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江西省红色六校2015届高三第二次联考数学(文)试题 Word版含答案


江西省红色六校 2015 届高三第二次联考

文科数学试题
(分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学) 命题、审题:分宜中学 刘日辉 遂川中学 郭爱平
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 5i 1.复数 z ? ( i 是虚数单位)的共轭复数为( (2 ? i)(2 ? i) A .i B. ? i C. i

)

5 5 D. ? i 3 3 2 2 2 2.设集合 M ? {x y ? 3 x, x ? R}, N ? { y x ? y ? 4, x ? R, y ? R} ,则 M
A.

N 等于(
D. ? 0, 2?

)

?

3,- 3

?

B.

??2, 2?

C.

??1, 3 ? , ?1, ? 3 ??
2

3.已知? ? 0,0 ? ? ? ? , 直线x ?
则 ? =( A. ) B.

? 5? 和x ? 是函数f ( x) ? sin(? x ? ? )图像的两条相邻的对称轴, 4 4

? 4

? 3

C.

? 2
1 1 4 2

D.

3? 4

4 4 4
正视图

4.若幂函数 f ? x ? ? mx 的图象经过点 A( , ) ,
?

则它在点 A 处的切线方程是( A. 2 x ? y ? 0 C. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0

)

B. 2 x ? y ? 0 D. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 )

侧视图

4

俯视图 第 5 题图

5.已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为( A. 10? ? 96 C. 8? ? 96 B. 9? ? 96 D. 9? ? 80

6.阅读右边程序框图,为使输出的数据为 30, 则判断框中应填入的条件为( ) A.i≤4 B. i≤5` C. i≤6 D. i≤7

-1-

7. 已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴正半轴重合,终边在

直线 y ? 2 x 上,则

?? ? sin? 2 ? ? ? 的值为( 4? ?
A. ?

)

7 2 10

B.

7 2 10

C. ?

2 10

D.

2 10
)

?y ? x ? 8.设变量 x,y 满足 : ? x ? 3 y ? 4, ? x ? ?2 ?
A.3 B.8

则z ?| x ? 3 y | 的最大值为(
13 4

C.
0

D.

9 2

9. 在 ?ABC 中, AB ? 4, ?ABC ? 30

, D 是边 BC 上的一点,且 AD ? AB ? AD ? AC 则
D.-4 若数列 ?an ? 满足 an ? f (n) (n ? N? ),且 ) C. ? 2,3? D. ?1,3?

AD ? AB 的值为(
A.0 B.4

) C.8

10.已知函数 f ( x) ? ?

( ( x ? 7) ? 3-a)x ? 3  
x ?6 ?a      (x ? 7)

?an ? 是递增数列,则实数 a 的取值范围是(
A. ? ? ,3)
9 ?4

B. ( ,3)

9 4

11.在 x 轴、y 轴上截距相等且与圆 ( x ? 2 2)2 ? ( y ? 3 2)2 ? 1 相切的直线 L 共有( )条 A.2 B.3 C.4 D.6 12. 已知 f ?x ? ?
x 4 ? x ? 3x 4 ? x ? 3 ? ? m 有两个不同的零点 , 则 m 错误!未找到引用 2 2

源。的取值范围是 A. ?? ?,3? 错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 ?3,??? 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 a ? 1, b ? 2, cos C ?

C.错误!

1 ,则 4

sin B?

_____
2 2

14.在 [0,4] 内随机取两个数 a , b ,则使函数 f ( x) ? x ? ax ? b 有零点的概率为 _____ . 15.用两个平行平面同截一个直径为 20cm 的球面,所得截面圆的面积分别是 64? cm 、36? cm ,
2 2

则这两个平面间的距离是___________cm. 16.点 A 是抛物线 C1 : y
2
2 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 C2 : x 2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线

a

b

-2-

的交点(异于原点),若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 ____________

p ,则双曲线 C2 的离心率等于

三、简答题(每小题 12 分,共 60 分) 17.为了更好的了解某校高三学生期中考试的数学成绩情 况,从所有高三学生中抽取 40 名学生,将他们的数学 成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成 六段: ?40,50? , ?50,60? ,

, ?90,100? 后得到如图所

示的频率分布直方图。 (1)若该校高三年级有 1800 人, 试估计这次考试的数学成 绩不低于 60 分的人数及 60 分以上的学生的平均分; (2)若从 ? 40,50? 与? 90,100? 这两个分数段内的学生中随 机选取两名学生,求这两名学生成绩之差的绝对值不大于 10 的概率。

18. 已知 {an } 是正数组成的数列,a1 ? 1 ,且点( an , an ?1 )(n ? N*)在函数 y ? x ? 1 的图象
2

上.数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? 2 n 。
a

(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)若数列 {cn } 满足 cn ? a n ? bn ,求 {cn } 的前 n 项和 S n

P
19.(12 分) 如图,已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正 方形,△PAD 是正三角形 ,平面 PAD⊥平面 ABCD,E,F,G 分别是 PD,PC,BC 的中点. (1)求证:平面 EFG⊥平面 PAD; (2)若 M 是线段 CD 上一点,求三棱锥 M﹣EFG 的体积.

E F A M B G C D

-3-

20.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? a ln x ? (a ? R, a ? 0) . 3 3

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对任意的 x ??1, ?? ? ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围. 21. 已知点 F 是抛物线

p 是正常数, 且 AB ? CD ,AB 的斜率 AB, CD 都是抛物线经过点 F 的弦, 为 k ,且 k ? 0 , C , A 两点在 x 轴上方. (1) 求 1 ? 1 ; AB CD
(2)①当 AF ? BF ?

y2 ? 2 px 的焦点,其中

4 2 p 时,求 k ; 3 ②设△AFC 与△BFD 的面积之和为 S ,求当 k 变化时 S 的最小

值.

四、选做题(从下面三题中选做一题,共 10 分) 22.如图,已知△ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H, ∠B=60°,F 在 AC 上,且 AE=AF.[来源:Zxxk.Com][来源:学科 (1)证明:B、D、H、E 四点共圆; (2)证明:CE 平分∠DEF.

网]

23.已知圆的极坐标方程为: ? ? 4 2 ? cos( ? ?
2

?
4

) ? 6 ? 0,

(1)将极坐标方程化为普通方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

24.已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 . (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 ?1, 2? ,求 a 的取值范围。

-4-

2015 届红色六校联考文科数学试题参考答案
一选择题 B D 二填空题 13, A C , C A D B , B C B C

15 4

14,

1 4

15,2 或 14

16, 5

17.(1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 . 解得 a ? 0.03 . …………………………1 分

………………………………………………………………………2 分

根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 .……3 分 由于高三年级共有学生 1800 人,可估计该校高三年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 1800 ? 0.85 ? 1530 人. …………………………………..4 分 可估计不低于 60 分的学生数学成绩的平均分为: 65× 0.2 +75× 0.3 +85× 0.25 +95× 0.1 =66.25 ………………………………….6 分 (2)解:成绩在 ? 40 , 50? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人, 绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人, ……………… 7 分成

…………………………………8 分 ……………… 9分

若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法有 15 种

如果两名学生的数学成绩都在 ? 40 , 那么这两名学生 50? 分数段内或都在 ?90 , 100? 分数段内, 的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 40 , 50? 分数段内,另一个成绩在

100? 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10.…… ?90 ,
所以所求概率为 P ? M ? ?

10 分

则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 分的取法数为 7 种 ………………11 分

7 . 15

……………………………………………………12 分

18. (Ⅰ)由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1,又 a1=1, 所以数列{an}是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列. 故 an=1+(a-1)×1=n …………………………………………………………………………3 分 n 从而 bn+1-bn=2 . · ·+(b2-b1)+b1 ? bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+· n-1 n-2 =2 +2 +· · ·+2+1

1 ? 2n n = =2 -1 ............................................................6 分 1? 2
(Ⅱ)Cn = n2 –n
n

令 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ?

? n ? 2n ,由错位相减法可得 Tn ? ? n ?1? 2n?1 ? 2 ...10 分
-5-

n(n ? 1) ..........................................12 分 2 19.解: (1)∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD ? 平面 ABCD,CD⊥ AD
从而 S n ? (n ? 1) ? 2
n ?1

?2?

∴ CD⊥ 平面 PAD…………………….(3 分) 又∵ △ PCD 中,E、F 分别是 PD、PC 的中点, ∴ EF∥ CD,可得 EF⊥ 平面 PAD ∵ EF ? 平面 EFG,∴ 平面 EFG⊥ 平面 PAD;……………….(6 分) (2)∵ EF∥ CD,EF ? 平面 EFG,CD ? 平面 EFG, ∴ CD∥ 平面 EFG, 因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离, ∴ VM﹣EFG=VD﹣EFG, (8 分) 取 AD 的中点 H 连接 GH、EH,则 EF∥ GH, ∵ EF⊥ 平面 PAD,EH ? 平面 PAD,∴ EF⊥ EH 于是 S△EFH= EF× EH=2=S△EFG, ∵ 平面 EFG⊥ 平面 PAD,平面 EFG∩平面 PAD=EH,△ EHD 是正三角形 ∴ 点 D 到平面 EFG 的距离等于正△ EHD 的高,即为 , (10 分) 因此,三棱锥 M﹣EFG 的体积 VM﹣EFG=VD﹣EFG= ×S△EFG× =

P E F A M B G C D

. (12 分)

-6-

p 21、 (1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB : y ? k ( x ? ) 2
? y 2 ? 2 px 1 2 2 ? 2 2 2 由? p 得 k x ? p (k ? 2) x ? k p ? 0 4 y ? k(x ? ) ? ? 2
x1 ? x2 ? k2 ? 2 p2 p , x ? x ? 1 2 k2 4
………………(2 分)

k 2 ?1 2p 由抛物线定义得 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? p ? k2
同理用 ?

1 换k,得 CD ? (k 2 ? 1)2 p k
…………………(5 分)

1 1 1 ? ? AB CD 2 p

p p p p2 (2)① AF ? BF ? (x1 ? )(x 2 ? ) ? x1x 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 2 2 4 p2 k 2 ? 2 p2 k 2 ? 1 2 ? ? ? ?p 2 k2 2 k2 4 2 k2 ?1 4 当 AF ? BF ? p 时 2 ? p 2 ? p 2 , k 3 3 ?
又 k ? 0 ,解得 k ? 3 ②由①同理知 CF ? DF ? (k 2 ? 1) p2 , AF ? BF ? …………………(7 分)

……………(8 分)

k 2 ?1 2 ?p k2

由变形得 BF ?

k 2 ? 1 p2 (k 2 ? 1) ? p 2 , CF ? , …………………(10 分) k 2 AF DF

又 AB ? CD ? S ?

1 1 AF ? CF ? BF ? DF 2 2
…………………(11 分)

DF k 2 ? 1? 2 1 ? AF 2 ? ? (k ? 1) ? ?p 2? |AF| k 2 ? ? DF ?
? (k 2 ? 1)(1 ? 1 2 2 ) p ? 2k p 2 ? 2 p 2 2 k k

AF 2 DF 1 1 “?” ? k ? 1, ? 1, (k ? 1) ? (1 ? 2 ) ? k ? 1 k DF AF k
2 即当 k ? 1 时 S 有最小值 2 p

…………………(12 分)

22.证明 (1)在△ABC 中,因为∠B=60°,

-7-

所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120° . 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B、D、H、E 四点共圆.…………5 分 (2)连接 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线, 得∠HBD=30°. 由(1)知 B、D、H、E 四点共圆. 所以∠CED=∠HBD=30°. 又∵∠AHE=∠EBD=60°, 由已知可得 EF⊥AD, 可得∠CEF=30°, 所以 CE 平分∠DEF ……………………10 分 23. (1) p? - 4√2pcos(θ -π /4) + 6 = 0 p? - 4√2p [cosθ cos(π /4) + sinθ sin(π /4)] + 6 = 0 即 p? - 4√2p [cosθ (1/√2) + sinθ (1/√2)] + 6 = 0 即 p? - 4pcosθ - 4psinθ + 6 = 0 即 x? + y? - 4x - 4y + 6 = 0 所以圆的方程为 (x - 2)? + (y - 2)? = 2 …………5 分 (2) 设圆的参数方程为 x = 2 + √2cosα , y = 2 + √2sinα 则 x + y = 2+ √2cosα + 2 + √2sinα = 4 + √2(cosα + sinα ) = 4 + √2 * √2 [cosα (1/√2) + sinα (1/√2)] = 4 + 2 [cosα sin(π /4) + sinα cos(π /4)] = 4 + 2sin(α + π /4) 当 sin(α + π /4) = 1 时, x + y 有最大值为 6 ………8 分 当 sin(α + π /4) = -1 时, x + y 有最小值为 2………10 分

-8-


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