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人教版数学高二年级《圆锥曲线9》教学设计[1]


抛物线及其标准方程

一,教学目标 (一)知识教育点 使学生掌握抛物线的定义,抛物线的标准方程及其推导过程. (二)能力训练点 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析,对比,概括,转化等 方面的能力. (三)学科渗透点 通过一个简单实验引入抛物线的定义,可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主 义思想教育. 二,教材分析 1.重点:抛物线的定义和标准方程. (解决办法:通过一个简单实验与椭圆,双曲线的定义相比较引入抛物线的

定义;通过一些例题加深对标准方程的认识.)
2.难点:抛物线的标准方程的推导. (解决办法:由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法,避免了硬性规

定坐标系.)
3.疑点:抛物线的定义中需要加上"定点 F 不在定直线 l 上"的限制. (解决办法:向学生加以说明.) 三,活动设计 提问,回顾,实验,讲解,演板,归纳表格. 四,教学过程 (一)导出课题 我们已学习了圆,椭圆,双曲线三种圆锥曲线.今天我们将学习第四种圆锥曲线—— 抛物线,以及它的定义和标准方程.课题是"抛物线及其标准方程".

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请大家思考两个问题: 问题 1:同学们对抛物线已有了哪些认识? 在物理中,抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中,抛物线是二次函数的图 象? 问题 2:在二次函数中研究的抛物线有什么特征? 在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于 y 轴,开口向上或开口向下两

种情形.
引导学生进一步思考: 如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴, 那么就不能作为二次函

数的图象来研究了.今天,我们突破函数研究中这个限制,从更一般意义上来研 究抛物线.
(二)抛物线的定义 1.回顾 平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹,当 0

<e<1 时是椭圆,当 e>1 时是双曲线,那么当 e=1 时,它又是什么曲线?
2.简单实验 如图 2-29,把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上,一块三角板的一条

直角边紧靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点 A,截取绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC,并且把绳子另一端固定在图板上的 一点 F;用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使 三角板紧靠着直尺左右滑动, 这样铅笔就描出一条曲线, 这条曲线叫做抛物线. 反 复演示后,请同学们来归纳抛物线的定义,教师总结.

3.定义 这样,可以把抛物线的定义概括成:

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平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上).定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. (三)抛物线的标准方程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0).下面,我们来求抛物

线的方程.怎样选择直角坐标系,才能使所得的方程取较简单的形式呢?
让学生议论一下,教师巡视,启发辅导,最后简单小结建立直角坐标系的几种方案: 方案 1:(由第一组同学完成,请一优等生演板.) 以 l 为 y 轴,过点 F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴建立直角坐标系(图 230).设定点 F(p,0),动点 M 的坐标为(x,y),过 M 作 MD⊥y 轴于 D,抛物

线的集合为:p={M||MF|=|MD|}.

化简后得:y2=2px-p2(p>0). 方案 2:(由第二组同学完成,请一优等生演板)

以定点 F 为原点,平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31).设动点 M 的坐标为(x,y),且设直线 l 的方程为 x=-p,定点 F(0,0),过 M 作 MD⊥l 于 D, 抛物线的集合为: p={M||MF|=|MD|}.

化简得:y2=2px+p2(p>0).

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方案 3:(由第三,四组同学完成,请一优等生演板.)

取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 交于 K,以线段 KF 的垂

直平分线为 y 轴,建立直角坐标系(图 2-32).

抛物线上的点 M(x,y)到 l 的距离为 d,抛物线是集合 p={M||MF|=d}.

化简后得:y2=2px(p>0). 比较所得的各个方程,应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢?

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引导学生分析出:方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个 方程不仅具有较简的形式,而方程中的系数有明确的几何意义:一次项系数是焦 点到准线距离的 2 倍. 由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况,抛物线的标准方程有四种情形(列表如

下):

将上表画在小黑板上,讲解时出示小黑板,并讲清为什么会出现四种不同的情形,四 种情形中 P>0;并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即:当对

称轴为 x 轴时,方程等号右端为±2px,相应地左端为 y2;当对称轴为 y 轴时, 方程等号的右端为±2py,相应地左端为 x2.同时注意:当焦点在正半轴上时, 取正号;当焦点在负半轴上时,取负号.
(四)四种标准方程的应用 例题:(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求它的标准方程.
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方程是 x2=-8y. 练习:根据下列所给条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是 F(3,0);

(3)焦点到准线的距离是 2. 由三名学生演板, 教师予以订正. 答案是: (1)y2=12x; (2)y2=-x; (3)y2=4x,2=-4x, y

x2=4y,x2=-4y.
这时,教师小结一下:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一 个系数 p,因此只要给出确定 p 的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程.当

抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线 的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解.
(五)小结 本次课主要介绍了抛物线的定义,推导出抛物线的四种标准方程形式,并加以运用. 五,布置作业

到准线的距离是多少?点 M 的横坐标是多少? 2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)x2=2y;(2)4x2+3y=0; (3)2y2+5x=0;(4)y2-6x=0. 3.根据下列条件,求抛物线的方程,并描点画出图形: (1)顶点在原点,对称轴是 x 轴,并且顶点与焦点的距离等于 6;

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(2)顶点在原点,对称轴是 y 轴,并经过点 p(-6,-3). 4.求焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程. 作业答案:

3.(1)y2=24x,y2=-2x (2)x2=-12y(图略) 4.分别令 x=0,y=0 得两个焦点 F1(0,-3),F2(4,0),从而可得抛物线方

程为 x2=-12y 或 y2=16x
六,板书设计

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