sin 2θ+cos 2θ=1, 即 y2 + =1. 1 t -t 2 1 t -t 2 (e +e ) (e -e ) 4 4 x2

1 (2)当 θ=kπ,k∈Z 时,y=0,x=± (et+e-t), 2 即|x|≥1,且 y=0; π 1 当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,x=0,y=± (et-e-t), 2 2 即 x=0; kπ 当 θ≠ ,k∈Z 时, 2 e +e ? ? 得? e -e ? ?
t t -t=

-t

2e = + , ? cos θ ? cos θ sin θ 即? 2y 2x 2y = , ?2e = - . sin θ cos θ sin θ ? ,
t -t

2x

2x

2y

2x 2y 2x 2y 得 2et·2e-t=( + )( - ), cos θ sin θ cos θ sin θ



y2 - =1. cos 2θ sin 2θ —————————————

x2

—————

(1)将参数方程化为普通方程时,消去参数的常用方法有: ①代入法. 先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示), 再代入另一个方程.

? ?x=a? ?t+ t ?cos θ , ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.例如对于参数方程? 1? ?y=a? ?t- t ?sin θ ,
如果 t 是常数,θ 是参数,那么可以利用公式 sin2θ +cos2θ =1 消参;如果 θ 是常数,t 是 1 2 1 2 t+ ? -?t- ? =4 消参. 参数,那么可以利用? ? t? ? t? (2)一般来说,如果消去曲线的参数方程中的参数,就可以得到曲线的普通方程,但要 注意, 这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点, 即要求参数方程和消去参数后的普 通方程是等价的.

1

?x=1+2t, ? 2.已知某曲线 C 的参数方程为? (其中 t 是参数,a∈R),点 M(3,1)在该曲 2 ? ?y=at

线上. (1)求常数 a; (2)求曲线 C 的普通方程.

?1+2t=3 ?t=1, ? ? 解:(1)由题意可知有? ,故? ∴a=1. 2 ? ? ?at =1 ?a=1, ? ?x=1+2t, (2)由已知及(1)可得,曲线 C 的方程为? 2 ? ?y=t .
x-1 x-1 2 由第一个方程得 t= 代入第二个方程得 y=( ) ,即(x-1)2=4y 为所求. 2 2

? ? ?x=-4+cos t, ?x=8cos θ , 已知曲线 C1:? (t 为参数),C2:? (θ 为参数). ?y=3+sin t ?y=3sin θ ? ?

(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

π (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 x-2y 2 -7=0 距离的最小值. [精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法以及点到直线的距离的求法.解答 本题需要先把题目条件中的参数方程转化为普通方程,然后根据普通方程解决问题. x2 y2 (1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2: + =1. 64 9 C1 为圆心是(-4,3),半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. π 3 (2)当 t= 时,P(-4,4),Q(8cos θ,3sin θ),故 M(-2+4cos θ,2+ sin θ).M 到 2 2 C3 的距离 d= = 5 |4cos θ-3sin θ-13| 5

5 4 |5sin (φ-θ)-13|(φ为锐角且 tan φ= ). 5 3

8 5 从而当 sin (φ-θ)=1 时,d 取得最小值 . 5 ————— —————————————

(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键. (2)将所求的问题用恰当的参数表示,是解决此类问题的转折点.

3.已知方程 y2-6ysin θ -2x-9cos2θ +8cos θ +9=0,(0≤θ <2π ). (1)试证:不论 θ 如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线; (2)θ 为何值时,该抛物线在直线 x=14 上截得的弦最长,并求出此弦长. 解:(1)证明:将方程 y2-6ysin θ-2x-9cos 2θ+8cos θ+9=0 可配方为(y-3sin θ)2= 2(x-4cos θ) ∴图象为抛物线

?x=4cos θ, ? 设其顶点为(x,y),则有? ? ?y=3sin θ,
x2 y2 消去 θ 得顶点轨迹是椭圆 + =1. 16 9

? ?x=14, (2)联立? 2 2 ? ?y -6ysin θ-2x-9cos θ+8cos θ+9=0,
消去 x,得 y2-6ysin θ+9sin 2θ+8cos θ-28=0. 弦长|AB|=|y1-y2|=4 7-2cos θ,

当 cos θ=-1,即 θ=π时,弦长最大为 12.

曲线的参数方程化为普通方程是解决参数方程问题的根本方法, 也是高考命题的重点内 容,它体现了转化与化归的数学思想.湖北高考中,以射线(极坐标方程)与曲线(参数方程) 相交为背景设置问题,是高考命题的一个新亮点. [考题印证] (湖北高考)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
?x=t+1, ? π 系.已知射线 θ= 与曲线? (t 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点 2 4 ? ?y=(t-1) ,

的直角坐标为________. [命题立意] 本题主要考查参数方程与普通方程的互化,射线的极坐标方程及联立方程 解方程组的解题思想. π [解析] 记 A(x1,y1),B(x2,y2),将 θ= ,转化为直角坐标方程为 y=x(x≥0),曲线为 4 y=(x-2)2,联立上述两个方程得 x2-5x+4=0,所以 x1+x2=5,故线段 AB 的中点坐标为 5 5 ( , ). 2 2 5 5 答案:( , ) 2 2

一、选择题
?x=2+sin2θ , ? 1.将参数方程? (θ 为参数)化为普通方程为( 2 ? ?y=sin θ

)

A.y=x-2 C.y=x-2(2≤x≤3)

B.y=x+2 D.y=x+2(0≤y≤1)

解析:选 C 化为普通方程:y=x-2,但是 x∈[2,3],y∈[0,1].
? ?x=sin 2θ , 2.下列在曲线? (θ 为参数)上的点是( ? ?y=cos θ +sin θ

)

1 ? A.? ?2,- 2? C.(2, 3)

3 1 - , ? B.? ? 4 2? D.(1, 3)

解析:选 B 化为普通方程:y2=1+x(-1≤x≤1), 3 1 当 x=- 时,y=± . 4 2
?x=3t2+2, ? 3.曲线的参数方程为? (t 是参数),则曲线是( 2 ? ?y=t -1

)

A.线段 C.圆

B.双曲线的一支 D.射线

解析:选 D 消去参数得:x-3y-5=0,且 x≥2,故是射线.

?x= t, 4.与参数方程为? (t 为参数)等价的普通方程为 ?y=2 1-t
y2 A.x2+ =1 4 y2 B.x2+ =1(0≤x≤1) 4 y2 C.x2+ =1(0≤y≤2) 4 y2 D.x2+ =1(0≤x≤1,0≤y≤2) 4 解析: 选D 0≤y≤2. 二、填空题

(

)

?t≥0 y2 y2 x2=t, =1-t=1-x2, x2+ =1, 而由? 得 0≤t≤1, 从而 0≤x≤1, 4 4 1-t≥0 ?

1 ? ?x=1- t , 5.曲线的参数方程是? (t 为参数,t≠0),则它的普通方程为________. 2 ? ?y=1-t 1 1 解析:1-x= ,t= ,而 y=1-t2, t 1-x 1 2 x(x-2) 即 y=1-( )= (x≠1). 1-x (x-1)2 x(x-2) 答案:y= (x≠1) (x-1)2
?x=et+e t, ? 6.参数方程? (t 为参数)的普通方程为________. -t t ? ?y=2(e -e )


t t -t ? ?x=e +e , ?x+2=2e , y y 解析:?y ?? ?(x+ )(x- )=4. 2 2 t t y - t ? ?2=e -e , ?x-2=2e- ,

y

x2 y2 答案: - =1(x≥2) 4 16
?x=3+2cos θ , ? 7.若点(x,y)在圆? (θ 为参数)上,则 x2+y2 的最小值是________. ? ?y=-4+2sin θ

解析:法一:由题可知,x2+y2=(3+2cos θ)2+(-4+2sin θ)2=29+12cos θ- 4 16sin θ=29+20cos (θ+φ)(tan φ= ),当 cos (θ+φ)=-1 时最小,因此可得最小值为 9. 3 法二:将原式转化为普通方程(x-3)2+(y+4)2=4,它表示圆.令 t=x2+y2,则 t 可看 做圆上的点到点(0,0)的距离的平方,圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减 去半径,tmin=

(

(0-3)2+(0+4)2-2 =9,

)

2

所以 x2+y2 的最小值为 9. 答案:9
? ?x=-2+cos θ , y 8.点(x,y)是曲线 C:? (θ 为参数,0≤θ <2π )上任意一点,则 的取 x ?y=sin θ ?

值范围是________.

? ?x=-2+cos θ, 解析:曲线 C:? 是以(-2,0)为圆心,1 为半径的圆,即(x+2)2+y2 ? ?y=sin θ

=1. y 设 =k, x ∴y=kx. 当直线 y=kx 与圆相切时,k 取得最小值与最大值. ∴ |-2k|
2

1 =1,k2= . 3 k +1

y 3 3 ∴ 的范围为?- , ?. x ? 3 3? 答案:?-

?

3 3? , 3 3?

三、解答题 9.化下列参数方程为普通方程. 1-t ? ?x=1+t, (1)? (t∈R 且 t≠-1); 2t y = ? ? 1+t

?x=tan θ +tan θ , ?θ≠kπ ,kπ +π ,k∈Z?. (2)? 2 ? ? 1 1 ?y=cos θ +sin θ
x=-1+ , ? 1+t ? 解:(1)变形为? 2 y=2- . ? 1+t ? ∴x≠-1,y≠2, ∴x+y=1(x≠-1). 2

1

? (2)? sin θ+cos θ y= ? sin θ·cos θ .
又 x=tan θ+ 1 tan θ

1 x= , sin θcos θ





②式平方结合①得 y2=x2+2x,

知|x|≥2, 所以方程为(x+1)2-y2=1(|x|≥2).
?x=3cos α , ? 10.求直线 x+y=2 被圆? (α 为参数)截得的弦长. ?y=3sin α ?

? ?x=3cos α, 2 解:将圆? 化为普通方程为 x2+y2=9.圆心 O 到直线的距离 d= = 2, 2 ?y=3sin α ?
∴弦长 L=2 R2-d2=2 9-2=2 7.

? ?x=3cos α, 所以直线 x+y=2 被圆? 截得的弦长为 2 7. y = 3sin α ? ?
? ?x=cos θ , 11.已知曲线 C 的参数方程是? (θ 为参数),直线 l 的方程是 4x+3y-8=0. ?y=1+sin θ ?

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 是曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值. 解:(1)曲线 C 的普通方程为 x2+(y-1)2=1. (2)在方程 4x+3y-8=0 中, 令 y=0,得 x=2, 即 M 点的坐标为(2,0).又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(0,1),半径 r=1,则|MC| = 5. 所以|MN|≤|MC|+r= 5+1. 即|MN|的最大值为 5+1.


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