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黑龙江省鸡西市高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角教案2


2.4.2 平面向量数量积的坐标表示模夹角
模式 与方 法 教学 目的 (1)掌握平面向量数量积的坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用. 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (3)正确运用向量运算律进行推理、运算. 重点 难点 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 平面向量数量积的综合应用 教学内容 知 识 梳理 师生活动及时间分配 自学指导 讲练结合

1.平面向量数量积的坐标表示 ①已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 .

?

?

? ?

? ? 2 2 ②设 a ? ( x, y) ,则 | a |? x ? y .
③平面内 两点间的距离公式 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为

限时看书 5~

?

回答师的问题

( x1 , y1 )



( x2 , y 2 )





么 师讲解知识点的推导过程

? | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 .
④向量垂直的判定 两个非零向量 , 则

? a ? ( x1 , y1 )



? b ? ( x2 , y 2 )

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 .
⑤ 两 向 量 夹 角 的 余 弦 = c os?

? ? a ?b ? | a |?|b|

?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2

2

2

( 0 ? ? ? ? ). 例 5 解:做图观察,发现三角形有一个内角为直
1

角,构造向量证明向量的数量积为 0 典 型 例题 2.平面向量数量积的 综合应用 例题 已知向量 教师引导学生利用平面向 量数量积解决 ,让学生自己 动手、动脑 .教师可以让学 生到黑板上板书步骤 ,并对 值 .

? ? ? ? a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? ? ? ? . 2 2 ? ? ? ? (1) 若 a ? b, 求? ; (2)求 a ? b 的最大

? ? 解:(1)若 a ? b ,则
sin ? ? cos ? ? 0 ,

书写认真且正确的同学提 出表扬 ,对不能写出完整解 题过程的同学给予提示和

? tan ? ? ?1, (?
(2)

?
2

?? ?

?
2

) ?? ? ?

?
4

.

鼓励.

? ? a?b =
(sin ? ? 1) 2 ? (1 ? cos ? ) 2 ? 3 ? 2(sin ? ? cos ? )
= 3 ? 2 2 sin(? ?

?
4

)

??

?
2

?? ?

?
2

,??

?
4

?? ?

?
4

?

3? , 4

? 2 ? sin(? ? ) ? (? ,1] 4 2 ? ? ? ?当? ? 时 , a ? b 的最大值为 4
3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 ? 2 ? 1.
例题 已知向量

? ? ? ? a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,且 a, b 满足
? ? ? ? ? ka ? b ? 3 a ? kb , k ? R
(1) 求证 (a ? b) ? (a ? b) ; (2)求函数

? ?

? ?

2

? f (k ) 的最小值及取得最小值时向量 a 与向
量 b 的夹角 ? . 解:(1) ?

?

? ? a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? )
? ? ? ? ?2 ?2 ? ? ? (a ? b)?(a ? b) ? a ? b ?| a |2 ? | b |2 ? 1 ? 1 ? 0
, 故 (a ? b) ? (a ? b)

? ?

? ?

(2)

f (k ) ?

k 2 ?1 k 1 k 1 1 ? ? ? 2 ? ? ,此时当 4k 4 4k 4 4k 2
1 . 2 ? ? ? ? a? b 1 ? cos ? ? ? ? ? ,量 a 与向量 b 的 a b 2

k ? 1, f (k ) 最小值为

夹角 ? 小结

?

?
3

1. 掌握平面向量数量积的定义及几何意义,熟 练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运 算率. 2. 灵活应用公式 a ? b = | a || b |cos? ,

?

?

?

?

? ? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 , | a |? x 2 ? y 2 .
3. 平面向量数量积的综合应用 作业:习题卷 学生完成

3


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