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高中必修高二数学PPT课件变化率问题与导数的概念_图文

? ●课程目标 ? 1.双基目标 ? (1)通过分析实例,经历由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实 际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会 导数的思想及其内涵. ? (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意 2 (3) 能根据导数定义,求函数 y = c , y = x , y = x ,y 义. 1 = 的导数. x ? (4)能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数. ? (5)结合实例,借助几何直观图探索并了解 函数的单调性与导数的关系,能利用导数 研究函数的单调性,会求不超过三次的多 项式函数的单调区间. ? (6)结合函数的图象,了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件;会利用导数 求不超过三次的多项式函数的极大值、极 小值,以及在给定区间上不超过三次的多 项式函数的最大值、最小值. ? 2.情感目标 ? 通过具体实例,认识导数的工具性及其与 实际问题的联系,感受和体会导数在解决 实际问题中的作用,提高学生学习兴趣, 感受导数在解题中的作用和威力,自觉形 成将数学理论和实际问题相结合的思想, 在解题过程中,逐步养成扎实严格、实事 求是的科学态度. ? ●重点难点 ? 本章重点:导数的运算和利用导数解决实 际问题. ? 本章难点:导数概念的理解. ? ●学法探究 ? 导数是微积分的初步知识,是研究函数、 解决实际问题的有力工具.学习本章要认 真理解平均变化率、瞬时速度的概念,进 一步理解导数的概念和导函数的定义,掌 ? 3.1 变化率与导数 ? 1.知识与技能 ? 理解函数在某点的平均变化率的概念并会 求此变化率. ? 2.过程与方法 ? 理解函数在 x0处的瞬时变化率,理解导数 的概念和定义. ? 本节重点:函数在某一点的平均变化率, 瞬时变化率、导数的概念. ? 本节难点:导数的概念的理解. ? 本节学习的有关概念比较抽象,学习时应 通过实例理解相关概念,深刻体会数学源 于生活,又应用于生活. ? 对导数的定义要注意两点:第一:Δx是自 变量x在x0处的改变量,所以Δx可正可负, 但Δx≠0;第二:函数在某点的导数,就是 在该点的函数值改变量与自变量改变量之 比的极限值.因此它是一个常数而不是变 数. ? 1 .平均变化率是本节中的重要概念,求 函数平均变化率的步骤是: ? (1)求自变量的增量Δx=x-x0. ? (2) 函数的增量 Δy = y - y0 = f(x) - f(x0) = f(x +Δx)-f(x0). Δy f(x0+Δx)-f(x0) (3)求平均变化率 = ,要注意 Δx,Δy Δx Δx 的值可正,可负,但 Δx≠0,Δy 可为零,若函数 f(x)为常 值函数,则 Δy=0. ? 2.函数在某点的导数即为函数在该点的 瞬时变化率,就是在该点的函数改变量与 自变量的改变量的比值的极限,它是一个 数值,不是变数.如果f(x)在开区间(a,b) 内每一点x导数都存在,则称f(x)在区间(a, b)内可导.这样,对开区间(a,b)内每一 个值x,都对应一个确定的导数f′(x),于是 在区间(a,b)内f′(x)构成一个新的函数,把 这个函数称为函数y=f(x)的导函数,记为 ? 求导数的步骤是: ? 由导数的定义知,求函数y=f(x)在点x0处的 导数的步骤: Δy f(x0+Δx)-f(x0) (2)求平均变化率Δx= ; Δ x ? (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy Δy (3)取极限, 得导数 f′(x0)=Δ lim x→0 Δx(或当 Δx→0 时, Δx →f′(x0)). 上述求导方法可简记为:一差、二比、三极限. 1.在高台跳水运动中,运动员在 t1≤t≤t2 这段时间里 s2-s1 的位置为 s1≤s≤s2,则他的平均速度为 . t2-t1 2. 已知函数 y=f(x), 令 Δx=x2-x1, Δy= f(x2)-f(x1), f(x2)-f(x1) Δf 则当 Δx≠0 时,比值 = ,称作函数 f(x)从 x1 Δx x2-x1 到 x2 的平均变化率. 瞬时速度 ? 3.物体在某一时刻的速度称为 . 4.一般地,如果物体的运动规律是 s=s(t),那么物体 在时刻 t 的瞬时速度 v,就是物体在 t 到 t+Δt 这段时间内, 当 Δt→0 时 平 均 速 度 的 极 限 , 即 v = Δ lim t→0 = t时刻的瞬时速度 . Δs Δt 5 .一般地,函数 y = f(x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 f(x0+Δx)-f(x0) Δf lim =Δ lim Δ x→0 x→0 Δx,我们称它为函数 y=f(x)在 x Δx = x0 处 的 导 数 , 记 作 f′(x0) 或 y′|x = x0 , 即 f′(x0) = f(x0+Δx)-f(x0) lim . Δ x→0 Δx [例 1] 求函数 y=x3 在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化 1 率,并计算当 x0=1,Δx= 时平均变化率的值. 2 ? [分析] 直接利用概念求平均变化率,先 求出表达式,再直接代入数据就可以得出 相应的平均变化率. [解析] 当自变量从 x0 变化到 x0+Δx 时, 函数的平均 3 f(x0+Δx) (x0+Δx)3-x0 2 变化率为 = =3x2 + 3 x Δ x + (Δ x ) . 0 0 Δx Δx 1 当 x0=1,Δx= 时, 2 1 ?1?2 19 平均变化率的值为 3×1 +3×1× +?2? = . 2 ? ? 4 2 ? [点评] 解答本题的关键是熟练掌握平均 变化率的意义.只要求出平均变化率的表 达式,它的值就可以很容易求出. 求函数 f(x)的平均变化率的一般步骤为: ①求函数值的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);

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