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人教版高一数学必修1


1.2 函数及其表示
(1)函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任 何 一 个 数 x , 在 集 合 B 中 都 有 唯 一 确 定 的 数 f ( x) 和 它 对 应 , 那 么 就 称

f : A ? B为集合 A 到 B 的一个函数记作 y= f ( x) 。
注意:A,B 都是非空数集,因此定义域或值域为空集的函数不存在,如 y=
? ?

函数的对应关系: 函数的值域: 求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法: 将函数视为关于自变量的二次函数, 利用判别式求函数值的范围, 若函数 y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程

就不是函数。

a( y) x2 ? b( y) x ? c( y) ? 0 ,则在 a( y) ? 0 时,由于 x , y 为实数,故必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值.使用此方法要特
别注意自变量的取值范围。 ④换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。

②函数的三要素 定义域:
求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① ② ③

f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

⑤分离常数法:将形如 y=
+ ( + )+? 过程为 = + + ?


+

+

(a≠ 0)的函数,先分离常数,变形
?


=

+

+

,再结合 x 的取值范围确定

④由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. ⑤

+

的取值范围,从而确定函数的值域。

f ( x) =x0 的定义域是{x∈R∣ x ≠ 0}

示例:求下列函数的定义域

⑴y= 2 + 5
示例: (1) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?1,4 , 求函数?(2x + 1)的定义域;

⑵y=x2-4x+6,x∈[1,5)
(2)已知函数?(2x ? 1)的定义域为 ?3,3 ,求 f ( x ) 的定义域。
4 2

⑶y=-x +x + ⑷y=
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1 4

2 +1 3 +5

随堂练习

(1) 已知函数?(2x ? 1)的定义域为 0,1 ,求?(1 ? 3x)的定义域; (2) 若函数?(x + 3)的定义域为 ?5, ? 2 ,求 F(x)=? x + 1 + ?(x ? 1)的定义域。

数 f ( x) 的解析式。

(3) 已知函数 y= 3 (4) 求使函数 y= (5) 求函数 y=

?1 2 +4 +3

的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。

2 + ?2 2 ? +1

的值域为(?∞,2)的 a 的取值范围。

2 2 +4?7 2 +2 +3

的值域。

函数的表示方法: 函数解析式的求解: 1、换元法和配凑法求函数的解析式 已知?(
1+

)=

1+ 2 1 2

+ ,求 f ( x)

2、待定系数法求函数的解析式 已知 f ( x) 是一次函数,且?( f ( x) )=4x-1,求 f ( x)

已知 f ( x) 是二次函数,且满足?(0)=1,?(x+1)-?(x)=2x,

求 f ( x)
3、消元法求函数的解析式 已知 f ( x) +2?(-x)=x2+2x,求 f ( x) 已知 2?( )+ f ( x) =x(x≠ 0),求 f ( x)
1

4、赋值法求函数的解析式 对于任意实数 x,y 都有?(x+y)-2?(y)=x +2xy-y +3x-3y, 求函
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2 2


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