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高中数学《三角函数的图像和性质2》学案新人教A版必修4


湖南省隆回县万和实验学校高中数学《三角函数的图像和性质 2》学 案 新人教 A 版必修 4
【学习目标】 ①知识与技能: (1) 要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义; (2) 要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性; (3) 掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期; (4) 掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调区间。 ②过程和方法 (1) 由学生观察正弦函数和余弦函数图象发现正弦函数和余弦函数的性质; (2) 通过自主探究加深对函数性质的理解和运用; 第一课时 【学习重点】正、余弦函数的周期性。 【学习难点】正、余弦函数周期性的理解与应用 【自主学习】 (一)课前演练 ① 利用五点作图法做出正、余弦函数的 图象?

② 根据正弦函数和余弦函数的图象,你能说出它们具有哪些性质? (二)新课讲授 (1) 定义域 y=sinx 的定义域是 y=cosx 的定义域是 (2) 值域 y=sinx 的值域是 y=cosx 的值域是 (3) 周期性 由 sin(x+2k?)=sinx k∈Z 知正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的,即正 弦函数图象周而复始地重复出现,我们把这种变化规律叫做函数的周期性 周期函数的定义: 对于函数 f(x),如果存在一个 ,使得当 x 取 内的每一 个值时,都有 那么函数 f(x)就叫做周期函数。 非零常数 T 叫做这个函数的 且任何一 个非零常数 kT(k∈Z,k≠0)都是它的 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就 叫做函数 f(x)的 【自主质疑和合作探究】 探究 1 对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

?
6

?

2? 2? ? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 3 3 6
1

探究 2 正弦函数 y ? sin x ,x ? R 是不是周期函数, 如果是, 周期是多少? ( 2k? ,k ? Z 且 k ? 0 )? 探究 3 若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x ) 的周期吗?为什么?
*

探究 4 根据上述定义,你能得出正弦函数的周期性吗?

探究 5 类似地,你能探索一下余弦函数的周期性吗?

【典例剖析】 例 求下列三角函数的周期:

1 ? (1) y ? 3cos x, x ? R; (2) y ? sin 2 x, x ? R; (3) y ? 2sin( x ? ), x ? R . 2 6

探究 6 你能从例题的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗? 【知识梳理】 (1)三个定义:周期函数, 周期,最小正周期; (2) 正、余弦函数 的周期性; (3) 求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期 【总结反思】 【巩固拓展训练】 1 求下列 函数的周期:

(1) y ? sin

3 x, x ? R;(2) y ? cos 4 x, x ? R; 4

1 ?1 π? (3) y ? cos x, x ? R;(4) y ? cos ? x ? ? , x ? R 2 4? ?4
2.函数 y ? 4sin ? 2 x ? A.

? ?

?? ? ? 1 的最小正周期为 ( ??
B. ? C. 2?

) D. 4 ?

? ?

3. 函数 y ? 3 cos(

2 ? x ? ) 的最小正周期是___________. 5 6

2

4 .若函数 f(x) 是以

? ? 17 )? 2 为周期的函数,且 f( 3 ) ? 1则f( 6 ? __________.

5.函数 f(x) ? sinx 是不是周期函数?若是,则它的周期是多少?

3


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