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高考数学第二轮专题复习专题六 第二讲 圆锥曲线的方程与性质

第二讲 圆锥曲线的方程与性质 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 标准方程 图形 范围 顶点 对称性 几 何 性 质 离心率 准线 渐近线 b y=± x a 焦点 轴 长轴长 2a,短轴长 2b c b2 e= = 1- 2 a a (0<e<1) |x|≤a,|y|≤b (± a,0)(0,± b) |x|≥a (± a,0) x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称 p ( ,0) 2 椭圆 |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|) x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 双曲线 ||PF1|-|PF2|| =2a(2a<|F1F2|) x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 抛物线 |PF|=|PM|, 点 F 不在 直线 l 上, PM⊥l 于 M y2=2px(p>0) 关于 x 轴,y 轴和原点对称 (± c,0) 实轴长 2a,虚轴长 2b c e= = a b2 1+ 2(e>1) a e=1 p x=- 2 1. (· 课标全国Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x 答案 C p ? p 解析 由题意知:F? ?2,0?,抛物线的准线方程为 x=-2,则由抛物线的定义知,xM=5 5 yM? p ? 5?2 ? yM?2 25 - ,设以 MF 为直径的圆的圆心为? ?2, 2 ?,所以圆的方程为?x-2? +?y- 2 ? = 4 , 2 p? 又因为圆过点(0,2),所以 yM=4,又因为点 M 在 C 上,所以 16=2p? ?5-2?,解得 p=2 或 p=8,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x,故选 C. B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x ( ) x2 y2 5 2. (· 课标全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 a b 2 ( 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 答案 C c 5 解析 由 e= = 知,a=2k,c= 5k(k∈R+), a 2 由 b2=c2-a2=k2 知 b=k. b 1 所以 = . a 2 1 即渐近线方程为 y=± x.故选 C. 2 1 x2 3. (· 山东)抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 C1 于 2p 3 第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p 等于( 3 3 2 3 4 3 A. B. C. D. 16 8 3 3 答案 D p? 解析 抛物线 C1 的标准方程为:x2=2py,其焦点 F 为? ?0,2?,双曲线 C2 的右焦点 F′ 3 为(2,0),渐近线方程为:y=± x. 3 1 3 3 3 p 由 y′= x= 得 x= p,故 M? p, ?. p 3 3 6? ?3 4 3 由 F、F′、M 三点共线得 p= . 3 2 2 x y 4. (· 福建)椭圆 Г: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x a b +c)与椭圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 ________. 答案 3-1 解析 由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60° ,又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30° ,MF1⊥MF2, 所以|MF1|=c,|MF2|= 3c, c 所以|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a.即 e= = 3-1. a 5. (· 浙江)设 F 为抛物线 C: y2=4x 的焦点, 过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A、 B 两点, 点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于________. 答案 ± 1 ) 1 B.y=± x 3 D.y=± x ) ? ?y=k?x+1? 解析 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), A(x1, y1)、 B(x2, y2)、 Q(x0, y0). 解方程组? . ?y2=4x ? 化简得:k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 4-2k2 4 ∴x1+x2= 2 ,y1+y2=k(x1+x2+2)= . k k 2-k2 2 ∴x0= 2 ,y0= . k k 由 ?x0-1?2+?y0-0?2=2 得:? ?2-2k2?2 ?2?2 ? + =4. ? k2 ? ?k? ∴k=± 1. 题型一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 (1)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 2 为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为 2 __________. x2 y2 (2)已知 P 为椭圆 +y2=1 和双曲线 x2- =1 的一个交点,F1,F2 为椭圆的两个焦点, 4 2 那么∠F1PF2 的余弦值为________. 审题破题 (1)根据椭圆定义, △ABF2 的周长=4a, 又 e= 中使用余弦定理. x2 y2 答案 (1) + =1 16 8 1 (2)- 3 2 x y2 2 c 2 解析 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1,由 e= 知 = , a b 2 a 2 b2 1 故 2= . a 2 由于 △ABF2 的周长为 |AB|+ |BF2|+ |AF2|= |AF1|+ |AF2|+ |BF1|+ |BF2|=4a=16,故 a=4. x2 y2 ∴b2=8.∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 (2) 由椭圆和双曲线的方程可知,

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