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2-1+2向量和线性运算 1


第二章 矩阵与向量

§2.1 消元法与矩阵的初等变换
一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、矩阵的几种等价形式

第二章 矩阵与向量

(1)交换方程次序; (2)以不等于0的数乘某个方程; (3)一个方程加上另一个方程的k倍. 我们把以上三种变换叫做方程组的初等变换. 于是,加减消元法解线性方程组就是用初等变换 来化简方程组.

第二章 矩阵与向量

因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组的 系数和常数进行运算,未知量并未参与运算,因此 在线性方程组中将未知数省略后,引入下面概念

定义2.1.1 由m ? n 个数 aij ?i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n? 排成的m 行 n列的数表

? a11 ?a 21 ? A? ? ? ? ? am 1

a12 a22 ? am 2

a1n ? ? ? a2 n ? ? ? ? ? amn ? ?

称为 m ? n矩阵.简称 m ? n阵.

第二章 矩阵与向量

二、矩阵的初等变换 1.定义2.1.2 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

?1? 对调两行(对调i , j 两行, 记作ri ? rj); ? 2 ? 以数 k ? 0 乘以某一行的所有元素;
(第 i 行乘 k , 记作 ri ? k)

? 3 ? 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri ? krj) .

第二章 矩阵与向量

2. 同样可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”),包括如下的三种变换。 (1)对调矩阵中的两列。
(2)以非零常数 k乘以矩阵某一列的全部 元素。

( 3)把 矩 阵 中 某 一 列 全 部素 元的k倍 加 到 另 外 一列的对应元素上 .
3. 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等 变换.

第二章 矩阵与向量

4. 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B,
就称矩阵 A 与 B 等价,记作 A ~ B.

等价关系的性质:
(1)反身性,即有 A~ A

(2)对称性,若 A ~ B, 则B ~ A.
(3)传递性,若 A ~ B, B ~ C,则有 A~C

具有上述三条性质的关系称为等价. 例如,两个线性方程组同解,
就称这两个线性方程组等价

第二章 矩阵与向量

例1 用矩阵的初等行变换解方程组:

1 2? ?2 ?1 ?1 ? ? 1 ?2 1 ? 4? ?1 B?? 4 ?6 2 ?2 4? ? ? ?3 ? 6 ? 9 7 9 ? ?
r1 ? r2

r3 ? 2

1 ?2 1 ?1 ? 1 ?2 ?1 ?1 ?2 ? 3 1 ?1 ? ?3 6 ?9 7 ?

4? ? 2? ? B 1 ? 2 ? 9? ?

第二章 矩阵与向量

1 ?2 1 ?1 ? 1 ?2 ?1 ?1 B1 ? ? 2 ?3 1 ?1 ? ?3 6 ?9 7 ?
r2 ? 2 r3 ? 5r2

4 ? r2 ? r3 ? 1 1 ?2 1 4 ? ? ? ? 0 2 ? 2 2 0 2 ? r3 ? 2r1 ? ??B 2 ? ? ? 2 r ? 3 r ? 0 ?5 5 ?3 ?6 ? 4 1 ? 0 3 ?3 4 ?3 ? ? 9? ?

r4 ? 3r2

?1 ? ?0 ?0 ? ?0

1 ?2 1 4 ? ? 1 ?1 1 0 ? ? B3 0 0 2 ?6 ? ? 0 0 1 ?3 ?

第二章 矩阵与向量

?1 ? ?0 B3 ? ? 0 ? ?0 ?

1 ?2 1 0 0

?1 4? ? ? r ? r ?1 1 0? 3 4?0 0 2 ? 6 ? r4 ? 2r3 ? 0 ? ? ? 0 1 ? 3? ?0

1

1 ?2 1 4 ? ? 1 ?1 1 0 ? ? B4 0 0 1 3? ? 0 0 0 0?

r1 ? r2

r2 ? r3

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

0 ?1 0 4? ? 1 ?1 0 3? ? B5 ? 0 0 1 ?3 ? 0 0 0 0? ?

第二章 矩阵与向量

三、矩阵的几种等价形式 1.(行)阶梯形矩阵 特点:
?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ? 0 ?1 0 4? ? 1 ?1 0 3? ? B5 ? 0 0 1 ?3 ? 0 0 0 0? ?

(1)、可划出 一条阶梯线,线 的下方全为零;

(2)、每个台阶 只有一行,

台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元,即非零行的第一个非 零元.

第二章 矩阵与向量

形如 ? c11 c12 ? ? ? c1r c1r ?1 ? ? ? c1n ?
?0 ? ???? ? ?0 ?0 ? ???? ?0 ? c22 0 ? ? ? c2 r ??? 0 ??? 0 ? ? ? crr ??? ??? 0 ??? ??? ??? 0 ??? c2 r ? 1 ? ? ? c2 n ? ? ??? ??? ??? ? ? crr ?1 ? ? ? crn ? 0 ??? 0 ? ? ??? ??? ??? ? 0 ??? 0 ? ?

或者从矩阵 的任意一行 的第一个元 素到第一个 不为零的元 素下方全部 为零。

矩阵称为行阶梯形矩阵,简称阶梯形矩阵, 其特点为:每层阶梯只有一行;元素不全为零的 行(非零行)的第一个非零元素所在列的下标随着 行标的增大而严格增大(列标一定不小于行标); 元素全为零的行(如果有的话)必在矩阵的最下面 几行.

第二章 矩阵与向量

定理2.1.1 任一矩阵可经有限次初等行变换化成 阶梯形矩阵.

第二章 矩阵与向量

2.行最简形矩阵:在阶梯形矩阵中,若非零行的 第一个非零元素全为1,且非零行的第一个元素1 所在列的其余元素全为零,就称该矩阵为行最简 形. 例如: ? 1 0 0 ?1 ? ?1 0 ? ? 0 1 0 ?2 ? ? 0 1? ? ? ? ? ? ? 2? ?0 0 1 ? ?0 0? ? 推论 对于任何矩阵总可经过有限次初等行变换把 它变为行最简形. 注意:行最简形矩阵是由方程组唯一确定的,行 阶梯形矩阵的非零元素的行数也是由方程组唯一 确定的.

第二章 矩阵与向量

例2 用初等行变换化矩阵
?1 ?0 A? ? ?2 ? ?1 1 2 0 1 2 2 1? ? 1 5 ?1? 3 ?1 3 ? ? 2 4 ? 1?

为行阶梯形矩阵及行最简形.

第二章 矩阵与向量

解:
A1

r3 ? 2r1

r4 ? r1
?1 ?0 ? ?0 ? ?0 1 2 0 0 2 1 0 0

2 2 1? ?1 1 ? 0 2 1 5 ?1 ? ? ? ? 0 ?2 ?1 ?5 1 ? ? ? ? 0 0 0 2 ?2 ?
2 1? r ? r4 5 ?1 ? ? 3 0 0? ? 2 ?2 ?

r3 ? r2

?1 ?0 ? ?0 ? ?0

1 2 0 0

2 1 0 0

2 1? 5 ?1 ? ? 2 ?2 ? ? 0 0?

继续进行初等行变换,可得

第二章 矩阵与向量

?1 ?0 A~ ? ?0 ? ?0

1 2 0 0

2 1 0 0

2 1? 5 ?1 ? ? 2 ?2 ? ? 0 0?

1 r3 ? 2

?1 ?0 ? ?0 ? ?0

1 2 0 0

?1 r1 ? 2r3 ? ?0 r2 ? 5r3 ? 0 ? ?0

1 2 0 0

2 1 0 0

0 3? 1 ? 0 4 ? r1 ? r2 2 1 ?1? 1 ? r2 ? 0 0? 2

2 1? 5 ?1? ? 1 ?1? ? 0 0? 3 ? ? ?1 0 2 0 1 ? ? ? ?0 1 1 0 2 ? ? ? 2 ? ? 0 0 0 1 ? 1 ? ? ? ?0 0 0 0 0 ? ? 2 1 0 0

第二章 矩阵与向量

3.矩阵的标准形:矩阵 Am?n 经过初等行变换可化为 阶梯形矩阵以及行最简形.若再经过初等列变换,还 可化为以下的最简形式:
?1 0 ?0 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ??0 0 ?0 0 ? ?? ? ? ? ? ? ?0 0 ? ??? ??? ??? 0 0 1 0 0 0 ??? ??? ??? 0? 0? ? ? ? ?? ? 0? 0? ? ? ? ?? 0? ?

??? ??? ??? ??? ??? 0 0 ??? ??? ??? ??? ??? ??? 0 0 ???

I m? n

矩阵I m?n称为矩阵Am?n的标准形.

第二章 矩阵与向量

特点: I的左上角是一个单位矩阵,其余元素全

为零.
定理2.1.2 任一矩阵可经有限次初等变换化为标准形.

m ? n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形
? Er F ?? ?O O? ? O ? m?n

此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定,其中 r 就是 行阶梯形矩阵中非零行的行数.

第二章 矩阵与向量

例3 求例2中矩阵A的标准形
? ?1 ? 0 A? ? ? ? ?0 ? ?0 0 1 0 0 3 2 1 2 0 0 0 0 1 0 ? 1? ? c ?c 3 4 ? 2 ? ? ? 1? 0? ?
? ?1 ? ?0 ? ? ?0 ? ?0 0 0 1 0 0 1 0 0 3 2 1 2 0 0 ? 1? ? 2? ? ? ? 1? 0? ?

3 1 c4 ? c1 ? c2 2 2

c5 ? c1 ? 2c2 ? c3

?1 ?0 ? ?0 ? ?0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0? 0? ??I 0? ? 0?

第二章 矩阵与向量

§2.2 向量及其线性运算
一、n维向量的概念 二、n 维向量的线性运算 三、向量空间与子空间 四、小结 思考题

第二章 矩阵与向量

一、n维向量概念
定义2.2.1 由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量.

? = ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量

? 的第 i 个分量或坐标.
分量全为实数的向量称为实向量,
分量全为复数的向量称为复向量.

第二章 矩阵与向量

例如,n元线性方程(8)中第i (1 ? i ? m )个方程 ai 1 x1 ? ai 2 x2 ? ? ? ain xn ? bi 的系数和常数项对应着一个n ? 1维向量 (ai 1 , ai 2 ,? , ain , bi )

而该方程的一个解x1 ? c1 , x2 ? c2 ,? , xn ? cn可用一个n 维向量 (c1 , c2 ,? , cn )来表示,该方程组的解构成的n维 向量叫做该方程组的解向量.

定义:两个向量? = ( a1, a2, … an ), ? = (b 1, b 2, … b n ) 相等,记 ? = ? ai = bi ( i = 1, 2, … , n)

第二章 矩阵与向量

零向量 负向量

0 = ( 0, 0, … , 0 )

对 ? = ( a1, a2, … an ) 称 ( -a1, -a2, …, -an )

为? 的负向量.记为-? .

-? = (-a1, -a2, …, -an )
行向量

? = ( a1, a2, …, an )
? a1 ? ? ? a2 ? T ? ?? ? (a1 , a2 , ? , an ) ? ? ? ? ? ? an ?

列向量

第二章 矩阵与向量

二、n 维向量的线性运算

定义2.2.2 设? = ( a1, a2, …, an ), ? = (b 1, b 2, …, b n ) 都是n维向量,向量( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)称为 向量?与?的和,记作?+?,即

? + ? = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
由负向量即可定义向量的减法:

? -? = ? + (-? ) =( a1 - b1, …, an - bn)

第二章 矩阵与向量

定义2.2.3 设? = ( a1, a2, …, an ), ?是实数,定义

?? = ( ? a1, ? a2, …, ? an ) 称为数?与向量?的乘积,记作?? ,简称为数乘.
数?与向量?的乘积的性质有:

(1) 0? ? 0 (2) (-1 )? ? ?? (3) ? 0 ? 0 (4)如果? ?0,? ? 0,那么?? ? 0.
向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算.

第二章 矩阵与向量

向量的线性运算满足八条运算律
设 ? 、? 、? 是 n 维向量,0 是 n 维零向量,
k、 l 是任意实数。

(1)
(2) (3)

?+?=? +?
(? + ? ) + ? = ? + ( ? + ? )

?+0=?

(4)

? + (- ? ) = 0

第二章 矩阵与向量

(5) k (? + ? ) = k? + k?

(6) ( k + l ) ? = k? + l?
(7) ( k l ) ? = k ( l? ) (8) 1· ?=?

第二章 矩阵与向量

例1 设? =(1,3,-2,2) , ? = ( 5,1,-2,0 ),若 已知? +2?=3?,求向量? .
解:由? +2?=3?得

1 1 ? ? (3? ? a ) ? [(15, 3, ?6, 0) ? (1, 3, ?2, 2)] 2 2
1 ? (14, 0, ?4, ?2) ? (7, 0, ?2, ?1) 2 ?5? ?3?

? ? 1? ? ?7 ? ? ? ? ? 例2 已知向量?1 ? ? 3 ? , 3?1 ? 4? 2 ? ? 17 ? ,求向量2? 1 ? 3? 2 . ? ? ? ? 2 ? ? ? ?2 ? ? ? ?4? ? ?8? ?

?3? ? ?7 ? ? ? 解:由 3? 1 ? 4? 2 ? ? 17 ? ? ? ? ?2 ? ? ?8? ? 得 ? 12 ? ? 3 ? ?5? ?3? ?4? ?1? ? ? 1? ? ? 7 ? 1? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? (3 ? 3 ? ? ? 17 ? ) ? ? ?8 ? ? ? ?2 ? 4? ? ? ? 4 ? ? ? ? ?8? ?2? ? 2 ? ? ?2 ? ? ? ?4? ? ? ?1? ? ?4? ? ? ?8? ?

第二章 矩阵与向量

第二章 矩阵与向量

所以

? 10 ? ? 9 ? ?19 ? ? ?2 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?1? 2? 1 ? 3? 2 ? ? 6 ? ? ? ?6 ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 6 ? ?10 ? ? ? ? ? ? ? 11 8 3 ? ? ? ? ? ?

第二章 矩阵与向量

三、向量空间与子空间 1.定义 设 V是 n维向量的集合,如果V非空, 有? + ? ? V

且对向量的两种运算封闭,即 V 满足: (1) ? ? , ? ? V,

(2) ?? ? V ,k ? R, 有 k? ? V 则称 V 是一个向量空间.

第二章 矩阵与向量

例如
(1) 全体 n 维向量构成一个向量空间,称为 n 维 向量空间:记作 Rn . (2) V1 = { ( 0, a2, … , an ) | ai ? R, i = 2, 3, … n } 是一 个向量空间,且V1 ? Rn,称为 Rn 的一个子空间.

(3) 集合V2 ? { x ? (1, x2 , ? , xn ? R}不是向量空间.因为 若? ? (1, a2 ,? , an ) ? V2 , 则2? ? (2, 2a2 , ? , 2an ) ? V2 .

第二章 矩阵与向量

2.定义 设V是一个向量空间,V1 ? V,若V1也是 一个向量空间 (即对向量的两种运算封闭),则称 V1 是 V 的一个子空间. 例如:任何由n维向量所组成的向量空间V,总有 V ? Rn ,所以这样的向量空间总是Rn的子空间. 注:一个向量空间 V 至少有两个子空间: V 及零子空间 {0},称为平凡子空间.

第二章 矩阵与向量

例: 设 ?1 , ? 2 , ? , ? m ? R n

L ? {k1?1 ? k2? 2 ? ? ? km? m | ki ? R
证明:L 构成一个向量空间. 证: ?? , ? ? L, ?? ? R

i ? 1, 2,? , m}

? ? k1?1 ? k2?2 ? ? ? km?m
??1 ? k2 ??2 ? ? ? km ? ?m ? ? k1

第二章 矩阵与向量

??1 ? k2 ??2 ? ? ? km ? ?m ) ? ? ? ? (k1?1 ? k2?2 ? ? ? km?m ) ? (k1
? )?1 ? (k2 ? k2 ? )?2 ? ? ? (km ? km ? )?m? L ? (k1 ? k1

?? ? ? (k1?1 ? k2?2 ? ? ? km?m )
? (? k1 )?1 ? (? k2 )?2 ? ? ? (? km )?m ?L

?

L 是一个向量空间.

第二章 矩阵与向量

n维向量的实际意义
确定飞机的状态,需 要以下6个参数: 机身的仰角

机翼的转角
机身的水平转角

? ?

(? ? ? ? ) 2 2 ( ?? ? ? ? ? )

?

?

(0 ? ? ? 2? ) 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以,确定飞机的状态,需用6维向量 a ? ( x , y , z ,? ,? ,? )

?

第二章 矩阵与向量

3.向量和矩阵的联系

在形式上,向量与矩阵之间也有一定的联系。
如m?n的矩阵每一行可以看成是Rn的一个向量, 每一列可以看成是Rm的一个向量.反之,一个 行(列)向量亦可看作一个只有一行(列)的 矩阵.

第二章 矩阵与向量

四、小结
1、n维向量的概念 2、n 维向量的线性运算 3、向量空间与子空间

第二章 矩阵与向量

向量组与矩阵
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组. 例如 矩阵A ? (a ij )m?n 有n个m维列向量 aj a1 a 2 an ? a11 a12 ? a1 j ? a1n ? ? ? ? a 21 a 22 ? a 2 j ? a 2 n ? A?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? ? a mj a mn ? ? m1 a m 2
向量组 a1, a 2 ,?, a n 称为矩阵A的列向量组.

第二章 矩阵与向量

类似地, 矩阵A ? (aij )m?n 又有m个n维行向量
? a11 a12 ? ? a 21 a 22 ? ? ? A?? ? ai1 ai 2 ? ? ? ? ? ? a m1 am 2
T 1 T 2

? a1 n ? ? ? a2n ? ? ? ? ? ? a in ? ? ? ? ? ? a mn ? ?
T m

? T ?2
T 1

?
?

T i T m

向量组 ? , ? , …,? 称为矩阵A的行向量组.

第二章 矩阵与向量

反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成 一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组 ? 1 ,? 2 ,? ,? m , 构成一个m ? n矩阵

A ? (? 1 ,? 2 ,?,? m )
m 个n维行向量所组成 的向量组? 1 , ? 2 ,? ? m ,
T T T

构成一个m ? n矩阵

? ? 1T ? ? T? ? ?2 ? B?? ? ? ? ? T ?? ? ? m ?

第二章 矩阵与向量

线性方程组的向量表示
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 , ? ? a 21 x1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? b2 , ? ? ?????????????? ? ?a m 1 x1 ? a m 2 x 2 ? ? ? a mn x n ? bm .

? x ?? x ?
1 1 2 2

? ?

? x
n

n

? ?

方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.

第二章 矩阵与向量

§2.3

向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念 二、线性相关性的判定 三、向量组的等价
四、向量组的最大无关组

五、向量组的秩 六、向量空间的基与向量的坐标

第二章 矩阵与向量

一、线性相关与线性无关的概念
在向量线性运算的基础上,讨论向量之间的关系.

1.定义2.3.1 对于向量?1 ,?2 ,…, ?m 和?,若存在m
个数?1,?2,… ,?m ,使得:

? = ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m
则称?是?1,?2 ,…,?m 的线性组合,?1,?2,… ,?m 称

为组合系数,或称向量?可由向量组?1 ,?2 ,…,?m线
性表示 . 显然,零向量是任何一组向量的线性组合 .

第二章 矩阵与向量

例1 设n维向量 ? 1 ? (1, 0,? , 0)

? 2 ? (0,1,? , 0)
?????? ? n ? (0, 0,? ,1)

? ? (a1 , a2 ,? , an )是任意一个n维向量,由于 ? ? a1? 1 ? a2? 2 ??? an? n

所以?是? 1 , ? 2 ,?, ? n的线性组合.
通常称 ? 1 , ? 2 ,?, ? n 为n维单位坐标向量组.
同维数的向量所组成的集合称为向量组.

第二章 矩阵与向量

例2 证明向量? ? (0, 4, 2)是向量?1 ? (1, 2, 3),

? 2 ? (2, 3,1),? 3 ? (3,1, 2)的线性组合,并将 ? 用?1 , ? 2 , ? 3线性表示.
解:先假定 ? ? ?1?1 ? ?2?2 ? ?3?3, 即

(0,4, 2) ? ?1 (1, 2, 3) ? ?2 (2, 3,1) ? ?3 (3,1, 2)
? (?1 ? 2?2 ? 3?3 , 2?1 ? 3?2 ? ?3 , 3?1 ? ?2 ? 2?3 )

因此

? ?1 ? 2?2 ? 3?3 ? 0, ? ? 2?1 ? 3?2 ? ?3 ? 4, ? 3? ? ? ? 2? ? 2. 2 3 ? 1

第二章 矩阵与向量

由于该线性方程组的系数行列式

1 2 3 2 3 1 ? ?18 ? 0, 3 1 2
由克拉默法则知,方程组有唯一的解,可以求出

?1 ? 1, ?2 ? 1, ?3 ? ?1
于是?可表示为

? ? ?1 ? ?2 ? ?3

第二章 矩阵与向量

2.向量?能否由向量组 ?1 ,?, ? m 线性表出可转化 为线性方程组有没有解 的问题 .
对于n元线性方程组(2-8)若以?j表示其中第j个未知 量的系数构成的m维列向量,即 ? a1 j ? ? b1 ? ? ? ?b ? 2 ? ? a2 j ? ? ?? ? j ? ? ? j ? 1, 2,? , n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? bm ? ? amj ? ? 那么,方程组(2-8)可以表示为

x1?1 ? x2? 2 ??? xn?n ? ?

反之对应的线性方程组为

第二章 矩阵与向量

? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 ? a x ? a x ??? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ????????? ? ? ?a m 1 x1 ? a m 2 x 2 ? ? ? a mn x n ? bm
于是,方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向 量?能否由向量?1 ,?2 ,…, ?m线性表示.当?能由向量 ?1 ,?2 ,…, ?m线性表示且表达式唯一时,方程组(2-8) 有解且解唯一,当线性方程组无解时, ?能由向量 ?1 ,?2 ,…, ?m线性表示。

第二章 矩阵与向量

3.一般地, ?与?1,?2 ,…, ?m 必为且仅为一下三 种情形之一:

(1). ?可由?1,?2 ,…,?m 的线性表示,且表达式 唯一; (2).?可由?1,?2 ,…,?m 的线性表示,但表达式 不唯一;
(3).?不能由?1,?2 ,…,?m 的线性表示.

第二章 矩阵与向量

4.线性相关和线性无关的定义 定义2.3.2 设n维向量组?1 , ?2 ,…, ?m ,如果存在 不全为0 的m 个数k1,k2,… ,km,使得 k1?1 + k2?2 + …+ km?m = 0 则称向量组?1 ,?2 ,…,?m 线性相关,否则称它们线性 无关. 由定义显然可得到,一个向量组要么线性相关,要 么线性无关。 注: ?1 ,?2 ,…,?m 线性无关,就是 k1 = k2 = … = km= 0 k1?1 + k2?2 + …+ km?m = 0

第二章 矩阵与向量

根据定义2.3.2,可以直接得到以下结论:
(1)只有一个向量?的向量组线性相关的充要条件是?=0; (2)如果向量组?1 ,?2 ,…,?m中有某两个向量?i=k?j (i≠j) ,对应成比例,那么向量组?1 ,?2 ,…,?m线性 相关 ; (3)含有零向量的向量组必线性相关. 在一个向量组?1 ,?2 ,…,?m中,任取若干个向量组成 的向量组,叫做?1 ,?2 ,…,?m的部分向量组,简称部分 组. (4)向量组的一个部分组线性相关,那么这向量组线性 相关.其逆否命题是:线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的.

第二章 矩阵与向量

5.向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次 线性方程组有无非零解的问题。 ? a1 j ? ?0? ? ? ?0? ? a2 j ? 0?? ? ? j ? ? ? j ? 1, 2,? , n ?? ? ? ? ? ? ? 0 a ? ? ? ? ? mj ?

x1?1 ? x2? 2 ??? xn?n ? 0

第二章 矩阵与向量

? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? 0 ? a x ? a x ? ?? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n ? ????????? ? ? ?a m 1 x1 ? a m 2 x 2 ? ? ? a mn x n ? 0
于是得到下面的结论
(1)向量组 ?1 ,?, ? n线性相关的充分必要条 件是对 应的齐次线性方程组有 非零解。

(2)向量组 ?1, ?,? n线性无关的充分必要条 件是对 应的齐次线性方程组只 有零解。

第二章 矩阵与向量

6.判定下列向量组的线性 关系。
例3 讨论n维向量? 1,? 2 ,?, ? n的线性相关性.

解:设n个数k1 , k2 ,?, kn , 使得 k1? 1 ? k2? 2 ??? kn? n ? 0
即 (k1 , k2 ,?, kn ) ? (0,0,?,0) 成立,

则必有k1 ? 0, k2 ? 0,?, kn ? 0, 所以? 1 , ? 2 ,?, ? n线性无关.

第二章 矩阵与向量

例4 已知向量组?1 , ? 2 , ? 3线性无关,?1 ? ?1 ? ? 2

? 2 ? ? 2 ? ? 3,? 3 ? ? 3 ? ?1,试证? 1 , ? 2 , ? 3线性无关.
证: 设有k1 , k2 , k3使

即 k ( ? k2 (?2 ? ?3 ) ? k3 (?3 ? ?1 ) ? 0, 1 ?1 ? ? 2) 亦即 ( k1 ? k3 )?1 ? (k1 ? k2 )?2 ? (k2 ? k3 )?3 ? 0, 因? 1,? 2,? 3线性无关,故有 ? k1 ? k3 ? 0, ? ? k1 ? k2 ? 0, ? k ? k ? 0. 3 ? 2

k1 ?1 ? k2 ? 2 ? k3 ? 3 ? 0

第二章 矩阵与向量

由于此方程组的系数行列式 1 0 1 1 1 0 ? 2? 0 0 1 1

故方程组只有零解 k1 ? k2 ? k3 ? 0,所以 向量组

?1 , ? 2 , ? 3线性无关.
例5 设r 维向量组? i ? (ai 1 , ai 2 , ? , air ), i ? 1, 2,? , m 及r ? 1维向量组? i? ? (ai 1 , ai 2 , ? , air , ai ,r ?1 ), i ? 1, 2, ? , m . 即? i?是由? i 加一个分量而得.若r 维向量组?1 , ? 2 , ? , ? m ?,? 2 ? ,? , ? m ? 线性无关. 线性无关,试证r ? 1维向量组?1

第二章 矩阵与向量

证: 用反证法.

? ,?2 ? ,? , ? m ? 线性相关,即存在m个 若向量组?1 不全为零的数k1 , k2 ,? , km,使得

? ? k2?2 ? ??? km?m ? ?0 k1?1
成立.将上式按分量写出后即得

? a11k1 ? a21k2 ? ? ? am1k m ? 0, ? ???? ? ? ? a1r k1 ? a2 r k2 ? ? ? amr km ? 0, ? ? a1,r ?1 k1 ? a2, r ?1 k2 ? ? ? am , r ?1 km ? 0.

第二章 矩阵与向量

该方程组的前r个方程对应于等式

k1?1 ? k2?2 ??? km?m ? 0
由于k1 , k2 , ? , km不全为零,由上式必推出向量

?1 , ? 2 ,? , ? m 线性相关,此与已知矛盾,所以向
? ,? 2 ? ,? , ? m ? 线性无关. 量组?1
由以上证明过程不难推之,由r维线性无关向量, 添加n-r个分量,无论加在什么位置,得到的n维 向量都是线性无关的.此外,该结论可以推广到增 加有限个分量的情形.

第二章 矩阵与向量

二、线性相关的等价命题和相关定理
向量组?1 ,?2 ,…,?m中没有某个向量能由其余向量 线性表示,是线性相关组与线性无关组的本质区别. 对此我们有以下定理 . 定理2.3.1 向量组?1 ,?2 ,…,?m ( m ? 2 ) 线性相关的 充分必要条件是该向量组中至少有一个向量是其余 m-1个向量的线性组合.
证:必要性 设?1 ,?2 ,…,?m 线性相关,则存在一组不全为零 的数?1,?2,…,?m ,使得

?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m = 0

第二章 矩阵与向量

不妨设 ?m ? 0,则 ?m ?1 ?1 ?2 ?m ? ? ?1 ? ?2 ? ? ? ? m ?1 ?m ?m ?m 即: ?m是?1 , ?2 ,…, ?m-1的线性组合. 充分性:设 ?m 是其余向量的线性组合,即存在 数?1,?2,… ,?m-1 ,使得

?m = ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m-1?m-1
有 ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m–1?m-1 + (-1) ?m = 0

故 ?1 ,?2 ,…,?m线性相关.

第二章 矩阵与向量

定理2.3.2:设向量组 α1 ,α2, ? ,αm 线性无关,而 向量组β , α1 , α2, ? , αm 线性相关,则β 可由α1, α2, ? , αm 线性表示且表示式唯一.
证: ?向量组β , α1 , α2, ? , αm 线性相关,则一定存在

一组不全为零的数 k , k1 , k2, ? , km , 使 kβ + k1α1 + k2α2 + ?+ km αm = 0
这里必有 k ? 0,否则,有

k1α1 + k2α2 + ?+ km αm = 0
由向量组α1 , α2, ?, αm线性无关知:

第二章 矩阵与向量

k1 = k2 = ? = km = 0
故β 可由α1,α2, ?,αm线性表示.
再证惟一性

β ? k1α1 ? k2α2 ? ? ? km αm β ? l1α1 ? l2α2 ? ? ? lm αm

(k1 - l1 )α1 + (k2 - l2 )α2 + ?+ (km - lm )αm = 0
由向量组α1,α2, ?,αm线性无关知:

ki = li , i = 1, 2,?, m.
所以表示式惟一.

第二章 矩阵与向量

例 题6.设n维 向 量 组 ? i ? (ai 1 , ai 2 ,?, ain ), i ? 1,2, ? n.
证明: (1)m ? n时 , 向 量 组 线 性 无 关 充 的要 条 件 是行列式
a11 a21 ? a n1 a12 ? a1n a 22 ? a2 n ?0 ? ? a n 2 ? ann

(2)m ? n时,向量组 ?1 ,?am必是线性相关的 .
证 (1)必要性 若向量组α1,α2, ?,αn线性无关,则

第二章 矩阵与向量

k1?1 ? k2?2 ??kn?n ? 0
仅当k1 ? k2 ? ?? kn ? 0时成立,或齐次线性方程组
? a11 k1 ? a21 k2 ? ? ? an1kn ? 0, ? a k ? a k ? ? ? a k ? 0, ? 12 1 22 2 n2 n ? ?????? ? ? ? a1n k1 ? a2 n k2 ? ? ? ann k n ? 0.
只有零解.由定理1.4.2知,方程组的系数行列式:

第二章 矩阵与向量

a11 a12 D? ? a1n


a21 ? an1 a22 ? an 2 ? 0. ? ? ? a2 n ? ann
a12 ? a1n a22 ? a2 n ? D? ? 0. ? ? ? an 2 ? ann

a11 a21 ? a n1

充分性 由克拉默法则可知,以上过程反之亦然.

第二章 矩阵与向量

(2)m > n时,若向量组的前n个向量α1 ,α2, ?,αn线性 相关,则原向量组线性相关. 若?1 ,? 2, ? ,? n线性无关,由(1)知,行列式
a11 D? a12 ? a21 ? an1 a22 ? an 2 ? ? ? ? 0.

a1n a2 n ? ann 而D是与x1?1 ? x2? 2 ? ?? xn? n ? ? n?1对应的线性方程组

的系数行列式,由克拉默法则知该方程组有惟一解, 从而? n?1可由?1,? 2, ?,? n线性表示. 所以α1 ,α2, ?,αn+ 1线性相关,故原向量组线性相关.

第二章 矩阵与向量

例7 确定c的值,使得向量组?1 ? (1, ?2, 4),

? 2 ? (0,1, 2),? 3 ? ( ?2, 3, c )线性相关.
解: 要使?1 ,?2 ,?3线性相关,只要行列式

1 0 ?2
所以c=-10

?2 4 1 3 2 ? 10 ? c ? 0 c

第二章 矩阵与向量

三、向量组的等价
1.定义2.3.3 设有两个 n 维向量组

(I) : ?1 , ? 2 ,? , ? r (II) : ?1 , ? 2 ,? , ? s

若向量组(I) 中每个向量都可由向量组(II)线性 表示,则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示; 若向量组(I)能由向量组(II) 线性表示,若向量组 (II)能由向量组(I) 线性表示,则称向量组(I)与向 (III)量组(II)等价.

第二章 矩阵与向量

等价向量组的性质 (1) 反身性:A与A等价; (2) 对称性:若A与B等价,则B与A等价; (3) 传递性:若A与B等价,B与C等价,则A与C 等价. 注意:在数学上,凡具有上述三条性质的关系都 称为等价关系.如前面已遇到过的方程组的等价, 矩阵的等价,等等.

第二章 矩阵与向量

定理2.3.3 设向量组?1 , ? 2 ,? , ? r能由向量组? 1 , ? 2 ,? , ? s 线性表示, 且?1 , ? 2 ,? , ? r 线性无关, 则向量组?1 , ? 2 ,? , ? r 中向量的个数不大于向量组? 1 , ? 2 ,? , ? s中向量组的个 数,即r ? s.
证:因为向量组?1 , ? 2 ,?, ? r能有向量组?1 , ? 2 ,?,? s
线性表示,故有
? ?1 ? a11 ? 1 ? a12 ? 2 ? ? ? a1 s ? s , ?? ? a ? ? a ? ? ? ? a ? , ? 2 21 1 22 2 2s s ? ???? ? ? ? ? r ? ar 1 ? 1 ? ar 2 ? 2 ? ? ? ars ? s .

第二章 矩阵与向量

设向量组 ? i ? (ai 1 , ai 2 ,?ais ), i ? 1, 2,?, r
要证r≤s,用反证法. 假设r>s

由例6(2)知,s维向量组? 1 , ? 2 ,? , ? r 线性相关, 于是存在不全为零的r个数k1 , k2 ,? , kr , 使得 k1? 1 ? k2? 2 ? ?? kr ? r ? 0 成立,即有
? a11 k1 ? a21 k2 ? ? ? ar 1 k r ? 0, ? a k ? a k ? ? ? a k ? 0, ? 12 1 22 2 r2 r ? ?????? ? ? ? a1 s k1 ? a2 s k2 ? ? ? ars kr ? 0.

第二章 矩阵与向量

于是

k1?1 ? k2?2 ??? kr?r
??? a2 s ? s ) ??? kr (ar 1?1 ? ar 2 ? 2 ??? ars ? s )

? k1 (a11?1 ? a12 ? 2 ??? a1s ? s ) ? k2 (a21?1 ? a22 ? 2

? (a11k1 ? a21k2 ??? ar 1kr )?1 ? (a12k1 ? a22k2
?0 由于k1 , k2 ,?, kr 不全为零,所以?1 , ?2 ,?, ?r 线性相关,
与已知矛盾,因此r≤s.

??? ar 2kr )? 2 ??? (a1s k1 ? a2 s k2 ??? ars kr )? s

第二章 矩阵与向量

推论1 两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.

证: 设?1 , ? 2 ,?, ? r 与?1 , ? 2 , ?,? s是两个等价

的线性无关向量组.

于是由定理2.3.3知,r ? s且s ? r . 所以r ? s.

推论 若向量组?1 , ? 2 ,? , ? r 可由向量组? 1 , ? 2 ,? , ? s 线性表示,且r ? s,则向量组?1 , ? 2 ,? , ? r 线性相关.
设T是一个n维向量组,我们希望从中选出一个与 之等价的,并且含有尽可能多个向量的线性无关的部 分组来.具有这样性质的部分组对于许多问题的讨论 是十分必要的.为此,我们引入以下定义.

第二章 矩阵与向量

四、向量组的最大线性无关组
定义2.3.4 设向量组T ,如果 (1)在T中有r 个向量?1 , ? 2 ,? , ? r 线性无关; (2)T中任意r ? 1个向量(如果有的话)都线性相关. 那么称部分组?1 , ? 2 ,? , ? r 是向量组T的一个最大 线性无关向量组,简称最大无关组.
最大无关组的含义有两层:1.无关性;2.最大性. 注:1.线性无关向量组的最大无关组就是其本身; 2.向量组与其最大无关组等价; 3.同一个向量组的最大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.

第二章 矩阵与向量

例8 求向量组?1 ? (1,0,0),? 2 ? (0,1,0),? 3 ? (1,1,0) 的一个最大无关组. 解: 由于?1 ,?2线性无关,而?1 ,?2 ,?3线性相关, 1 0 0

0 1 0 ?0 1 1 0 所以,?1,?2是向量组?1,?2,?3的一个最大无关组. 事实上

容易看出,?1 ,?3,?2 ,?3也是?1 ,?2 ,?3的最大无关组. 由于n维单位坐标向量组? 1 , ? 2 , ? , ? n线性无关,而
任一n维向量可由该向量组线性表示,因此? 1 , ? 2 ,? , ? n 是向量空间R n的一个最大无关组.

第二章 矩阵与向量 线

推论2:等价的向量组的最大无关组含有相同个数 的向量.特别地,一个向量组的任意两个最大无关组 含有相同个数的向量.
该结论表明,虽然一个向量组的最大无关组可以不 唯一,但最大无关组所含向量的个数是唯一确定的. 2.定义2.3.5:向量组T的最大无关组所含向量的个 数r称为向量组的秩,记为R(T),即R(T)=r. 规定:只含零向量的向量组的秩为零.

第二章 矩阵与向量

推论3、向量组线性 ?1 , ? 2 ,?, ? r可以由向量组 ? 1 , ? 2 ,?, ? s线性表出,则有 R(?1 ,? 2 ,?,?r ) ? R( ?1 , ? 2 ,?, ? s )
推论4:等价的向量组的秩相等.

必须注意:有相同秩的两个向量组不一定等价.

例9 设向量组? 1 , ? 2 ,? , ? n可由向量组?1 , ? 2 ,? , ? n 线性表示,求R(?1 , ? 2 ,? , ? n ).
推论5、向量组线性 ?1 , ? 2 ,?, ? m无关的充分必要条 件是R(?1 , ? 2 ,?, ? m ) ? m

第二章 矩阵与向量

五、向量空间的基与向量的坐标
向量组的秩从数量上刻画了向量组的线性相关性. 把向量空间V看作一个向量组,那么,V的一个最 大无关组?1, ?2, …, ?r称为向量空间的一个基,r称 为向量空间V的维数,并称V为r维向量空间.
由于V ? ? x ? ?1?1 ? ?2? 2 ? ?? ?r? r | ?1 , ?2 ,? , ?r ? R? 此时,称V 为由向量?1 , ? 2 ,? , ? r 所生成的向量空间. 有序数组?1 , ?2 , ? , ?r叫做向量? 在基?1 , ? 2 , ? , ? r 下的 坐标.

记作

(?1?2 ,?, ?r )

第二章 矩阵与向量

注1:零空间 {0} 没有基,规定其维数为0 注2:若将向量空间V看成向量组,其基底就是其 最大无关组,其维数就是其秩 注3:一般情况下,一个向量在不同的基下的坐标 是不同的.

例如,由于?1 ? (1,1,1), ? 2 ? (0,1,1),? 3 ? (0,0,1) 线性无关, 所以?1 , ? 2 , ? 3是R 3的一个基.若取x ? (1, ?1,0), 由x ? ?1 ? 2? 2 ? ? 3知,x在?1 , ? 2 , ? 3下的坐标是(1, ?2,1), 这与x在基? 1 , ? 2 , ? 3下的坐标(1, ?1,0)不同.

第二章 矩阵与向量

六、小结
1.线性相关性的概念 2.线性相关性的判定 3.向量组的等价
4.向量组的最大无关组和秩 5.向量空间的基与向量的坐标


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