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第一章导数及其应用1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案3苏教版选修2


1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性 一. 教学目标 1.通过实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系,会利用导数判断函数的单 调性、求函数的单调区间. 2.通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较,体会导数方法在研究函数性质中的 一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律. 3.在探索函数单调性与导数关系的过程中培养学生的观察、分析、概括的能力,渗透数形结合、 化归、特殊到一般等数学思想方法. 二. 教学重点与难点 1. 教学重点:利用导数研究函数的单调性. 2. 教学难点:发现和揭示导数的正、负 与函数单调性的关系. 三. 教学方法与教学手段 1. 教学方法: “自主、合作、探究”教学法. 2. 教学手段: 多媒体课件辅助. 四.教学过程 1.创设情境, 引入新知. 某市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示,从 2 时至 5 时的气温 f(x)与时间 x 可近 似 地用函数 f ( x) ? x ? 4ln x ? 1拟合. 问:这段气温 f(x)随时间 x 的变化趋势如何? 【问题 1】 如何研究函数 f ( x) ? x ? 4ln x ? 1( x ?[2,5]) 的单调性? 2.观察探究,形成新知. 【问题 2】函数的单调性是如何定义的? 第一阶段:寻找函数的单调性与平均变化率间的联系. 函数单调性定义的再认识:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,如果对于定义域 A 内的某个区间 I 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 , 当 x1 ? x2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 即 x1 ? x2 与 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 同号, 从而 有 ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 则 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 I 上 是 单 调 增 函 数 ; 当 ?0 ,即 ?x x2 ? x1 ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调减函数. ? 0 ,即 ?x x2 ? x1 1 【 小 结 1 】 设函 数 y ? f ( x) 的 定义 域 为 A , 区 间 I ? A , 任意 x1 , x2 ? I , x1 ? x2 , 都 有 ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?0( ? ? 0 ) ,则函数 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调增(减)函 ?x x2 ? x1 ?x x2 ? x1 数. 【问题 3】能不能利用瞬时变化率(导数)研究 函数的单调性呢? 第二阶段: 探究瞬时变化率(导数)与函数的单调性间的联系. [师生活动]以 函数 f ( x) ? x2 为例,引导其从导数几何意义的角度,借助几何画板演示寻找单 调性与导数的关系.再让学生自主举出一些常见的初等函数,寻找单调性与导数的关系. 【小结 2】一般地,对于函数 y ? f ( x) , 如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间上的增函数; 如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间 上的减函数. 【问题 4】上面是由特殊函数归纳出的结论,对于一般函数是否有这样的结论成立呢? 第三阶段:借助几何画板,引导学生从“形”的角度来验证,并说明此结论的严格 证明要到大 学才学习,有兴趣同学可上网查阅相关资料. 3.自主训练,理解新知. 活动一 确定函数 f

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