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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第一章 三角函数 1.3.2.2


阶 段 一

阶 段 三

1.3 1.3.2
阶 段 二

三角函数的图象和性质 三角函数的图象与性质 正弦、余弦的图象与性质
学 业 分 层 测 评

第 2 课时

1.掌握 y=sin x,y=cos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函 数的值域和最值.(重点、难点) 2. 掌握 y=sin x, y=cos x 的单调性, 并能利用单调性比较大小. (重 点) 3.会求函数 y=Asin(ωx+φ)及 y=Acos(ωx+φ)的单调区间.(重点、 易错点)

[ 基础· 初探] 教材整理 正弦函数、余弦函数的图象与性质 阅读教材 P28~P29 的全部内容,完成下列问题.
函数 图象 定义域 值域 R [ -1,1] R [ -1,1] 正弦函数 y=sin x,x∈R 余弦函数 y=cos x,x∈R

π 2kπ+2(k∈Z)时 当 x=__________________ ,
最值

x=2kπ(k∈Z) 当_______________时,

1 ; 取得最大值=___ π x=2kπ-2(k∈Z) 当_____________________ 时,
-1 取得最小值______

1; 取得最大值___
x=2kπ+π(k∈Z) 时, 当__________________

-1 取得最小值______
2π 周期函数,T=___

周期性 奇偶性

2π 周期函数,T=___

奇函数 ,图象关于原点对称 _________

偶函数 ,图象关于 y 轴对称 _________

? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 2 2? ? 在_______________________ 上

kπ-π,2kπ] (k∈Z)上是 在[2 __________________
增函数; [2kπ,(2k+1)π] (k∈Z) 在____________________上 是减函数 关于 x=kπ(k∈Z)成轴对称,

单调性

是增函数; π 3π 2kπ+2,2kπ+ 2 (k∈Z) 在_______________________上 是减函数

对称性

π 关于 x=kπ+2(k∈Z)成轴对称, π 关于 kπ+2, 0(k∈Z)成中心对 关于(kπ,0)(n∈Z)成中心对称 称

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
? π? ? (1)y=sin?x+2? ?是奇函数.( ? ?

) ) )

(2)y=cos x 是周期为 π 的偶函数.( (3)y=sin x
? π π? ? - , 在? ? 2 2?上单调递减.( ? ?

(4)y=cos x 的值域为(-1,1).(

)

【解析】

? π? ? (1)×.∵y=sin?x+2? ?=cos ? ?

x,∴是偶函数.

(2)×.y=cos x 的周期为 2π. (3)×.y=sin x
? π π? ? - , 在? ? 2 2?上单调递增. ? ?

(4)×.y=cos x 的值域为[ -1,1] .

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
求三角函数的单调区间

求下列函数的单调递增区间: (1)y=cos 2x;
?π ? ? (2)y=2sin? -x? ?. 4 ? ?

【导学号:06460024】

【精彩点拨】

(1)借助 y=cos x 的单调性求解;

(2)解答本题要先用诱导公式将 x 的系数化为正数,再确定所求的单调区间 后求解.

【自主解答】 (1)令 z=2x, 由 y=cos z 的单调递增区间为[ -π+2kπ, 2kπ] , k∈Z 可知 -π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z, π ∴- +kπ≤x≤kπ,k∈Z, 2
? π ? ? ∴单调递增区间为?- +kπ,kπ? ?,k∈Z. 2 ? ? ?π ? ? (2)y=2sin?4-x? ? ? ? ? π? ? =-2sin?x- ? ?, 4 ? ?

π 令 z=x- , 4 则 y=-2sin z. 因为 z 是 x 的一次函数,所以要取 y=-2sin z 的递增区间,即取 sin z 的递 π 3π 减区间,即 2kπ+ ≤z≤2kπ+ (k∈Z), 2 2 π π 3π ∴2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 3π 7π 2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 4 4 ∴函数
?π ? ? y=2sin?4-x? ?的递增区间为 ? ?

3π 7π 2kπ+ ,2kπ+ (k∈Z). 4 4

求函数 y=Asin?ωx+φ??A>0, ω≠0?的单调区间的一般步骤: π ?1?当 ω>0 时,把“ωx+φ”看成一个整体,由 2kπ- ≤ωx 2 π +φ≤2kπ+ ?k∈Z?解出 x 的范围,即为函数递增区间;由 2kπ 2 π 3π + ≤ωx+φ≤2kπ+ ?k∈Z?解出 x 的范围,即为函数递减区间. 2 2 ?2?当 ω<0 时,可先用诱导公式转化为 y=-sin?-ωx-φ?, 则 y=sin?-ωx-φ?的递增区间即为原函数的减区间,减区间为 原函数的增区间.?余弦函数 y=Acos?ωx+φ??A>0, ω≠0?的单调 性讨论同上.

[ 再练一题] 1.求函数
? π? ? y=2sin?2x+6? ?,x∈[ -π,0] 的单调减区间. ? ?

π π 3π 【解】 当 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ 时,函数单调递减, 2 6 2 π 2π 解得:kπ+ ≤x≤kπ+ . 6 3 ∵x∈[ -π,0] , π 2π ∴取 k=-1,此时-π+ ≤x≤-π+ , 6 3 5π π 即- ≤x≤- . 6 3 ? ? 5π π? π? ? ? ? 故函数 y=2sin?2x+6?,x∈[ -π,0] 的单调减区间为?- 6 ,-3? ?. ? ? ? ?

比较三角函数值的大小

用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
? π? ? (1)sin?-18? ?与 ? ? ? π? ? sin?-10? ?; ? ?

(2)sin 196° 与 cos 156° ;
? 23 ? ? - π (3)cos? ? ?与 5 ? ? ? 17 ? ? - π cos? ? ?. 4 ? ?

【精彩点拨】

先把异名函数同名化,再把异单调区间内的角化为同一单

调区间内,最后借助单调性比较大小.

【自主解答】

π π π π (1)∵- <- <- < , 2 10 18 2
? π π? ? - , 在? ? 2 2?上是增函数, ? ?

又∵函数 y=sin x

? ? π? π? ? ? ? ∴sin?- ?>sin?- ? ?. 18 10 ? ? ? ?

(2)sin 196° =sin(180° +16° )=-sin 16° , cos 156° =cos(180° -24° )=-cos 24° =-sin 66° , ∵0° <16° <66° <90° , ∴sin 16° <sin 66° ; 从而-sin 16° >-sin 66° ,

即 sin 196° >cos 156° .
? 23 ? ? - π (3)cos? ? ?=cos 5 ? ?

23 π 5

? 3 ? 3 ? ? =cos?4π+5π?=cos π, 5 ? ? ? 17 ? ? - π cos? ? ?=cos 4 ? ?

17 π 4

? π? π ? ? =cos?4π+4?=cos . 4 ? ?

π 3 ∵0< < π<π,且 y=cos x 在[0,π] 上是减函数, 4 5
? 23 ? ? 17 ? 3 π ? ? ? - π ∴cos π<cos ,即 cos?- 5 π?<cos? . ? ? 4 5 4 ? ? ? ?

比较三角函数值的大小时,若函数名不同,一般应先化为同 名三角函数,再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上,以便 运用函数的单调性进行比较.注意,有些时候,可以先用式子的符 号进行分类比较大小.

[ 再练一题] 2.比较下列各组数值的大小: (1)sin 2 与 cos
? 1;(2)sin? ?sin ? ? 3π? 3π? ? ? ? cos 与 sin ? ?. 8? 8 ? ? ?

【解】 (1)因为 cos sin 2=sin(π-2),

?π ? ? 1=sin?2-1? ?, ? ?

? π? π π ? 又 0< -1<π-2< 且 y=sin x 在?0, ? ?上是递增的, 2 2 2 ? ?

从而

?π ? ? sin?2-1? ?<sin(π-2), ? ?

即 cos 1<sin 2.

3π π π 3π (2)∵cos =sin ,0<sin <sin <1, 8 8 8 8 3π 3π π 即 0<cos <sin <1< , 8 8 2 又∵y=sin x
? ∴sin? ?cos ? ? π? ? 在?0,2? ?上是增函数, ? ?

? 3π? 3π? ? ? ? sin <sin . ? 8? 8? ? ? ?

[ 探究共研型]
与三角函数有关的值域问题

探究 1

如何求函数 y=sin

? π π? ? - , x,x∈? ? 3 6?上的值域? ? ?

【提示】 因为 所以

借助函数 y=sin x

? π π? ? - , 在? ? 3 6?上的单调性求解. ? ?

? π π? ? - , x ∈? ? 3 6?时,y=sin ? ? ? π? ? - sin? ? 3?≤sin ? ?

x 是单调递增函数,

? π 3 1 3 1? ? x≤sin ,即- ≤sin x≤ ,∴其值域为?- , ? ?. 6 2 2 2 2 ? ?

探究 2 如何求形如 y=asin x+b(a,b≠0)的值域?
【提示】 令 t=sin x,则 t∈[ -1,1] ,从而转化为 y=at+b,t∈[ -1,1] 型 的值域问题.

探究 3 如何求形如 y=asin2x+bsin x+c 的值域?
【提示】 令 sin x=t,t∈[ -1,1] ,从而 y=at2+bt+c,t∈[ -1,1] ,即转化 为给定区间的二次函数值域问题.

(1)求函数

? ? π? π? ? ?? π y=2sin?2x+ ??- ≤x≤ ? ?的最大值和最小值; 3 6 6 ? ?? ?
2

(2)求函数 y=-2cos x+2sin

?π 5π? ? , x+3,x∈? ?6 ?的值域. 6 ? ?

? π? π ? 【精彩点拨】 (1)由 x 的范围?2x+ 的范围?借助单调性求 y=2sin?2x+ ? 3? 3 ? ?

的最值; (2)由 x 的范围?sin x 的范围?函数的值域.

【自主解答】

π π (1)∵- ≤x≤ , 6 6

π 2π ∴0≤2x+ ≤ , 3 3
? π? ? ∴0≤sin?2x+3? ?≤1, ? ?

∴当 当

? π? ? sin?2x+ ? ?=1 3 ? ?

时,取得最大值 2;

? π? ? sin?2x+ ? ?=0 3 ? ?

时,取得最小值 0.

(2)y=-2(1-sin2x)+2sin x+3 =2sin2x+2sin x+1
? =2? ?sin ?

1? ?2 1 x+ ? + . 2? 2 x≤1.

?π 5π? 1 ? ? ∵x∈?6, 6 ?,∴ ≤sin 2 ? ?

当 sin x=1 时,取得最大值 5; 1 5 当 sin x= 时,取得最小值 . 2 2 ∴函数 y=-2cos x+2sin x+3
2

?5 ? ? 的值域为? ,5? ?. 2 ? ?

1.求形如 y=Asin x+B 或 y=Acos x+B 型的三角函数的最 值问题,一般运用三角函数的有界性求最值.求最值时要注意三 角函数的定义域,尤其要注意题目中是否给定了区间. 2.求解形如 y=asin2x+bsin x+c(或 y=acos2x+bcos x+c), x∈D 的函数的值域或最值时,通过换元,令 t=sin x(或 cos x), 将原函数转化为关于 t 的二次函数,利用配方法求值域或最值即 可.求解过程中要注意 t=sin x(或 cos x)的有界性.

[ 再练一题]
? π? π ? 3.(2016· 南通高一检测)已知函数 f(x)=2asin2x- +b 的定义域为?0, ? ?, 2 3 ? ?

函数的最大值为 1,最小值为-5,求 a 和 b 的值.

π π π 2π 【解】 ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ , 2 3 3 3
? π? 3 ? ∴- ≤sin?2x-3? ?≤1. 2 ? ?



? ?2a+b=1, a>0,则? ? ?- 3a+b=-5,

? ?a=12-6 3, 解得? ? ?b=-23+12 3.



? ?2a+b=-5, a<0,则? ? ?- 3a+b=1,

? ?a=-12+6 解得? ? ?b=19-12

3, 3.

? ?a=12-6 3, 综上知? ? ?b=-23+12 3 ? ?a=-12+6 或? ? ?b=19-12

3, 3.

[ 构建· 体系]

1.函数 y= 2sin 2x 的奇偶性为________.
【解析】 ∵ 2sin(-2x)=- 2sin 2x, ∴函数 y= 2sin 2x 为奇函数.

【答案】 奇函数
2.函数
? π? ? f(x)=sin?x-4? ?的图象的一条对称轴是________(任写一条). ? ?

π π 3π 【解析】 令 x- =kπ+ ,∴x=kπ+ (k∈Z). 4 2 4 3π ? π? ? 【答案】 x=- ?或x= 等? 4 ? 4? ?

3.将 cos 150° ,sin 470° ,cos 760° 按从小到大排列为______. 【导学号:06460025】 【解析】 cos 150° <0,sin 470° =sin 110° =cos 20° >0, cos 760° =cos 40° >0 且 cos 20° >cos 40° , 所以 cos 150° <cos 760° <sin 470° .

【答案】 cos 150° <cos 760° <sin 470°

4.函数

? ? π? π? ? ? ? f(x)=sin?2x-4?在区间?0,2? ?上的最小值是________. ? ? ? ?

【解析】

π ∵0≤x≤ ,∴0≤2x≤π, 2

π π 3π ∴- ≤2x- ≤ , 4 4 4
? π? 2 2 ? ? ∴- ≤sin?2x- ?≤1,∴f(x)取最小值- . 4? 2 2 ?

2 【答案】 - 2

5.求函数

? π? ? y=sin?-2x+4? ?的单调区间. ? ?

【解】

? ? π? π? ? ? ? y=sin?-2x+ ?=-sin?2x- ? . 4? 4? ? ? ?

? π? π π ? ? 因为 2x- 是关于 x 的增函数, 所以只需要考虑 y=-sin?2x- ?关于 2x- 的 4? 4 4 ?

单调性即可.
? π? π π π π ? 当 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z)时, y=sin2x- 为增函数, y=sin?-2x+4? ? 2 4 2 4 ? ?

为减函数, π 3π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 8 8

即函数

? π? ? y=sin?-2x+ ? ?的单调减区间为 4 ? ?

? π 3π? ? ? k π - , k π + ? ?(k∈Z); 8 8 ? ?

π π 3π 同理,令 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 求得函数
? π? ? y=sin?-2x+ ? ?的单调增区间为 4 ? ?

? 3π 7π? ? ? k π + , k π + ? ?(k∈Z). 8 8 ? ?

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________

学业分层测评(九)
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