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迎春杯分类一计数与数论 答案及详解


迎春杯分类一计数与数论 答案及详解
计数:
1. 国际象棋中“马”的走法如图 1 所示,位 于○位置的“马”只能走到标有×的格中,类 似于中国象棋中的“马走日” 。如果“马”在 8×8 的国际象棋棋盘中位于第一行第二列 (图 2 中标有△的位置) 要走到第八行第五列 , (图 2 中标有★的位置) ,最短路线有 条。 (12)

2.

3.给你一架天平和两个砝码,这两个砝码分别重 50 克和 100 克,如果再添上 3 个砝码,则 这 5 个砝码能称出的重量种类最多是 种.(天平的左右两盘均可放砝码) 【答案】94 【解析】 只有 50,100 两种砝码,可以组成的重量:50,100,150,即:3 种,当加入砝码 a,可以 组成的重量:是 50,100,150 分别加减 a,还有 50,100,150 本身,还要有 a,所以此时 有:3×3+1=10 种, 再加入一枚砝码,同理:有 10×3+1=31 种,再加一枚:为 31×3+1=94 种. 分析教师:辛洪涛 4.将下图中的 2007 分成若干个 1×2 的小长方形,共有 种分法. 【答案】15 【解析】 从右下角,观察发现,从右向上只有唯一的分法,右面的区域只有唯一 的情况.事实上只有左边和中间的两块有选择余地左边有 5 种情况,中 间有 3 种情况所以一共就有 5 × 3=15 种

5. 已知九位数 2007□12□2 既是 9 的倍数,又是 11 的倍数;那么,这个九位数 是 。 200731212 6. 将 0~9 填入下面算式, 每个数字只能用一次; 那么满足条件的正确填法共有 □+□□+□□□=□□□□ 种。

60 因为3个加数只有一个达到三位,所以结果的千位只能为1,各位可能的进位最多为2, 所以十位上的和最大为9+8+2=19,进位不超过1,所以加数中三位数的百位只能为9,同时结 果中的百位只能为0, 因为十位必须要向百位进一位,且个位三位数之和最小为9最大为21且均不满足题意,所以 个位数必向十位进1。因此十位的数字组合只能为(3,8) (4,7) (4,8) (5,6) (5,7) (5,8) (6,7) (6,8) (7,8)一一枚举有5组数可行:十位(3,8) ,个位(4,5,7) ; 十位(4,7) ,个位(3,5,8) ;十位(4,8) ,个位(2,6,7) ;十位(6,8) ,个位(2, 4,7) ;十位(7,8) ,个位(3,4,5) 。每组可能的组合有2×1×3×2×1=12种,故正确填 法共有12×5=60种。 7. 有 10 个整数克的砝码(允许砝码重量相同) ,将其中一个或几个放在天平的右边,待称的 物品放在天平的左边,能称出 1,2,3,…,200 的所有整数克的物品来;那么,这 10 个砝 码中第二重的砝码最少是 克。 答案】 【答案】18 【解析】 首先此题是一道关于砝码的计数问题,涉及到最值问题和对称原理 从最后所求进行分析,要求第二重的砝码最少,无法进行直接突破,使用的是最值原理 的重点思路之一:从反面考虑。第二重砝码最少,那么就应该使其他的砝码尽量大。 分析 10 个砝码的总重量很显然应该是 200, 其中最重的砝码应该最大是 100, 因为如果 有超过 100 克的砝码,100 克的物品就无法称出。这样其他 9 个砝码总和应该是 100 克。 根据对称原理,只要惩处 1 克的,就可以称出 199 克的(只要在 200 克中相应的拿出 1 克的就可以) ,所以只要能称出 1 到 100 克就可以称出 101 到 199 克。同理,要能称出 1 到 100 克,只要能称出 1 到 50 克就可以,所以要称出 1 到 50 克,就应该有 1 克,2 克,4 克, 8 克,16 克,18 克,这样离 200 克还差 51 克,同时还差 3 个砝码,把 51 平均分成三份, 所以每个砝码应该是 17,这样就得到 10 个砝码,分别是 1,2,4,8,16,17,17,17,18, 100,所以第二种的砝码至少应该是 18 克。

8. 一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵(右图是一个四层空心方阵的示 意图) .后来小林又添入 28 个棋子,这些棋子恰好变成了一个五层的空心 方阵(不能移动原来的棋子) ,那么最开始最少有 个棋子. 【答案】 【解析】 将四层空心方阵变成五层空心方阵有三种方法: 1、在最外层增加一圈则五层方阵最外层至少有 40 枚棋子所以不符合题意; 2、在最内层增加一圈则最外层应有 8×4+28=60 枚棋子,最开始应有 60+52+44+36=192 枚棋子; 3、在最内层增加一行一列,在最外层的另外两个方向也增加一行一列,那么五层方阵 最内层边长为 x, 最外层边长为 x+4×2=x+8 共增棋子 2x-3+2 x+8) ( -1=4x+12, 所以 4x+12=28, 2 2 解得 x=4,最外层边长 4+8=12,原有棋子 12 -(4-2) -28=112,所以最开始最少有 112 个棋 子。 9. 将 5 枚棋子放入右侧编号的 4×4 表格的格子中,每个格子最多放一枚,如果要求每行, 种不同放法. 每列都有棋子.那么共有

432 1 【解析】本题采用分类、分步讨论 将5枚棋子放入4×4的方格中, 可以发现不论怎么放一定会有2个棋子在一条 直线上的情形,所以我们不妨先从这2个棋子开始放,选定一行有4种选法,
2 然后在一行中选定2个格子,即2列,有 C4 = 6 种选法,故填完前2个共线棋

2 6

3 7

4 8

5 9

10 11 12

13 14 15 16

子有4×6=24种填法。 如右图示例,接下来我们填第三枚棋子,第三枚棋子填入后又会有2种情形 出现: (1) 第三枚棋子与2个△所在的列共线: 那么第三枚棋子共有6个格子可以填,即6种填法。 而最后2枚棋子只可能成对填入2个圆圈或2个□中,
1 2 1 则此类情况共 C4 × C4 × C6 × 2 = 4 × 6 × 6 × 2 = 288 种





△ △ ○ □

△ □ ○

(2) 第三枚棋子与前2个△所在的列不共线 那么第三枚棋子也有6种填法,而最后的2枚棋子必须填入同一列, △ △ △ △ △ ○ ○ 答案 288+144=432 △
1 2 1 共有 C4 × C4 × C6 = 4 × 6 × 6 = 144 种

10. 对于由 1~5 组成的无重复数字的五位数,如果它的首位数字不是 1,那么可以进行如下 的一次置换操作:记首位数字为 k,则将数字 k 与第 k 位上的数字对换.例如,24513 个. 可以进行两次置换:24513→42513→12543.可以进行 4 次置换的五位数有 【答案】24 【解析】 经过4次置换后最后结果必为12345,所以可进行4次置换的五位数可由12345进行4次首位与 其他位的调换得到, 规则为从首位上调换出的数不能再与首位调换, 那么这样的调换方法共 有 4 × 3 × 2 ×1 = 24 种,即可进行4次置换的五位数有24个。

数论:
1.

2.

3. 一个五位数恰好等于它各位数字和的 2007 倍,则这个五位数是 36126 或 54189

.

4.在纸上写着一列自然数 1,2,…,98,99.一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去, 然后把这三个数的和写在数列的最后面.例如一次操作后得到 4,5,…,98,99,6;而两 次操作后得到 7,8,…,98,99,6,15.这样不断进行下去,最后将只剩下一个数,则最 . 后剩下的数是 4950

5. 有 4 个不同的数字共可组成 18 个不同的 4 位数.将这 18 个不同的 4 位数由小到大排成一 排,其中第一个是一个完全平方数,倒数第二个也是完全平方数,则这 18 个数中最大的数 是 . 9810

6.有 4 个不同的数字共可组成 18 个不同的 4 位数。将这 18 个不同的 4 位数由小到大排成一 排,其中第一个是一个完全平方数,倒数第二个也是完全平方数。那么这 18 个数的平均数 是: 。 6444 7. 如果两个合数互质,它们的最小公倍数是 126,那么,它们的和是 23

8. 从 1,2,3,4,5,6 中选取若干个数,使得它们的和是 3 的倍数,但不是 5 的倍数.那么共有 种不同的选取方法. 19 取出的和的可能为 3、6、9、12、18、21。和为 3 的有 1+2、3,共 2 种;和为 6 的有 1+5、 2+4、1+2+3、6,共 4 种;和为 9 的有 3+6、4+5、1+2+6、1+3+5、2+3+4,共 5 种;于所有

数之和为 21,所以和为 12 与和为 9 的情况相同(和为 12 的数即为除和为 9 之外的数)共 5 种,同理 3 的情况相同,共 2 种,和为 21 的有 1 种,因此共有 2+4+5+5+2+1=19 种。 9. 将数字 4,5,6,7,8,9 各使用一次,组成一个被 667 整除的 6 位数,那么,这个 6 位数除 以 667 的结果是 . 【答案】 【解析】 因为 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39 是 3 的倍数 所以此六位数是 3 和 667 的公倍数,且 3×667=2001,所以此六位数是 2001 的倍数 我们发现六位数中 2001 倍数的特征为:前三位是后三位的 2 倍。 所以下面将六位数分成 2 段,根据倍数关系验证即可,结果为 956478. 10. 200 名同学编为 1 至 200 号面向南站成一排.第 1 次全体同学向右转(转后所有的同学 面朝西) ;第 2 次编号为 2 的倍数的同学向右转;第 3 次编号为 3 的倍数的同学向右 转;……;第 200 次编号为 200 的倍数的同学向右转;这时,面向东的同学有 名. 【答案】8 【解析】 因为开始所有人面向南,最后的结果是面向东,所以转 3、7、11……次的人即为所求。 根据题意, 编号有几个约数就向右转几次, 那么最后面向东面的数必是奇数个数的倍数, 即这个数的约数是奇数个,且个数为 4n+3。 哪些数的约数是奇数个呢?由于是奇数个约数,这些数一定是平方数。 如: 的约数有 1、 4 三个; 的约数有 1、 9 三个; 的约数有 1、 25 三个, 4 2、 9 3、 25 5、 …… 64 的约数有 1、2、4、8、16、32、64 七个…… 但是:如平方数 16 既是 1、4、16 的倍数,还是 2、8 的倍数,即 16 的约数有 5 个,不 符合个数为 4n+3 这一要求。所以要删除。 以下这些数是最后面向东面的同学:4、9、25、49、64、121、144、169。共 8 位同学。

11. 在算式(A□B)△(C○D)中,□,△,○代表的是三个互不相同的四则运算符号(即加、减、 乘、除) ,A,B,C,D 是 4 个互不相同的非零阿拉伯数字.如果无论□,△,○具体代表的是哪三 个互不相同的四则运算符号,(A□B)△(C○D)的计算结果都是整数.那么,四位数 ABCD 是 . 【答案】9321 【解析】 本题中主要会出现非整数的原因就是÷的位置,所以只需要考虑÷出现在什么地方。 当□是÷时,就需要 A 一定是 B 的倍数,同理 C 一定是 D 的倍数,最后只要 A□B 的结果也 是 C○D 的倍数即可。 本题严密的推理论证过程相对复杂, 因为数字比较小, 不妨采用符合前一组条件的数枚举尝 试便容易得到答案

12. 如果一个五位数,它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的 25 倍.那么,这个五位 . 数的最大值是 【答案】75531

【解析】 根据题意,设原数为 ABCDE ,那么一定有 A × B × C × D × E = 25 × ( A + B + C + D + E ) 说明左边的乘积是25的倍数,那么原来的5个数字中一定有2个数字是5. 原式化为: A × B × C = A + B + C + 10 ,为了求出最大值,那么可以让原数中含有9,不妨 假设 A=9,那么 9 BC = B + C + 19 ,经验证没有符合条件的整数 B 和 C 使得左边式子成立 同理可验证 A=8时也没有解,当 A=7时,有 7 BC = B + C + 17 ,此时有 B=1,C=3,所以原式 最大值为75531


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