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初等数论第一章第1节 数的整除性


初等数论

第一章 整除理论
第一节 数的整除性

定义
设a, b是整数, b ? 0, 如果存在整数c, 使得a ? bc成立, 则称b整除a, 记作b | a. 如果不存在整数c, 使得a ? bc成立, 则称b不整除a, 记作b ? a. |

性质
(1)a | b ? ? a | ?b; (2)a | b, b | c ? a | c; (3)b | ai (i ? 1, 2,?, k ) ? b | a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? ak xk (其中xi是任意的整数); (4)b | a ? bc | ac(其中c是任意的非零整数); (5)b | a, a ? 0 ? b ? a ; (6)b | a, a ? b ? a ? 0.

证明 : (1) ? a | b,? b ? aq,??b ? ? aq,?? a | ?b; (2) ? a | b, b | c,? b ? q1a, c ? q2b,? c ? q1q2 a,? a | c; (3) ? b | ai (i ? 1, 2,? , k ), ? ai ? qi b(i ? 1, 2,? , k ),? ai xi ? qi xi b(i ? 1, 2,? , k ), ? a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? ak xk ? b(q1 x1 ? q2 x2 ? ? ? qk xk ) ? b | a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? ak xk (其中xi是任意的整数);

(4) ? b | a,? a ? bq,? ac ? bcq, ? bc | ac(其中c是任意的非零整数); (5) ? b | a,? a ? bq,?| a |?| b || q |, ? a ? 0,? q ? 0,?| q |? 1,? b ? a ; (6) ? b | a,? a ? bq, 由(5)知, 若a ? 0, 则 b ? a 与 a ? b 矛盾,? a ? 0.

例题
例1 已知a, b, c, d , t ? Z , 且t |10a ? b, t |10c ? d . 求证 : t | ad ? bc.

证明 : ad ? bc ? c(10a ? b) ? a(10c ? d ) ? t 10a ? b, t 10c ? d ? t ad ? bc.

例2 设a, b是两个给定的非零整数, 且有整数x, y, 使得ax ? by ? 1.求证 : 若a | n, b | n, 则ab | n.

证明 :? n ? n(ax ? by ) ? nax ? nby 又 ab | na, ab | nb ? ab n.

例3 已知a, b, c, d ? Z 且a ? c | ab ? cd . 求证 : a ? c | ad ? bc.
证明 : a ? c | (a ? c)(b ? d ), ? ? a ? c | ab ? cd ? (ad ? bc ) 又a ? c ab ? cd ,? a ? c ad ? bc.

练习题
1证明: 若3| n且7 | n, 则21| n.
2 设a ? 2k -1, k ? Z , 若a | 2n, 则a | n.
3 证明: 若m - p | mn ? pq, 则m - p | mq ? np.

1证明 : 3 | n,?可设n ? 3m, ? 由7 | n得, 7 | 3m, 而7 | 7m, 所以7 | (7m - 2 ? 3m), 即7 | m,? 21| 3m, 即21| n.

2证明 : a | 2n,? a | 2kn, ? 而2kn ? (2k -1)n ? n ? an ? n, ? a | an ? n, 又a | an,? a | n.

3证明 : mq ? np ? (mn ? pq) ? (m ? p)(n ? q), ? 又 ? m ? p|mn ? pq, ? m ? p|mq ? np.

挑战自我
? 在已知数列1,4,8,10,16,19,21, 25,30,43中,相邻若干个数之和能被11 整除的数组共有多少组?


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