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最新衡水中学校内自用精品高三数学一轮复习: 第10章 第9节 离散型随机变量的均值与方差

第九节 [考纲传真] 离散型随机变量的均值与方差 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2. 会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差 概念解决一些简单实际问题. 1.离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn (1)均值:称 E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为随机变量 X 的均值或数 学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平. n (2)方差:称 D(X)=∑ (xi-E(X))2pi 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变 i=1 量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度, 其算术平方根 D?X?为随机变量 X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b. (2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 均值 变量 X 服从两点分布 X~B(n,p) E(X)=p E(X)=np 方差 D(X)=p(1-p) D(X)=np(1-p) 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.( ) ) (2)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量.( (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度, 1 方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小. ( ) (4)在篮球比赛中,罚球命中 1 次得 1 分,不中得 0 分,如果某运动员罚球 命中的概率为 0.7,那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是 0.7.( [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ ) 2.(教材改编)已知 X 的分布列为 X P 设 Y=2X+3,则 E(Y)的值为( 7 A.3 C.-1 -1 1 2 ) B.4 D.1 0 1 3 1 1 6 1 1 1 1 A [E(X)=-1×2+0×3+1×6=-3, 2 7 则 E(Y)=2E(X)+3=3-3=3.] 1 3.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=5(k=2,4,6,8,10),则 D(ξ)等于( A.8 C.10 B.5 D.12 ) 1 A [∵E(ξ)=5(2+4+6+8+10)=6, 1 ∴D(ξ)=5[(-4)2+(-2)2+02+22+42]=8.] 4.(2016· 四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面 向上时,就说这次试验成功,则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是________. 3 2 [同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率 P=1 ?1? 3 -?2?2=4. ? ? 3? ? 又 X~B?2,4?, ? ? 3 3 ∴成功次数 X 的均值 E(X)=2×4=2.] 5.若 X~B(n,p),且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)=________. 2 3 1 024 [∵E(X)=np=6, D(X)=np(1-p)=3, 1 ∴p=2,n=12, 1 ?1? 3 1 则 P(X=1)=C12 ×2×?2?11=3×2-10=1 024.] ? ? 离散型随机变量的均值、方差 (2017· 成都诊断)某商场举行购物抽奖活动,抽奖箱中放有除编号不 同外,其余均相同的 20 个小球,这 20 个小球编号的茎叶图如图 1091 所示. 图 1091 活动规则如下: 从抽奖箱中随机抽取一球,若抽取的小球编号是十位数字为 1 的奇数, 则为一等奖, 奖金 100 元; 若抽取的小球编号是十位数字为 2 的奇数, 则为二等奖,奖金 50 元;若抽取的小球是其余编号则不中奖.现某顾客有放回 的抽奖两次,两次抽奖相互独立. (1)求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率; (2)记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期 望和方差. 【导学号:01772423】 [解] (1)设一次抽奖抽中 i 等奖的概率为 Pi(i=1,2),没有中奖的概率为 P0, 3 5 2 2 则 P1+P2=20+20=5,即中奖的概率为5, 2 3 12 ∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为 P=C1 2× × = .5 分 5 5 25 (2)X 的可能取值为 0,50,100,150,200. 9 ∵P(X=0)=25, 3 5 3 3 1 P(X=50)=C2 ×20×5=10, 5 5 3 3 97 1 P(X=100)=20×20+C2 ×20×5=400, 3 5 3 1 P(X=150)=C2 ×20×20=40, 3 3 9 P(X=200)=20×20=400,8 分 ∴X 的分布列为 X P 0 9 25 50 3 10 100 97 400 150 3 40 200 9 400 9 3 97 3 9 ∴数学期望为 E(X) = 0× 25 + 50× 10 + 100× 400 + 150× 40 + 200× 400 = 55(元).12 分 9 3 97 ∴方差 D(X) = (0 - 55)2× 25 + (50 - 55)2× 10 + (100 - 55)2× 400 + (150 - 3 9 55)2×40+(200-55)2×400=2 737.5. [规律方法] 1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有 可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算. 2.注意 E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用. [变式训练 1] (2015· 陕西高考)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下: T(分钟) 频数(次) 25 20 30 30 3

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