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高中数学选修2-1第3章3.2.1、3.2.2空间线面关系的判定(一)平行关系课件_图文

第3章 §3.2 空间向量的应用 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义;会用待定系数 法求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平 行问题. 内容索引 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置? 答案 点:在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P → → 的位置就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点 P 的位置向量. (2)直线:①直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量. → → → ②对于直线 l 上的任一点 P, 在直线上取AB=a, 则存在实数 t, 使得AP=tAB. (3)平面:①空间中平面 α 的位置可以由 α 内两条相交直线来确定.对于平面 α 上的任一点 P,a,b 是平面 α 内两个不共线向量,则存在有序实数对(x, → y),使得OP=xa+yb. ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示. 梳理 (1)用向量表示直线的位置: 条件 直线l上一点A 方向向量 表示直线l方向的向量a(即直线的_________) → =a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在实 在直线l上取 AB 形式 → → 数t,使得 AP =_____ tAB 作用 定位置 定点 位置 点A和向量a可以确定直线的_____ 一点 可以具体表示出l上的任意______ (2)用向量表示平面的位置: ①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定: 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a,b和交点O → =xa+yb 形式 对于平面α上任意一点P,存在有序实数对(x,y)使得OP ②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定: 平面的法向量 确定平面位置 方向向量 叫做平面α的法向量 直线l⊥α,直线l的_________ 过点A,以向量a为法向量的平面是完全确定的 (3)直线的方向向量和平面的法向量: 非零 向量a, 能平移到直线上的______ 直线的方向向量 叫做直线l的一个方向向量 n, 直线l⊥α,取直线l的方向向量 _________ n叫做平面α的法向量 平面的法向量 知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2)分别是直线l1,l2的方向向量.若直线 l1∥l2,则向量v1,v2应满足什么关系. 答案 由直线方向向量的定义知若直线 l1∥l2,则直线l1,l2的方向向量共线,即 l1∥l2?v1∥v2?v1=λv2(λ∈R). (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条件可 说明直线与平面平行? 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,进而确定线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么? 答案 关键是找到两个平面的法向量,利用法向量平行来说明两平面平行. 梳理 (1)空间中平行关系的向量表示: 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为μ,v,则 线线平行 线面平行 面面平行 l∥m?______ a∥b ?a=kb(k∈R) l∥α?a⊥μ?________ a· μ=0 μ=kv(k∈R) α∥β?μ∥v?_____________ (2)利用空间向量解决平行问题时,第一,建立立体图形与空间向量的联 系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转 化为向量问题;第二,通过向量的运算,研究平行问题;第三,把向量 问题再转化成相应的立体几何问题,从而得出结论. [思考辨析 判断正误] 1.若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反.( √ ) 2.平面α的法向量是唯一的,即一个平面不可能存在两个不同的法向量. ( × ) 3.两直线的方向向量平行,则两直线平行.( × ) 4.直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面 垂直.( √ ) 题型探究 类型一 例1 求直线的方向向量、平面的法向量 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD, E为PD的中点.AB=AP=1,AD= 3 ,试建立恰当的空间直角坐标系, 求平面ACE的一个法向量. 解答 引申探究 若本例条件不变,试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个 法向量. 解答 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z). → → (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量AB,AC. ? → ?n · AB=0, (3)列方程组:由? ? → AC=0, ?n · ? → ?n · AB=0, (4)解方程组:? ? → AC=0. ?n· 列出方程组. (5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论:得到平面的一个法向量. 跟 踪 训练 1 如 图 所示 , 在四 棱 锥 S - ABCD 中 , 底面 是 直角 梯 形 , 1 ∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD= ,建立适 2 当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量. 解答 类型二 证明线线平行问题 例2 已知直线l1与l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3). 证明:l1∥l2.A 证明 ∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3), 1 ∴a=-3b,∴a∥b,即 l1∥l2. 证明 反思与感悟 相交或异面. 两直线的方向向量共线时,两直线平行;否则两直线 跟踪训练2 已知在四

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