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2014届高三数学一轮复习 第25讲 三角函数的模型及应用课件 理 新人教版


第25讲 三角函数的模型及应用

1.(2012· 粤西北九校联考)如图,设 A、B 两点在 河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选 定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠ CAB=105° 后, 就可以计算出 A、 B 两点的距离为( A ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m 25 2 D. m 2

AC AB 解析:在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin 30° sin 45° 所以 AB=50 2(m).

2.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的 俯角分别是 30° 、60° ,则塔高为( A ) 400 A. m 3 200 3 C. m 3 400 3 B. m 3 200 D. m 3

解析:画出示意图(如图),由题意可知,∠DAC=60° , ∠OAC=∠DAB=30° , 在△AOC 中,AO=200, 200 3 所以 OC= , 3 200 3 而 AD=OC= , 3 在△ABD 中, 200 3 3 200 BD= × = , 3 3 3 200 400 因此塔高为 200- = (m), 3 3 故选 A.

3.(2013· 临沂二模)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80° 处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北偏西 40° 处, A、 B 两船间的距离为 3 km, 则 B 船到灯塔 C 的距离为 km.

解析:由题意知,∠ACB=80° +40° =120° , AC=2, AB=3. 设 B 船到灯塔 C 的距离为 x,即 BC=x, 由余弦定理可知 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos 120° , 1 即 9=4+x -2×2x×(- ), 2
2

整理得 x2+2x-5=0, 解得 x=-1- 6(舍去)或 x=-1+ 6.

4.有一长为 100 米的斜坡,它的倾斜角为 45° ,现要把 倾斜角改为 30° ,则坡底需伸长 米.

解析:坡的倾斜角即为坡度,依题意知,该坡的高度不 变,即仍为 50 2,当坡的倾斜角变为 30° 时,坡底的长度为 50 6,所以坡度改后,坡底伸长了 50( 6- 2)米.



解三角形的实际应用题
【例 1】(2012· 山东滨州高三期中联考)如图, 正在海上

A 处执行任务的渔政船甲和在 B 处执行任务的渔政船乙, 同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号,此时渔船 丙在渔政船甲的南偏东 40° 方向距渔政船甲 70 km 的 C 处, 渔政船乙在渔政船甲的南偏西 20° 方向的 B 处, 两艘渔政船 协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置 C 处沿直线 AC 航行前去救援,渔政船乙仍留在 B 处执行任务,渔政船 甲航行 30 km 到达 D 处时,收到新的指令另有重要任务必

须执行,于是立即通知在 B 处执行任务的渔政船乙前 去救援渔船丙(渔政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船丙), 此时 B、D 两处相距 42 km,问渔政船乙要航行多少距离才 能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救.

解析:设∠ABD=α. 在△ABD 中,AD=30,BD=42,∠BAD=60° , AD BD 由正弦定理得: = , sin α sin ∠BAD AD 30 5 3 则 sin α= sin ∠BAD= sin 60° = , BD 42 14 又因为 AD<BD, 11 所以 0° <α<60° ,cos α= 1-sin α= . 14
2

1 cos ∠BDC=cos(60° +α)=- , 7

在△BDC 中,由余弦定理得: BC2=DC2+BD2-2DC· BDcos ∠BDC =402+422-80×42cos(60° +α) =3844, 所以 BC=62(km). 答: 渔政船乙要航行 62 km 才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救.

【拓展演练 1】 如图,为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向 在 A,B 两点进行测量.A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如 图所示),飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离.请设 计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在

图中标出);②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤.

解析:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角分 别为 α1,β1;B 点到 M,N 点的俯角分别为 α2,β2;A,B 的 距离 d.

dsin α2 ②第一步:计算 AM.由正弦定理得 AM= ; sin?α1+α2? dsin β2 第二步:计算 AN.由正弦定理得 AN= ; sin?β2-β1? 第三步:计算 MN.由余弦定理得 MN= AM2+AN2-2AM· ANcos?α1-β1?.



三角函数的实际应用题
【例 2】如图,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修

建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段 为函数 y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最 高点为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛 运动员的安全,限定∠MNP=120° .

(1)求 A ,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?

T 2π 解析:(1)依题意,有 A=2 3, =3.又 T= ,所以 4 ω π π 2π ω= .所以 y=2 3sin x.当 x=4 时,y=2 3sin =3, 6 6 3 所以 M(4,3). 又 P(8,0),所以 MP= 42+32=5. (2)在△MNP 中,∠MNP=120° ,MP=5.连接 MP, 设∠PMN=θ,则 0° <θ<60° .

MP NP MN 由正弦定理得 = = . sin 120° sin θ sin?60° - θ? 10 3 10 3 所以 NP= sin θ,MN= sin(60° -θ), 3 3 10 3 10 3 故 NP+MN= sin θ+ sin(60° -θ) 3 3 10 3 1 3 = ( sin θ+ cos θ) 3 2 2 10 3 = sin(θ+60° ). 3 因为 0° <θ<60° ,所以,当 θ=30° 时,折线段赛道 MNP 最长. 亦即将∠PMN 设计为 30° 时,折线段赛道 MNP 最长.

【拓展演练 2】 以一年为一周期调查某商品的出厂价格和它的市场销售 价格时发现: 信息 1:该商品出厂价格是在 6 元的基础上按月份随正弦 曲线波动的.已知 3 月份出厂价格最高,为 8 元,7 月份出厂 价格最低,为 4 元. 信息 2:该商品市场销售价格是在 8 元的基础上,按月份 也是随正弦曲线波动的. 已知 5 月份销售价格最高, 为 10 元, 9 月份销售价格最低,为 6 元.

(1)根据上述信息 1 和 2,求该商品的出厂价格 y1 和销售 价格 y2 与月份 x 之间的函数关系式; (2)若某经销商每月购进该商品 m 件,且当月能售完,则 在几月份盈利最大?并说明理由.

解析:(1)依据信息 1、2 可知,该商品的出厂价格 y1 和销 售价格 y2 与月份 x 之间的关系都满足正弦曲线, 故可设 y1=A1sin(ω1x+φ1)+B1,y2=A2sin(ω2x+φ2)+B2, 8+4 依题意,得 B1= =6,A1=2,T=2(7-3)=8, 2 2π π π 所以 ω1= = .所以 y1=2sin( x+φ1)+6. T 4 4 π π 将点(3,8)代入函数 y1=2sin( x+φ1)+6 得,φ1=- , 4 4 π π 所以 y1=2sin( x- )+6. 4 4 π 3π 同理,可得 y2=2sin( x- )+8. 4 4

(2)因为利润函数是 y=m(y2-y1) π 3π π π =m[2sin( x- )+8-2sin( x- )-6] 4 4 4 4 π =m[2-2 2sin( x)], 4 所以当 x=6,即 6 月份时,利润达到最大.



解三角形与函数、不等式的综合应用题
【例 3】 为了竖一块广告牌, 要制造三角形支架, 如图. 要

求∠ACB=60° , BC 的长度大于 1 米, 且 AC 比 AB 长 0.5 米. 为 了广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越好,求 AC 最短为多少 米?且当 AC 最短时,BC 的长度为多少米?

1 解析:设 BC=a(a>1),AB=c,AC=b,b-c= , 2 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos 60° , 1 12 2 2 将 c=b- 代入得:(b- ) =a +b -ab, 2 2 1 化简得 b(a-1)=a - ,因为 a>1,所以 a-1>0, 4
2

1 3 2 a - ?a-1? +2a-2+ 4 4 所以 b= = a-1 a-1
2

3 =(a-1)+ +2≥ 3+2. 4?a-1?

3 当且仅当 a-1= 时取“=”号, 4?a-1? 3 即 a=1+ 时,b 有最小值 2+ 3, 2 3 答:AC 最短为(2+ 3)米,此时 BC 长为(1+ )米. 2

【拓展演练 3】 如图, 有两条相交成 60° 的直线 xx′, yy′,其交点为 O, 甲、乙两辆汽车分别在 xx′、yy′上行驶,起初甲在离 O 点 30 km 处的 A 点,乙离 O 点 10 km 的 B 点,后来两车均以 60 km/h 的速度行驶,且甲沿 xx′方向,乙沿 yy′方向行驶.求: (1)起初两车的距离是多少? (2)t 小时后两车的距离是多少? (3)何时两车的距离最短?

解析:(1)由已知,|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|· |OB|cos 60° =700, 故|AB|=10 7 km.

(2)设甲、乙两车 t 小时后的位置分别为 P、Q, 则|AP|=60t,|BQ|=60t. 1 当 0≤t≤ 时, |PQ|2 = (30 - 60t)2 + (10 + 60t)2 - 2(30 - 2 60t)(10+60t)cos 60° ; 1 当 t> 时,|PQ|2=(60t-30)2+(10+60t)2-2(60t-30)(10 2 +60t)cos 120° . 上面两式可统一为:|PQ|2=10800t2-3600t+700, 即|PQ|=10 108t2-36t+7.

(3)因为|PQ|=10 108t -36t+7=10

2

12 108?t- ? +4, 6

1 故当 t= 时,即在第 10 分钟末时,两车距离最短. 6

→· → =1 , 1.(2012· 湖南卷)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC 则 BC=( A ) A. 3 C.2 2 B. 7 D. 23

→· → =1 可得 2|BC|cos(180° 解析:由AB BC -B)=1, 即 2|BC|cos B=-1, 又由三角形的余弦定理可得 32=|BC|2+22-2×2|BC|cos B, 把 2|BC|cos B=-1 代入,得 9=|BC|2+4+2, 即|BC|= 3,故选 A.

2.(2012· 四川卷)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1,连接 EC,ED,则 sin ∠CED=( B ) 3 10 A. 10 10 B. 10 5 C. 10 5 D. 15

解析:因为|AE|=1,正方形的边长也为 1, 所以|ED|= |AE|2+|AD|2= 2, |EC|= ?|EA|+|AB|?2+|CB|2= 5,|CD|=1, |ED|2+|EC|2-|CD|2 3 10 所以 cos ∠CED= = , 2|ED|· |EC| 10 10 sin ∠CED= 1-cos ∠CED= . 10
2

3.(2013· 陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状 为( B ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定

解析:因为 bcos C+ccos B=asin A, 由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, 所以 sin(B+C)=sin2A,即 sin A=sin2A, π 又 sin A≠0,所以 sin A=1,得 A= , 2 所以△ABC 为直角三角形.

4.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)如图,在△ABC 中,∠ABC =90° ,AB= 3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° . 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150° ,求 tan ∠PBA.

解析:(1)在 Rt△ABC 中,∠ABC=90° ,AB= 3,BC=1, 所以 AC=2,∠ACB=60° . 1 在 Rt△BPC 中,∠BPC=90° ,PB= ,BC=1, 2 3 所以 PC= ,∠PCB=30° . 2 3 所以在△APC 中,AC=2,PC= ,∠ACP=30° , 2 7 所以 AP =AC +PC -2AC· PC· cos ∠ACP= , 4
2 2 2

7 所以 PA= . 2

(2)设∠PBA=θ, 因为 θ+∠PBC=90° ,∠PCB+∠PBC=90° , 所以∠PCB=θ,又 BC=1,所以 PC=cos θ. 因为∠CAP+∠PAB=∠CAB=30° , θ+∠PAB=180° -∠APB=180° -150° =30° , 所以∠CAP=θ. 在△APC 中,PC=cos θ,AC=2,∠APC=120° ,∠CAP =θ,由正弦定理, PC AC cos θ 2 得 = ,即 = , sin θ sin 120° sin∠CAP sin ∠APC 3 1 3 3 所以 tan θ= × = ,即 tan ∠PBA= . 2 2 4 4


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