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高考数学第二轮专题复习专题六 第二讲 圆锥曲线的方程与性质


第二讲 圆锥曲线的方程与性质 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 标准方程 图形 范围 顶点 对称性 几 何 性 质 离心率 准线 渐近线 b y=± x a 焦点 轴 长轴长 2a,短轴长 2b c b2 e= = 1- 2 a a (0<e<1) |x|≤a,|y|≤b (± a,0)(0,± b) |x|≥a (± a,0) x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称 p ( ,0) 2 椭圆 |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|) x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 双曲线 ||PF1|-|PF2|| =2a(2a<|F1F2|) x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 抛物线 |PF|=|PM|, 点 F 不在 直线 l 上, PM⊥l 于 M y2=2px(p>0) 关于 x 轴,y 轴和原点对称 (± c,0) 实轴长 2a,虚轴长 2b c e= = a b2 1+ 2(e>1) a e=1 p x=- 2 1. (· 课标全国Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x 答案 C p ? p 解析 由题意知:F? ?2,0?,抛物线的准线方程为 x=-2,则由抛物线的定义知,xM=5 5 yM? p ? 5?2 ? yM?2 25 - ,设以 MF 为直径的圆的圆心为? ?2, 2 ?,所以圆的方程为?x-2? +?y- 2 ? = 4 , 2 p? 又因为圆过点(0,2),所以 yM=4,又因为点 M 在 C 上,所以 16=2p? ?5-2?,解得 p=2 或 p=8,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x,故选 C. B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x ( ) x2 y2 5 2. (· 课标全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 a b 2 ( 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 答案 C c 5 解析 由 e= = 知,a=2k,c= 5k(k∈R+), a 2 由 b2=c2-a2=k2 知 b=k. b 1 所以 = . a 2 1 即渐近线方程为 y=± x.故选 C. 2 1 x2 3. (· 山东)抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 C1 于 2p 3 第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p 等于( 3 3 2 3 4 3 A. B. C. D. 16 8 3 3 答案 D p? 解析 抛物线 C1 的标准方程为:x2=2py,其焦点 F 为? ?0,2?,双曲线 C2 的右焦点 F′ 3 为(2,0),渐近线方程为:y=± x. 3 1 3 3 3 p 由 y′= x= 得 x= p,故 M? p, ?. p 3 3 6? ?3 4 3 由 F、F′、M 三点共线得 p= . 3 2 2 x y 4. (· 福建)椭圆 Г: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x a b +c)与椭圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 ________. 答案 3-1 解析 由直线方程为 y= 3(x+c),

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