tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 理学 >>

§6 连续时间系统的s域分析_图文

第6章连续时间系统的s域分析

齐开悦 博士

6.1 引言-用拉氏变换分析与表征LTI系统

Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform
一. 系统函数的概念:

以卷积特性为基础,可以建立LTI系统的拉
氏变换分析方法,即
Y (s) ? X (s) ? H (s)

其中 H ( s ) 是 h ( t ) 的拉氏变换,称为系统函数

或转移函数。

如果 X ( s )的ROC包括 j? 轴,则 X ( s ) 和H ( s ) 的



3


ROC必定包括 j? 轴,以 s ? j? 代入,即有
Y ( j? ) ? X ( j? ) ? H ( j ? )

这就是LTI系统的傅里叶分析。 ( j? ) 即是系统 H
的频率响应。 这些方法之所以成立的本质原因在于复指数函 数是一切LTI系统的特征函数。当以 e
j? t

为基底

分解信号时,LTI系统对输入信号的响应就是 ; 而以 e s t 为基底分解信号时,系 X ( j? ) ? H ( j? ) 统的输出响应就是 X
(s) ? H (s)



用系统函数表征LTI系统稳定性:

如果系统稳定,则有 ? ??

?

h (t ) d t ? ?



因此 H ( j? ) 必存在, 意味着H ( s ) 的ROC必然包 括 j? 轴。 综合以上两点,可以得到:因果稳定系统 的 H ( s ) ,其全部极点必须位于S平面的左半边。

例1.

某系统的

h (t ) ? e u (t ) ? e

?t

?2t

u (t )

显然该系统是因果的,确定系统的稳定性。
H (s) ? 1 s ?1 ? 1 s? 2 ? 2s ? 3 s ? 3s ? 2
2

,

R O C : R e[s ] ? ? 1

显然,ROC是最右边极点的右边。
? ROC包括 j? 轴
H (s)

? 系统也是稳定的。

的全部极点都在S平面的左半边。

例3.

X (s) ?

1 ( s ? 1) ( s ? 2 )



6


确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
s 极点:
j?
?

? ? 1,

s ? ?2
j?
?

j?
?

? 2 ?1

? 2 ?1

? 2 ?1

右边信号

左边信号

双边信号

判断因果性和稳定性!



结 论:
1. 如果LTI系统的系统函数是有理函数,且全部 极点位于S平面的左半边,收敛域是最右边极 点的右侧。则系统是因果、稳定的。

7


2. 如果LTI系统的系统函数是有理函数,且系统 因果,则系统函数的ROC是最右边极点的右 边。若系统反因果,则系统函数的ROC是最 左边极点的左边。
3.如果LTI系统是稳定的,则系统函数的ROC必然 包括
j? 轴。

三. 由LCCDE描述的LTI系统的系统函数:
N

对 ?
k ?0

ak

d y (t ) dt
k

k

N

?

?
k?0

bk

d x (t ) dt
k

k

做双边拉氏变换,可得

N

H (s) ?

Y (s) X (s)

?
?
k ?0 N

bk s ak s

k

?
k

N (s) D (s)

,

是一个有理函数

?
k ?0

H ( s ) 的ROC需要由系统的相关特性来确定。

1)如果已知LCCDE描述的系统是因果的,则
H ( s ) 的ROC必是最右边极点的右边。

2)如果已知LCCDE描述的系统是稳定的,则
H ( s ) 的ROC

必包括

j?

轴。

§6.2由系统函数零、极点分布决定 时域特性

冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。 在s域分析中,借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究,可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。 主要优点:

1.可以预言系统的时域特性; 2.便于划分系统的各个分量 (自由/强迫,瞬态/稳态); 3.可以用来说明系统的正弦稳态特性。

6.2.1零极点与时域特性 1.系统函数的零、极点
H ( s) ? A( s ) B( s ) ? K

二.H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
( s ? z1 )( s ? z 2 ) ? ? ? ( s ? z j ) ? ? ? ( s ? z m ) ( s ? p1 )( s ? p2 ) ? ? ? ( s ? pk ) ? ? ? ( s ? pn )
m

? (s ? z
? K
j ?1

j

)

z1 , z 2 ? ? ? z n 系统函数的零点

n

? (s ?
k ?1

pk )

p1 , p 2 ? ? ? p n 系统函数的极点

在s平面上,画出H(s)的零极点图:
极点:用×表示,零点:用○表示

例4
H ( s) ? s( s ? 1 ? j1)( s ? 1 ? j1) ( s ? 1) ( s ? j 2)( s ? j 2)
2

极点: p1 零点:z1

? p2 ? ?1, p3 ? ? j 2, p4 ? j 2 ? 0, z2 ? 1 ? j1, z3 ? 1 ? j1,
j?

画出零极点图:

j2

1? j
? 10
? j2

?
1? j

2.H(s)极点分布与原函数的对应关系
几种典型情况
jω0
j?



O

α

?

? jω0

一阶极点
H ( s) ? H ( s) ? 1 s 1 s?a , , p1 ? 0在原点, h( t ) ? L [ H ( s )] ? u( t ) p1 ? ? a
h( t ) ? e
? at ? at

?1

a ? 0, 在左实轴上 ,

u( t ), 指数衰减

a ? 0, 在右实轴上 , h( t ) ? e u( t ), ? a ? 0, 指数增加 ω H ( s) ? 2 , p1 ? jω, 在虚轴上 2 s ?ω h( t ) ? sinωtu( t ),等幅振荡

H ( s) ?

ω (s ?α ) ?ω
2 2

,

p1 ? ?α ? jω, p2 ? ?α ? j? , 共轭根

当 α ? 0 ,极点在左半平面,衰减振荡 当 α ? 0,极点在右半平面,增幅振荡

二阶极点
H ( s) ?
H ( s) ?

1 s
2

, 极点在原点 ,
1

h( t ) ? tu( t ), t ? ?, h( t ) ? ?

(s ? a)
??t

2

, 极点在实轴上,

h( t ) ? t e
H ( s) ?

u( t ), α ? 0, t ? ?, h( t ) ? 0
2s , 在虚轴上,

(s ?ω )
2 2

2

h(t ) ? t sin tu(t ), t ? ?, h(t ) 增幅振荡

有实际物理意义的物理系统都是因果系统,即随 t ? , h?t ? ? 0 , (s ) 这表明的极点位于左半平面,由此可知, H 收敛域包括虚轴,F ?s ?和F (j? ) 均存在,两者可通用,只 需 s ? j? 将即可。

6.2.2自由响应与强迫响应,暂态响应与稳 态相应
激励:
e( t ) ? E ( s )

系统函数:h( t ) ? H ( s )
m

u

? (s ? zl )
E ( s) ?
l ?1 v

? (s ? z
H ( s) ?
j ?1 n

j

)

? ( s ? Pk )
k ?1

? (s ? P )
i i ?1

响应:

r ( t ) ? R( s )

u

m
l

? (s ? z
R(s ) ?
l ?1 v k ?1

)

? (s ? z
?
j ?1 n

j

)

? (s ? P
v

k

)

? (s ?
i ?1

pi )

R(s ) ?

?s?
k ?1

Ak pk
n

n

??
i ?1

Ai s ? pi
v

r ( t ) ? L ?R( s )? ? ? Ai e
?1
i ?1

pi t

u( t ) ? ? Ak e
k ?1

pk t

u( t )

自由响应分量 +强制响应分量


给定系统微分方程 2 d r ?t ?
dt
2

?3

d r ?t ? dt

? 2r ?t ? ?

d e?t ? dt

? 3e?t ?
/

激励e?t ? ? u?t ? ,起始状态为 ?0 ? ? ? 1, r r

?0 ? ? ? 2

试分别求它们的完全响应,并指出其零输入响应,零状 态响应,自由响应,强迫响应各分量,暂态响应分量和 稳态响应分量。 解:方程两端取拉氏变换
s R?s ? ? sr ?0 ? ? ? r ??0 ? ? ? 3?sR ?s ? ? r ?0 ? ?? ? 2 R?s ?
2

? sE ?s ? ? e ?0 ? ? ? 3 E ?s ?

零输入响应/零状态响应 ?s ? 3s ? 2?R?s ? ? ?s ? 3?E ?s ? ? sr ?0 ? ? r ??0 ? ? 3r ?0
2 ? ?

?

?



R zi ? s ? ?

sr ? 0 ? ? ? r ? ? 0 ? ? ? 3r ? 0 ? s ? 3s ? 2
2

?

Rzs ?s ? ?

?s

?s ? 3?E ?s ?
2

? 3s ? 2
?2 t

?
?t ? 0?
( t ? 0)

零输入响应为 :

rzi ( t ) ? 4 e ? 3 e

?t

即零状态响应为 :

rzs ( t ) ? 0.5 e

?2 t

? 2 e ? 1.5

?t

稳态响应/暂态响应,自由响应/强迫响应
R?s ? ? 1.5 1 s ?2 1 s?1 ? 2.5 1 s?2

极点位于虚轴 极点位于s左半平面
r ( t ) ? 1.5 ? 2 e
?t

? 2.5 e

?2 t

( t ? 0)

稳态响应
R?s ? ? 1.5 1 s

暂态响应
?2 1 s?1 ? 2.5 1 s?2

E(s)的极点
r ( t ) ? 1.5 ? 2 e
?t

H(s)的极点
? 2.5 e
?2 t

( t ? 0)

强迫响应

自由响应

几点认识
?响应函数r(t)由两部分组成: 系统函数的极点?自由响应分量; 激励函数的极点?强迫响应分量。

?定义系统行列式(特征方程)的根为系统的固有频率 (或称“自然频率”、“自由频率”)。 H(s)的极点都是系统的固有频率; H(s)零、极点相消时,某些固有频率将丢失。
?自由响应的极点只由系统本身的特性所决定,与激励 函数的形式无关,然而系数 Ai , Ak与H ?s ?, E ?s ?都有关。

暂态响应和稳态响应
瞬态响应是指激励信号接入以后,完全响应中瞬时出现 的有关成分,随着t增大,将消失。 稳态响应=完全响应-瞬态响应 左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。


已知系统 d r(t ) dt e ( t ) ? (1 ? e
?t 2 2

?5

d r(t ) dt

? 6r ( t ) ? 2

d e(t ) dt
2

2

?6

d e(t ) dt

,激励为

) u( t ),求系统的冲激响应 ( t )和零状态响应 rzs ( t )。 h

(1)在零初始状态下,对原方程两端取拉氏变换
s R( s ) ? 5 sR( s ) ? 6 R( s ) ? 2 s E ( s ) ? 6 sE ( s )
2 2

H ( s) ?

R ?s? E ?s?

?

2s ? 6s
2

s ? 5s ? 6
2

?

2s s?2
?2 t

? 2?

4 s?2

所以

h( t ) ? 2? ( t ) ? 4 e

u( t )

(2) 因为 rzs ( t ) ? h( t ) ? e ( t )
H ( s) ? 2s s?2
2s ? 2s ? 1

或 RZS ( s) ? H ( s ) ? E ( s)
E ( s) ? 2s ? 1 s ( s ? 1)
? 6 s?2 ? 2 s?1

所以

RZS ( s ) ?

s ? 2 s( s ? 1)

?

2( 2 s ? 1) ( s ? 2)( s ? 1)

所以

rZS ( t ) ? ?2 e

?t

u( t ) ? 6 e

?2 t

u( t )

6.3 由系统函数的零极点分布确定频率特性
H ?jω? ? H ?s ? s ? jω ? K

? ?s ? z ?
j j ?1

m

? ?jω ? z ?
j s ? jω

m

? ?s ? P ?
i i ?1

n

?K

j ?1

? ?jω ? p ?
i i ?1

n

可见H ?j ω?的特性与零极点的位置 有关。

令分子中每一项
分母中每一项
平面内。

jω ? z j ? N j e

jψ j

j ω ? Pi ? M i e

j θi

将 j ω ? z j、ω - pi 都看作两矢量之差,将 j 矢量图画于复

画零极点图
零点 : jω ? N j e
jψ j

? zj

极点 : j ω ? M i e

j θi

? pi



θi

Mi

Nj
?

pi

Nj
ψj

zj

j

zj
σ
O
O
σ

jω 是滑动矢量, 矢量变, 则N j、ψ j 和 M i、θ i 都 jω 发生变化。

由矢量图确定频率响应特性
H ?jω? ? K N1 e M1 e
?K
jψ1 jθ 1

N2 e

jψ2

?Nm e

jψm jθ n

M2 e

jθ 2

? Mn e

N1 N 2 ? N m e

j?ψ1 ?ψ2 ?? m ? ψ j?θ 1 ?θ 2 ?? n ? θ

M1 M 2 ? M n e

H ?jω? ? K

N1 N 2 ? N m M1 M 2 ? M n

? ?ω? ? ?ψ1 ? ψ2 ? ?ψm ? ? ?θ 1 ? θ 2 ? ?θ n ?

当 ? 沿虚轴移动时,各复数因子(矢量)的模和辐角都 随之改变,于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。



例1 电路的s域分析
研究下图所示RC低通滤波网络 ? 的频响特性。 V2 ? jω? v ?t ? H ? jω? ? V1 ? jω? ? 解: 写出网络转移函数表达式
1

29


R
C

?
v 2 ?t ?

?

? ? V2 ?s ? 1 1 ? H ?s ? ? ? ? 1 V1 ?s ? RC ? ? s? RC ?

? ? ? ? ? ?
? 1



M1
θ1
O

?

1

1
jθ1

?

V2 V1

e

j? ?ω ?

σ

RC M1 e

RC



频响特性


V2

30


1
1 2
O

V1

M1
θ1

1 RC

ω

?

1 RC

O

σ

? ?ω?

H ?jω? ?

1

1


?

V2

e

j? ?ω ?

O

1 RC

ω

RC M1 e 1 V1 V2 1 1 式中: = , ?=-θ 1 V1 RC M
低通网络,截止频率位 ω ? 于

? 45
? 90

?

?

1 RC





例2 电路的s域分析
研究右图所示二阶 系统 RC 的频响特性 ? jω? ? H V2 ? jω? V1 ? jω?
?

31


R1

C2
?

,
v1 ?t ?
?
C1

v 3 ?t ? ?

?

kv 3
R2

v 2 ?t ?

注意,图中 3是受控电压 kv 源,且R1C1 ?? R2C 2。

?

解:其转移函数为
H ?s ? ? V2 ?s ? V1 ?s ? ?

低通滤波器
1 R1 C 1 ? s? 1 1 R1 C 1

高通滤波器
?k s? s 1 R2 C 2

相当于低通与高通级联构成的带通系统。

频响特性
R1C1 ?? R2C 2

k
k
V2 V1



32


M1

M2

N1

2

?1
? 1 R1C 1
? 1

?2
R2C 2

?1
O

O

?

1 R2 C 2

?

1 R1C 1

ω

σ

? ?ω?
?

极点:p1 ? ? p2 ? ? 零点:z1 ? 0

1 R1C1 1



90

45 O
? 45

?

?

?

? 90

?

R2C 2


电源E , 求电流i ?t ?波形?



33


下图所示电路起始状态 0,t ? 0式开关S 闭合,接入直流 为

解:

S

L

C

1
Ls

sC

E

i ?t ?

R

E s

I ?s ?

R

(1) 起始状态为0 ? i L ? 0 ? ? ? (2) t ? 0 的 s 域等效模型 (3) 列方程

0 A, v C ? 0 ? ? ? 0 V

LsI ?s ? ? RI ?s ? ?

1 Cs

I ?s ? ?

E s



极点
I ?s ? ?

LsI ?s ? ? RI ?s ? ?
E 1 ? ? s? Ls ? R ? ? sC ? ?

1 Cs
?

I ?s ? ?
E

E s
1

34


R 1 ? L ? 2 s? ?s ? ? L LC ? ?

极点 p 1 , p 2:
p1 ? ? L 2R ? 1 ? L ? ? ? ? LC ? 2R ?
2

p2 ? ?

L 2R

?

1 ? L ? ? ? ? LC ? 2R ?

2



I ?s ? ?

E

1

L ?s ? p1 ??s ? p 2 ?
E 1

? ? 1 1 ? ? ? ? L ? p1 ? p2 ? ? ?s ? p1 ? ?s ? p2 ? ?

逆变换
i ?t ? ? E L? p1 ? p2 ?
R ,ω0 ?
2



35


?e

p1t

?e

p2 t

?




?=
p1 ? ?? ?

1 LC
2 2

2L
2

? ? ω0 , p2 ? ?α ? α ? ω0

?无损耗的LC回路? 第一种情况: ? 0, α
ω0 ? ? 第二种情况: ? ω0 ? 即R较小,高Q的LC回路,Q ? α ? 2α ? ? 第三种情况 ? ω0 α

? 第四种情况 ? ω0 ?R较大,低 ,不能振荡 α Q
波形

第一种情况:
E

?无损耗的LC回路? α ? 0,
p1 ? jω0 p2 ? ? jω0
?e
? j ω0 t



36


i ?t ? ?

L 2 j ω0

?

1

?e

j ω0 t

?

? E

C L

? sin?? 0 t ?

阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。
ω0 ? ? 第二种情况:α ? ω0 ?即R较小,高Q的LC回路,Q ? ? 2α ? ?

引入符号

ωd ?

ω0 ? α

2

α ? ω0 ? jωd
2

所以
i ?t ? ? E L ?

p1 ? ?α ? jωd
1

p2 ? ?α ? jωd
? ?α ? jωd ?t

Lωd 2 jωd R 衰减振荡, ? α , R越小,α 就越小,衰减越慢 2L

?e

? ?α ? jωd ?t

?e

?

?

E

?e

?α t

sin?ωd t ?

第三种情况:
R 2L ?

α ? ω0
1 LC I ?s ? ? ? E L



37


p1 ? p2 ? ?α
E
R 2L

这时有重根的情况

:
i ?t ? ? E L ?e

1
2

L ?s ? α ? ?te
? t

?αt

R越大,阻尼大,不能产 生振荡,是临界情况

第四种情况:
i ?t ? ? E L ?

? α ? ω0 ?R较大,低 ,不能振荡 Q
1 2 α ? ω0
2 2

e

?αt

? ?e ?

α ?ω0 t

2

2

?e

?

α

2

?ω0

2

t

? ? ?

?

E L

?
2

1 α ? ω0
2

e

?αt

? α 2 ?ω 2 t ? sinh ? ? 0 ? ?

双曲线



波形
i ?t ?

38


? ?0

? ? ?0
? ? ?0

? ? ?0

O

t

补充:系统函数的代数属性与 系统的级联并联型结构
System Function Algebra and Block Diagram Representations 一.系统互联时的系统函数: 1. 级联:

H (s) ? H 1(s) ? H 2 (s)

R O C : 包括 R 1 ? R 2

2. 并联:

H (s) ? H 1(s) ? H 2 (s)
ROC :

包括 R 1

? R2

3. 反馈联结:
X 1 ( s ) ? X ( s ) ? G ( s )Y ( s )
Y (s) ? X 1(s)H 1(s)
? [ X ( s ) ? G ( s ) Y ( s )] H 1 ( s )

? H (s) ?

Y (s) X (s)

?

H 1(s) 1 ? G (s)H 1(s)

R O C : 包括 R 1 ? R 2


如图所示反馈系统,子系统的系统函数
G ?s ? ? 1
F ?s ?
?



41


?s ? 1??s ? 2?

?
?

X ?s ?

G ?s ?

Y ?s ?

k

当常数k满足什么条件时,系统是稳定的? 加法器输出端的信号 输出信号
X ?s ? ? F ?s ? ? kY ?s ?

Y ?s ? ? G?s ?X ?s ? ? G?s ?F ?s ? ? kG?s ?Y ?s ?



则反馈系统的系统函数为
H ?s ? ? Y ?s ? F ?s ?
? G ?s ? 1 ? kG ?s ?

42


?

1 s ? s? 2? k
2

H ?s ?的极点

p1, 2 ? ?

1 2

?

9 4

?k

为使极点均在s左半平面,必须
?9 ? ?k ?0 9 ?4 ?k ?0 OR ? 4 ?? 1 ? 9 ? k ? 0 ? 2 4 ? k ? 2,即k ? 2时系统是稳定的。

可得

连续系统的方框图表示
一个连续系统可以用一个矩形方框图简 单地表示,方框图左边的有向线段表示系统 的输入f(t),右边的有向线段表示系统的输 出y(t),方框表示联系输入和输出的其他部 分,是系统的主体。此外,几个系统的组合 连接又可构成一个复杂系统,称为复合系统。 组成复合系统的每一个系统又称为子系统。 系统的组合连接方式有串联、并联及这两种 方式的混合连接。



43




44


连续系统也可以用一些输入输出关系简单 的基本单元(子系统)连接起来表示。这 些基本单元有加法器、数乘器(放大器)、 积分器等。



45


例:某线性系统如图所示。求系统函数H(s), 写出描述系统输入输出关系的微分方程。



46




47


又得:
应用时域微分性质,得到系统微分方程为:



6.5 系统的稳定性
? 1,罗斯判据 ? 2,霍尔维茨准则

48



网站首页 | 网站地图 | 学霸百科
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com