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2018-2019学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5.3 对数函数的图像和性质课时作业1 北师大版必修1

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3.5.3 对数函数的图像和性质

|基础巩固|(25 分钟,60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.已知函数 f(x)=loga(x-m)的图像过点(4,0)和(7,1),则 f(x)在定义域上是( )

A.增函数

B.减函数

C.奇函数 D.偶函数

【解析】 将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式,
有{0=loga -m , 1=loga -m ,

解得 a=4,m=3,

则有 f(x)=log4(x-3).

由于定义域是 x>3,则函数不具有奇偶性.很明显函数 f(x)在定义域上是增函数.

【答案】 A

2.函数 f(x)=ln|x-1|的图象大致是( )

【解析】 当 x>1 时,f(x)=ln(x-1), 又 f(x)的图像关于 x=1 对称,故选 B. 【答案】 B 3.已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( ) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 【解析】 因为 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以 a>1,f(1)<f(2)<f(3). 又函数 f(x)=loga|x|为偶函数, 所以 f(2)=f(-2), 所以 f(1)<f(-2)<f(3). 【答案】 B 4.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值为( )
11 A.4 B.2 C.2 D.4 【解析】 无论 a>1 还是 0<a<1,f(x)都在[0,1]上是单调函数, 所以 a=(a0+loga1)+(a+loga2), 所以 a=1+a+loga2,
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所以 loga2=-1,所以 a=12.

【答案】 B

5.若 a>b>0,0<c<1,则( )

A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb

【解析】 法一:因为 0<c<1,所以 y=logcx 在(0,+∞)单调递减,又 0<b<a,所以

logca<logcb,故选 B.

法二:取

a=4,b=2,c=12,则

11 1 log42=-2>log22,排除

11 A;42=2>22,排除

C;???12???4<???12???

2,排除 D;故选 B.

【答案】 B

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

6.若 a>0 且 a≠1,则函数 y=loga(x-1)+2 的图像恒过定点________. 【解析】 当 x-1=1 时,loga(2-1)=0, 所以函数过定点(2,2).

【答案】 (2,2) 7.已知函数 f(x)=log2a1- +xx为奇函数,则实数 a 的值为________.

【解析】 由奇函数得 f(x)=-f(-x),

a-x

a+x

log2 1+x=-log21-x,

a1- +xx=1a- +xx,a2=1,

因为 a≠-1,

所以 a=1.

【答案】 1

8.设函数 f(x)=??log2x,x>0,
?

log21

-x

,x<0,

若 f(a)>f(-a),则实数 a

的取值范围是________.
【解析】 由题意得{a>0, log2a>-log2a

或??a<0,
?

log12

-a

2 -a , 解得 a>1 或-1<a<0.

【答案】 (-1,0)∪(1,+∞)

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.求函数 y=(log12x)2-12log12x+5 在区间[2,4]上的最大值和最小值.

【解析】 利用换元法,转化为二次函数问题来解决. 由 y=log12x 在区间[2,4]上为减函数知, log122≥log12x≥log124,即-2≤log12x≤-1.

若设 t=log12x, 则-2≤t≤-1,且 y=t2-12t+5.

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而 y=t2-12t+5 的图像的对称轴为 t=14,且在区间???-∞,14???上为减函数, 而[-2,-1]? ???-∞,14???.

所以当 t=-2,即 x=4 时,此函数取得最大值,最大值为 10;



t=-1,即

x=2

13 时,此函数取得最小值,最小值为 2 .

10.已知 loga(2a+3)<loga3a,求 a 的取值范围.
【解析】 (1)当 a>1 时,原不等式等价于
{a>1, 2a+3<3a, 2a+3>0, 解得 a>3. (2)当 0<a<1 时,原不等式等价于{0<a<1, 2a+3>3a,

3a>0,

解得 0<a<1.

综上所述,a 的范围是(0,1)∪(3,+∞).

|能力提升|(20 分钟,40 分)

11.若函数 y=a|x|(a>0,且 a≠1)的值域为{y|0<y≤1},则函数 y=loga|x|的图象大致 是( )

【解析】 若函数 y=a|x|(a>0,且 a≠1)的值域为{y|0<y≤1},则 0<a<1,由此可知 y

=loga|x|的图象大致是 A.

【答案】 A
12.已知 f(x)={

-2a x+3a,x<1, ln x,x≥1 的值域为 R,那么 a 的取值

范围是________.

【解析】 要使函数 f(x)的值域为 R,

需使{1-2a>0,
所以-1≤a<12.

ln 1≤1-2a+3a, 所以???a<12,

a≥-1.

【答案】 ???-1,21??? 13.已知 f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数 y=f(x)的图像上时,点???x3,y2???在函数

y=g(x)的图像上.

(1)写出 y=g(x)的解析式;

(2)求方程 f(x)-g(x)=0 的根.

【解析】 (1)依题意,??y=f x =log2 x+
?
则 g???x3???=12log2(x+1), 故 g(x)=12log2(3x+1).

, y2=g???3x???,

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(2)由 f(x)-g(x)=0 得, log2(x+1)=12log2(3x+1),
所以{x+1>0, 3x+1>0, 3x+1= x+ 2,

解得,x=0 或 x=1. 14.已知 a>0 且 a≠1,f(logax)=a2-a 1???x-1x???.

(1)求 f(x);

(2)判断 f(x)的单调性和奇偶性;

(3)对于 f(x),当 x∈(-1,1)时,有 f(1-m)+f(1-2m)<0,求 m 的取值范围.

【解析】 (1)令 t=logax(t∈R), 则 x=at,且 f(t)=a2-a 1???at-a1t???, 所以 f(x)=a2-a 1(ax-a-x)(x∈R); (2)因为 f(-x)=a2-a 1(a-x-ax)

=-f(x),

且 x∈R,所以 f(x)为奇函数.

当 a>1 时,ax-a-x 为增函数, a
并且注意到a2-1>0,

所以这时 f(x)为增函数;

当 0<a<1 时,类似可证 f(x)为增函数.

所以 f(x)在 R 上为增函数;

(3)因为 f(1-m)+f(1-2m)<0,且 f(x)为奇函数,

所以 f(1-m)<f(2m-1).

因为 f(x)在(-1,1)上为增函数,
所以{-1<1-m<1, -1<2m-1<1,
解之,得23<m<1.

1-m<2m-1.

即 m 的取值范围是???23,1???.

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