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2018版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案

2.2.2

用样本的数字特征估计总体的数字特征

1.会求样本的平均数、标准差、方差.(重点) 2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法.(重点) 3.会应用相关知识解决实际统计问题.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 样本的平均数 阅读教材 P65~P66,完成下列问题. 1.定义:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数. 2.特点:平均数描述了数据的平均水平,定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.用 样本的平均数估计总体的平均数时,样本平均数只是总体平均数的近似. 3.作用:n 个样本数据 x1,x2,?,xn 的平均数 x =

x1+x2+?+xn ,则有 n x =x1+x2 n

+?+xn,也就是把每个 xi(i=1,2,?,n)都用 x 代替后,数据总和保持不变.所以平均数

x 对数据有“取齐”的作用,代表了一组数据的数值平均水平.

一组观察值 4,3,5,6 出现的次数分别为 3,2,4,2,则样本平均值约为( A.4.55 C.12.5 【解析】 B.4.5 D.1.64

)

x=

4×3+3×2+5×4+6×2 ≈4.55. 3+2+4+2

【答案】 A 教材整理 2 样本的方差和标准差 阅读教材 P66“最后一段”至 P68,完成下列问题. 1.数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述.样本方差描述了一组数据围绕平 均数波动的大小.一般地,设样本的元素为 x1,x2,?,xn,样本的平均数为 x ,定义

1

?x1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? s= .
2

2

2

2

n

s2 表示样本方差.
2.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常要求出样本方差的算术平方根 ?x1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ?
2 2 2

s= s 表示样本标准差.

n

.

某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则:(1)平均命中环数为________; (2)命中环数的标准差为________. 7+8+7+9+5+4+9+10+7+4 【解析】 (1) x = =7. 10 (2)s =
2 2

1 2 2 2 2 2 2 2 [(7-7) +(8-7) +(7-7) +(9-7) +(5-7) +(4-7) +(9-7) +(10- 10
2

7) +(7-7) +(4-7) ]=4,∴s=2. 【答案】 (1)7 (2)2

2

[小组合作型] 平均数的求法 甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图 2?2?20 所示,中 间一列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲、 乙两人日加工零件的平均数分别为_________和________. 甲 9 3 2 1 5 0 1 8 0 1 1 2 3 图 2?2?20 【精彩点拨】 由茎叶图分别提取出甲、乙 10 天中每天加工零件的个数,然后求平均 数. 1 1 0 乙 7 2 0 9 4 2 4

2

【尝试解答】 甲每天加工零件的个数分别为:18,19,20,20,21,22, 23,31,31,35,所 1 求平均数为 x 甲= ×(18+19+20+20+21+22+23+31+31+35)=24. 10 乙每天加工零件的个数分别为:11,17,19,21,22,24,24,30,30,32,所求平均数为:

x 乙= ×(11+17+19+21+22+24+24+30+30+32)=23.
【答案】 24 23

1 10

茎叶图与平均数相结合的问题,关键是识别茎叶图的意义.在一般情况下,要计算一组 数据的平均数可使用平均数计算公式; 当数据较大, 且大部分数据在某一常数 a 左右波动时, 可建立一组新的数据?各个数据减去 a?,再利用平均数简化公式计算,应用此法可减少运 算量.

[再练一题] 1.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动), 该校合 唱团共有 100 名学生, 他们参加活动的次数统计如图 2?2?21 所示.求合唱团学生参加活动的 人均次数.

图 2?2?21 【解】 由图可知,该合唱团学生参加的人均次数为 10×1+50×2+40×3 =2.3. 100

方差和标准差 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件,为检验质量,从中抽 取 6 件测量数据为: 甲:99 100 98 100 100 103

乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定. 【精彩点拨】

3

1 【尝试解答】 (1) x 甲= [99+100+98+100+100+103]=100, 6

x 乙= [99+100+102+99+100+100]=100,
2 2 2 2 2 s2 甲 = [(99 - 100) + (100 - 100) + (98 - 100) + (100 - 100) + (100 - 100) + (103 -

1 6

1 6

7 2 100) ]= , 3
2 2 2 2 2 s2 乙 = [(99 - 100) + (100 - 100) + (102 - 100) + (99 - 100) + (100 - 100) + (100 -

1 6

100) ]=1. (2)由(1)知 x 甲= x 乙,比较它们的方差,∵s甲>s乙,故乙机床加工零件的质量更稳定.
2 2

2

1.在实际问题中, 仅靠平均数不能完全反映问题, 还要研究其偏离平均值的离散程度(即 方差或标准差),方差大说明取值分散性大,方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定. 2.关于统计的有关性质及规律: (1)若 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,那么 mx1+a,mx2+a,?,mxn+a 的平均数是 m x +a; (2)数据 x1,x2,?,xn 与数据 x1+a,x2+a,?,xn+a 的方差相等; (3)若 x1,x2,?,xn 的方差为 s ,那么 ax1,ax2,?,axn 的方差为 a s .
2 2 2

[再练一题] 2.某校高二年级在一次数学选拔赛中,由于甲、乙两人的竞赛成绩相同,从而决定根据 平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如下: 甲 乙 127 133 138 129 130 138 137 134 135 128 131 136

求两人比赛成绩的平均数以及方差, 并且分析成绩的稳定性, 从中选出一位参加数学竞 赛. 【解】 设甲、乙两人成绩的平均数分别为 x 甲, x 乙,

4

1 则 x 甲=130+ (-3+8+0+7+5+1)=133, 6

x 乙=130+ (3-1+8+4-2+6)=133,
2 2 2 2 2 2 s2 , 甲= [(-6) +5 +(-3) +4 +2 +(-2) ]=

1 6

1 6 1 6

47 3

2 2 2 2 2 2 s2 . 乙= [0 +(-4) +5 +1 +(-5) +3 ]=

38 3

因此,甲与乙的平均数相同,由于乙的方差较小,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,应该 选乙参加竞赛比较合适. 频率分布直方图与数字特征的综合应用 已知一组数据: 125 126 121 123 125 127 129 125 128 124 125 127 126 122 124 125 130 129 126 128

(1)填写下面的频率分布表: 分组 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5] 合计 (2)作出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 【精彩点拨】 将数据分组后依次填写分布表.然后画出直方图,最后根据数字特征在 直方图中的求法求解. 【尝试解答】 (1) 分组 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) 频数累计 频数 2 3 8 4 频率 0.1 0.15 0.4 0.2 频数累计 频数 频率

5

[128.5,130.5] 合计 (2)

3 20

0.15 1

(3)在[124.5,126.5)中的数据最多, 取这个区间的中点值作为众数的近似值, 得众数为 5 125.5,事实上,众数的精确值为 125.图中虚线对应的数据是 124.5+2× =125.75,事实 8 - 上中位数为 125.5.使用“组中值”求平均数: x =121.5×0.1+123.5×0.15+125.5×0.4 - +127.5×0.2+129.5×0.15=125.8,事实上平均数的精确值为 x =125.75.

1.利用频率分布直方图求数字特征: (1)众数是最高的矩形的底边的中点; (2)中位数左右两侧直方图的面积相等; (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 2.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但 它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.

[再练一题] 3.某中学举行电脑知识竞赛, 现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组, 绘制成如 图 2?2?22 所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率 分别是 0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求:

图 2?2?22 (1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数;

6

(2)高一参赛学生的平均成绩. 【解】 (1)由题图可知众数为 65, 又∵第一个小矩形的面积为 0.3, ∴设中位数为 60+x,则 0.3+x×0.04=0.5,得 x=5, ∴中位数为 60+5=65. (2)依题意,平均成绩为: 55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67, ∴平均成绩约为 67. [探究共研型] 平均数、中位数、众数的特征 探究 1 一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗? 【提示】 一组数据的平均数、中位数都是唯一的,众数不唯一,可以有一个,也可以 有多个,还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同,并且比其他数据出现的次数都多, 那么这两个数据都是这组数据的众数. 探究 2 如何从样本的数字特征中了解数据中是否存在极端数据? 【提示】 中位数不受几个极端数据的影响,而平均数受每个数据的影响,“越离群” 的数据,对平均数的影响越大,因此如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多 较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样 本中位数和样本平均数,可以了解样本数据中极端数据的信息. 探究 3 众数、中位数有哪些应用? 【提示】 (1)众数只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据重复出 现时,众数往往更能反映问题. (2)中位数仅与数据的排列位置有关,中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据 中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势. 方差、标准差的特征 探究 4 从数据的哪些数字特征可以得到数据的离散程度? 【提示】 (1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述,极差反映了一组 数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值极为敏感,一般情况下,极差大,则数据波 动性大;极差小,则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值,便于计算,但没有考虑中间 的数据,可靠性较差. (2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小,方差、标准差的运算量较 大.因为方差与原始数据单位不同,且平方后可能夸大了偏差程度,所以虽然标准差与方差 在体现数据离散程度上是一样的,但解决问题时一般用标准差.

7

样本的数字特征 探究 5 样本的数字特征具有哪些性质? 【提示】 (1)样本的数字特征具有随机性,这种随机性是由样本的随机性引起的. (2)样本的数字特征具有规律性, 在很广泛的条件下, 简单随机样本的数字特征(如众数、 中位数、 平均数和标准差等)随样本容量的增加而稳定于总体相应的数字特征(总体的数字特 征是一定的,不存在随机性). 某班 4 个小组的人数为 10,10,x,8,已知该组数据的中位数与平均数相等,求 这组数据的中位数. 【精彩点拨】 x 的大小未知,可根据 x 的取值不同分别求中位数. 1 【尝试解答】 该组数据的平均数为 (x+28),中位数一定是其中两个数的平均数,由 4 于 x 不知是多少,所以要分几种情况讨论: 1 (1)当 x≤8 时,原数据按从小到大的顺序排列为 x,8,10,10,其中位数为 ×(10+8)= 2 1 9. 若 (x+28)=9,则 x=8,此时中位数为 9. 4 1 (2)当 8<x≤10 时, 原数据按从小到大的顺序排列为 8, x,10,10, 其中位数为 (x+10). 2 1 1 若 (x+28)= (x+10),则 x=8,而 8 不在 8<x≤10 的范围内,所以舍去. 4 2 1 (3)当 x>10 时,原数据按从小到大的顺序排列为 8,10,10,x,其中位数为 ×(10+10) 2 1 =10.若 (x+28)=10,则 x=12,此时中位数为 10. 4 综上所述,这组数据的中位数为 9 或 10.

当在数据中含有未知数 x,求该组数据的中位数时,由于 x 的取值不同,所以数据由小 到大?或由大到小?排列的顺序不同,由于条件的变化,问题的结果有多种情况,不能用同 一标准或同一种方法解决,故需分情况讨论,讨论时要做到全面合理,不重不漏.

[再练一题] 4.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数, 从全校随机抽取 5 个班级, 把每个班级 参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7, 样本方差为 4, 且样本数据互不相同, 则样本数据中的最大值为______________. 【解析】 设 5 个班级中参加的人数分别为 x1, x2, x3, x4, x5, 则由题意知

x1+x2+x3+x4+x5
5
8

=7,(x1-7) +(x2-7) +(x3-7) +(x4-7) +(x5-7) =20,五个整数的平方和为 20,则 必为 0+1+1+9+9=20, 由|x-7|=3 可得 x=10 或 x=4.由|x-7|=1 可得 x=8 或 x=6, 由上可知参加的人数分别为 4,6,7,8,10,故最大值为 10. 【答案】 10

2

2

2

2

2

1.样本 101,98,102,100,99 的标准差为( A. 2 B.0 C.1 D.2
2

)

【解析】 样本平均数 x =100,方差为 s =2, ∴标准差 s= 2,故选 A. 【答案】 A 2.甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图 2?2?23 所示.

图 2?2?23 ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学高; ③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( A.③④ B.①②④ ) C.②④ D.①③

1 【解析】 甲的中位数 81, 乙的中位数 87.5, 故①错, 排除 B、 D; 甲的平均分 x = (76 6 1 +72+80+82+86+90)=81,乙的平均分 x′ = (69+78+87+88+92+96)=85,故② 6 错,③对,排除 C,故选 A. 【答案】 A 3.甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数 x 及其方差 s 如下表所示,则 选送决赛的最佳人选应是( ) 甲 乙 8 丙 8 丁 7
2

x

7

9

s2
A.甲 B.乙 C.丙

6.3 D.丁

6.3

7

8.7

【解析】 ∵ x 乙= x 丙> x 甲= x 丁,且 s甲=s乙<s丙<s丁, ∴应选择乙进入决赛. 【答案】 B 4.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数 量得到频率分布直方图如图 2?2?24,则

2

2

2

2

图 2?2?24 (1)这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________. (2)这 20 名工人中一天生产该产品数量的中位数为________. (3)这 20 名工人中一天生产该产品数量的平均数为________. 【解析】 (1)(0.040×10+0.025×10)×20=13. (2)设中位数为 x,则 0.2+(x-55)×0.04=0.5,x=62.5. (3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64. 【答案】 (1)13 (2)62.5 (3)64

5.甲、乙两人在相同条件下各打靶 10 次,每次打靶的成绩情况如图 2?2?25 所示:

图 2?2?25 (1)填写下表: 平均数 甲 乙 7 方差 1.2 5.4 中位数 命中 9 环及以上 1 3

(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析: ①从平均数和方差结合分析偏离程度;
10

②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些; ③从平均数和命中 9 环以上的次数相结合看谁的成绩好些; ④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 1 【解】 (1)乙的射靶环数依次为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以 x 乙= (2+4+6+8+7 10 +7+8+9+9+10)=7;乙的射靶环数从小到大排列为 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以中位 7+8 数是 =7.5;甲的射靶环数从小到大排列为 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位数为 7.于 2 是填充后的表格如下表所示: 平均数 甲 乙 7 7 方差 1.2 5.4
2 2

中位数 7 7.5

命中 9 环及以上 1 3

(2)①甲、乙的平均数相同,均为 7,但 s甲<s乙,说明甲偏离平均数的程度小,而乙偏 离平均数的程度大. ②甲、乙的平均水平相同,而乙的中位数比甲大,说明乙射靶成绩比甲好. ③甲、乙的平均水平相同,而乙命中 9 环以上(包含 9 环)的次数比甲多 2 次,可知乙的 射靶成绩比甲好. ④从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波动不大,说明乙的状 态在提升,更有潜力.

11


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