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高考数学一轮复习函数模型及其应用课件文_图文

? 第9讲 函数模型及其应用

基础诊断

考点突破

课堂总结

? 最新考纲 1.了解指数函数、对数函数以及 幂函数的增长特征,知道直线上升、指数 增长、对数增长等不同函数类型增长的含 义;2.了解函数模型(如指数函数、对数函 数、幂函数、分段函数等在社会生活中普 遍使用的函数模型)的广泛应用.

基础诊断

考点突破

课堂总结

? 知识梳理 ? 几类函数模型及其增长差异 ? (1)几类函数模型
函数模型 一次函数型 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0)

k 反比例函数型 f(x)= +b(k,b 为常数且 k≠0) x

基础诊断

考点突破

课堂总结

二次函数模型

f(x)=ax2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=axn+b(a,b 为常数,a≠0)

指数函数型

对数函数型 幂函数型

基础诊断

考点突破

课堂总结

? (2)指数、对数、幂函数模型性质比较

函数
性质 在(0,+ ∞)

y=ax
(a>1)
递增

y=logax
(a>1)
递增

y=xn
(n>0)

上的增减


单调
y轴

单调
x轴

单调递增

增长速度 越来越快 随x的增

越来越慢
基础诊断

相对平稳
考点突破 课堂总结

? ?

?

? ?

? 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1) 函数 y = 2x 的函数值比 y = x2 的函数值 大. × ? ( ) (2)“指数爆炸”是指数型函数 y = abx + c(a≠0 , b > 0 , b≠1) 增长速度越来越快的形 × 象比喻. ? ( ×) (3)幂函数增长比直线增长更快. ? ( ) 考点突破 课堂总结 (4)f(x) = x2 , g(x) = 2x , h基础诊断 (x) = log x ,当

? 2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中 因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时 间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好 的图象是 ? ( )

基础诊断

考点突破

课堂总结

? 解析 小明匀速运动时,所得图象为一条 直线,且距离学校越来越近,排除 A. 因交 通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不 变,排除 D. 后来为了赶时间加快速度行驶, 排除B.故选C. ? 答案 C

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.(2014· 深圳模拟)用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间加 两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 ( A.3 B.4 C.6 D.12 解析 设隔墙的长为 x(0 < x< 6),矩形面积为 y,则 y= )

24-4x x× 2 =2x(6-x)=-2(x-3)2+18,∴当 x=3 时,y 最 大. 答案 A

基础诊断

考点突破

课堂总结

4.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律 为 y=ekt(其中 k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示 病毒个数),则 k=________,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖 为________个. 解析 当 t=0.5 时,y=2,∴2= ∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2,当 t=5 时,y=e10ln 2=210=1 024. 答案 2ln 2 1 024

基础诊断

考点突破

课堂总结

? 5.(人教A必修1P104例5改编)某桶装水经 营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200元,每桶水的进价是5元,销售单价与 日均销售量的关系如表所示: 销售单价/ 6 7 8 9 10 11 12 元 44 40 36 32 28 24 日均销售量 480 0 0 0 0 0 0 /桶 ? 请根据以上数据作出分析,这个经营部 为获得最大利润,定价应为________元.
基础诊断 考点突破 课堂总结

? 解析 设在进价基础上增加 x元后,日均销 售利润为y元, ? 日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(桶), ? 则 y = (520 - 40x)x - 200 =- 40x2 + 520x - 200,0<x<13. ? 当 x = 6.5 时, y 有最大值.所以只需将销售 单价定为11.5元,就可获得最大的利润. ? 答案 11.5
基础诊断 考点突破 课堂总结

? 考点一 二次函数模型 ? 【例1】 A,B两城相距100 km,在两城之 间距A城x(km)处建一核电站给 A,B两城供 电,为保证城市安全,核电站距城市距离 不得小于 10 km. 已知供电费用等于供电距 离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍, 若A城供电量为每月 20亿度,B城供电量为 每月10亿度. ? (1)求x的取值范围; ? (2)把月供电总费用y表示成 x 的函数; 基础诊断 考点突破 课堂总结



(1)x 的取值范围为 10≤x≤90.
2

5 (2)y=5x + (100-x)2(10≤x≤90). 2 5 15 2 15? 100?2 2 (3)因为 y=5x +2(100-x) = 2 x -500x+25 000= 2 ?x- 3 ? ? ?
2

50 000 100 50 000 + 3 , 所以当 x= 3 时, ymin= 3 .故核电站建在距 A 城 100 3 km 处,能使供电总费用 y 最少.

基础诊断

考点突破

课堂总结

? 规律方法 在建立二次函数模型解决实际 问题中的最优问题时,一定要注意自变量 的取值范围,需根据函数图象的对称轴与 函数定义域在坐标系中对应区间之间的位 置关系讨论求解.

基础诊断

考点突破

课堂总结

? 【训练1】 (2014·舟山高三检测)某汽车销 售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车, 在 A 地的销售利润 ( 单位:万元 ) 为 y1 = 4.1x -0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为 y2 = 2x ,其中 x 为销售量 ( 单位:辆 ) ,若该 公司在两地共销售 16辆该种品牌的汽车, 则能获得的最大利润是 ? ( ) ? A.10.5万元 B.11万元 ? C.43万元 D.43.025万元
基础诊断 考点突破 课堂总结

解析

设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆,则在 B 地销售该

品牌的汽车(16-x)辆,所以可得利润 y=4.1x-0.1x2+2(16-x)
2 21 21 =- 0.1x2 + 2.1x + 32 =- 0.1(x - )2 + 0.1× + 32. 因为 x ∈ 2 4

[0,16]且 x∈N,所以当 x=10 或 11 时,总利润取得最大值 43 万元. 答案 C

基础诊断

考点突破

课堂总结

? 考点二 指数函数、对数函数模型 ? 【例2】 (2014·青岛模拟)世界人口在过去 40 年翻了一番,则每年人口平均增长率是 (参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017) ? ( ) ? A.1.5% B.1.6% ? C.1.7% D.1.8%

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

设每年人口平均增长率为 x,则(1+x)40=2,两边取以

lg 2 10 为底的对数, 则 40 lg(1+x)=lg 2, 所以 lg(1+x)= 40 ≈0.007 5,所以 100.007 5=1+x,得 1+x=1.017,所以 x=1.7%. 答案 C

基础诊断

考点突破

课堂总结

? 规律方法 在实际问题中,有关人口增长、 银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指 数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+ p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间) 的形式.解题时,往往用到对数运算,要 注意与已知表格中给定的值对应求解.

基础诊断

考点突破

课堂总结

?

? ?

【训练2】 某位股民购进某支股票,在接 下来的交易时间内,他的这支股票先经历 了 n 次涨停 ( 每次上涨 10%) ,又经历了 n 次 跌停 ( 每次下跌 10%) ,则该股民这支股票 的盈亏情况(不考虑其他费用)为 ? ( ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D . 无 法 判 断 盈亏情况
基础诊断 考点突破 课堂总结

? 解析 设该股民购这支股票的价格为 a元, 则 经 历 n 次 涨 停 后 的 价 格 为 a(1 + 10%)n = a×1.1n 元 , 经 历 n 次 跌 停 后 的 价 格 为 a×1.1n×(1 - 10%)n = a×1.1n×0.9n = a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这支 股票略有亏损. ? 答案 B

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点三 分段函数模型 【例 3】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部 门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化 为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理 成本 y(元)与月处理量 x(t)之间的函数关系可近似地表示为 ?1 3 2 x - 80 x +5 040x,x∈[120,144?, ?3 y=? ?1x2-200x+80 000,x∈[144,500], ?2

且每处理一

吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项 目不获利,国家将给予补偿.
基础诊断 考点突破 课堂总结

? (1) 当 x∈[200,300] 时 , 判 断 该 项 目 能 否 获 利.如果获利,求出最大利润;如果不获 利,则国家每月至少需要补贴多少元才能 使该项目不亏损? ? (2) 该项目每月处理量为多少吨时,才能使 每吨的平均处理成本最低?

基础诊断

考点突破

课堂总结

解 (1)当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S, 则
?1 S=200x-?2x2-200x+80 ? ? 000? ?

1 2 1 =- x +400x-80 000=- (x-400)2, 2 2 ∴当 x∈[200,300]时,S<0,因此该单位不会获利. 当 x=300 时,S 取得最大值-5 000, ∴国家每月至少补贴 5 000 元才能使该项目不亏损.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为 ?1 2 x -80x+5 040,x∈[120,144? , ? 3 y ? = x ?1 80 000 x+ x -200,x∈[144,500]. 2 ? y 1 2 ①当 x∈[120,144)时,x=3x -80x+5 040 1 =3(x-120)2+240, y ∴当 x=120 时, 取得最小值 240. x

基础诊断

考点突破

课堂总结

②当 x∈[144,500]时, y 1 80 000 x=2x+ x -200≥2 1 80 000 2x× x -200=200,

1 80 000 y 当且仅当2x= x ,即 x=400 时,x取得最小值 200. ∵200<240, ∴当每月的处理量为 400 吨时, 才能使每吨的平均 处理成本最低.

基础诊断

考点突破

课堂总结

? 规律方法 (1)很多实际问题中,变量间的 关系不能用一个关系式给出,这时就需要 构建分段函数模型,如出租车的票价与路 程的函数就是分段函数.(2)求函数最值常 利用基本不等式法、导数法、函数的单调 性等方法.在求分段函数的最值时,应先 求每一段上的最值,然后比较得最大值、 最小值.

基础诊断

考点突破

课堂总结

? 【训练3】 提高过江大桥的车辆通行能力可改 善整个城市的交通状况.在一般情况下,大 桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度 达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度 为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速 度为 60 千米 /时.研究表明:当 20≤x≤200 时, 车流速度v是车流密度x的一次函数. ? (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; ? (2) 当车流密度 x 为多大时,车流量 ( 单位时 间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 / 时 )f(x) = x· v(x) 可 以 达 到 最 大 , 并 求 出 最 大
基础诊断 考点突破 课堂总结

解 (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b, 1 ? ? ?a=-3, ?200a+b=0, 再由已知,得? 解得? ? ?20a+b=60, ?b=200. 3 ? 60,0≤x≤20, ? ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ? 200 -x? ,20<x≤200. ? 3 ?

基础诊断

考点突破

课堂总结

60x,0≤x≤20, ? ? (2)依题意并由(1)可得 f(x)=?1 x?200-x?,20<x≤200. ? 3 ? 当 0≤x≤20 时, f(x)为增函数, 故当 x=20 时, 其最大值为 60×20 =1 200; 1 1 2 200 1 当 20 < x≤200 时 , f(x)= x(200- x)=- x + x=- (x- 3 3 3 3 10 000 100) + 3 ;∴当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大
2

10 000 值 3 . 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 3 333,即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大, 最大值约为 3 333 辆/时.
基础诊断 考点突破 课堂总结

? [思想方法] ? 解函数应用问题的步骤(四步八字) ? (1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理 顺数量关系,初步选择数学模型; ? (2) 建模:将自然语言转化为数学语言,将 文字语言转化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; ? (3)解模:求解数学模型,得出数学结论;
基础诊断 考点突破 课堂总结

? (4) 还原:将数学结论还原为实际问题的意 义. ? 以上过程用框图表示如下:

基础诊断

考点突破

课堂总结

? ?

? ?

[易错防范] 1.解应用题思路的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么, 还要特别注意一些关键的字眼 ( 如“几年后”与“第几年后”) ,学 生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析 式写错,故建议复习时务必养成良好的审题习惯. 2.在解应用题建模后一定要注意定义域,建模的关键是注意寻找量 与量之间的相互依赖关系. 3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.

基础诊断

考点突破

课堂总结


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