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2015福建高职招考数学教材(面向高中生)


【教育高职招考数学培训教材】 (教师版上)
目 录

前言 ..................................................................................................... 2 集合 ..................................................................................................... 3 函数的概念与基本初等函数Ⅰ. ......................................... 10 立体几何初步 ................................................................................ 70 平面解析几何初步 .................................................................. .99 算法初步 ....................................................................................... 120 统计 .................................................................................................. 145 概率 .................................................................................................. 160 基本初等函数Ⅱ(三角函数) ............................................. 181 平面向量 ....................................................................................... 208 三角恒等变换 ............................................................................. 232 解三角形 ....................................................................................... 239

1

【前 言】
对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 1.了解:初步知道知识的含义及其简单应用。
2.理解:懂得知识的概念和规律(定义、定理、法则等)以及与

其他相关知识的联系。
3.掌握:能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问

题。

2

【集 合】 【考纲要求】 1.集合的含义与表示 ① 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。 ② 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题。 (2)集合间的基本关系 ① 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合 的子集。 ② 在具体情境中,了解全集与空集的含义。 (3)集合的基本运算 ① 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单 集合的并集与交集。 ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给 定子集的补集。 ③ 能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。
【基础知识】
一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个总体, 这个总体就叫 集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合中元素的三个特性: 确定 性、互异性、无序性。 (1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或 者不 是这个给定的集合的元素,这叫集合元素的确定性。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归 入一 个集合时,仅算一个元素,这叫集合元素的互异性。

3

(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样, 仅需 比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样,这叫集合元素的 无序性。 3、元素与集合之间只能用“?”或“?”符号连接。 4、集合的表示:常见的有四种 方法。 (1)自然语言描述法:用自然的文字语言描述。如:英才中学的所有团 员 组成一个集合。 (2)列举法:把集合中的元素一一列举出来,元素之间用逗号隔 开,然后 用一个花括号全部括上。如:{0,1, 2, 3} (3)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号内表示集 合的方法。它的一般格式为{x | P(x)} ,“|”前是集合元素的一般形式,“|” 后是集合元素的公共属性。如{ x | x
2 2

? 2 x ? 3 ? 0} 、 { x | y ? x
2

2

? 2 x ? 3} 、 { y | y ? x ? 2 x ? 3} 、{( x , y ) | y ? x ? 2 x ? 3} 。 (4)Venn 图法:如:

5、常见的特殊集合:(1)非负整数集(即自然数集)N(包括零)(2)
正整数集 N*或 N
?

(3)整数集 Z (包括负整数、零和正整数) (4)有理数集Q

(5)实数集 R 6、集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合。(2)无限集: 含有 无限个元素的集合。(3)空集 :不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1、 子集 对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 我 们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A,也说集合 A 是集合 B 的子集。记为 A ? B 或 B ? A 。 2、真子集
对于两个集合 A 与 B,如果 A ? B ,且集合 B 中至少有一个元素不属于

集合 A,则称集合 A 是集合 B 的真子集。记为 A ? B 。 3、空集 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ。规定: 空集是任何集合的子集,空 集 是任何非空集合的真子集。 4、集合之间只能用“? ”“? ”“=”等连接,不能用“?”或“?”符号 连接。
4

三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合叫做 A、B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}。 2、并集的定 义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的 集合,叫做 A、B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x ∈B}。 3、交集与并集的性质: A∩A = A A∩Φ= Φ A∩B = B∩A,A∪A = A A∪Φ= A A∪B = B ∪A. 4、全集与补集 (1)全集:如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元 素,这个集合就 可以看作一个全集。通常用 U 来表示。
(2)补集:设U 是一个集合,A 是U 的一个子集,由U 中所有不属于 A 的元 素组成的 集合,叫做U 中子集 A 的补集。 记作:CU A ? { x | x ?U 且x ? A}

四、温馨提示
1、集合的问题,一般按照读懂→化简→解答的步骤解答。如:{x | y ? f (x)}

表示函数 y ? f (x) 的定义域,而{y | y ? f (x)} 表示函数的值域, {(x, y) | f (x, y) ? 0} 表示方程 f (x, y) ? 0 对应的曲线。如果是点集,要知道是什么 样的点组成的集合,如果是数集,要知道是什么样的数组成的集合。 2、涉及集合 (子集、真子集和相等)关系和(交、并、补)运算,不要遗 忘了空集这个特殊的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 3、 集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴,一般情况下,有限集的运算 用维恩图分 析,无限集的运算用数轴,这实际上是数形结合的思想的具体运用。 4、集合的运算注意端点的取等问题。最好是直接代入原题检验。 5、n 个元素的集合的子集个数为 2n 个。 n 个元素的集合的真子集个数 为 2
n

?1个。减去的“1”是集合本身,不是减去的空集。

6、集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征,尤其是确定 性和互异 性。在解题中,要注意把握与运用,例如在解答含有参数问题时, 千万别忘了检 验,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误。
7、集合在高考中涉及的综合性解答题不多,因此不宜要求过高。

【例题精讲】
例 1 设集合 S ?

?x

| x ? 2 ? 3?,T ?

?x

| a ? x ? a ? 8?, S T ? R ,求实数a 的取值范

围。 解题思路分析:作为集合的问题,首先必须要化简集合,再根据已知条件结合数轴分 析参 数a 要满足的条件。
5


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