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黑龙江省哈尔滨三中2012-2013学年高三上学期9月月考数学(文)试题

黑龙江省哈尔滨三中 2012—2013 学年度上学期 高三九月月考数学试卷(文科)
考试说明: (1)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分. 考试时间为 120 分钟; (2)第 I 卷,第 II 卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡.

第I卷
有一项是符合题目要求的)

(选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只

1. 已知集合 A ? { 3 , a 2 } ,集合 B ? {0 , b , 1 ? a } ,且 A ? B ? {1} ,则 A ? B ? A. { 0 , 1 , 3} B. {1 , 2 , 4} C. { 0 , 1, 2 , 3} D. { 0 , 1 , 2 , 3 , 4}

2. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为

A. 所有实数的平方都不是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 3. 已 知 函 数 y ? ?mx 取值范围是
2
x ?1
2

B.有的实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数

2

? 4x ? m ? 2

?

?

1 4

? m ? mx ? 1 的定义域为 R ,则 m 的
2

?

?

A . ( 5 ? 1, 2 )
?4

B . ( 5 ? 1, ? ? )
5)

C . (? 2, 2)

D. ( ? 1 ? 4. 设 x ? R ,则不等式的解是 A. x ? ? 3 B. ? 3 ? x ?
x?1 x?1
3

5 , ?1 ?

C. ? 2 ? x ? 2

D. x ?

3或x ? ?

3

第二节 已知函数 f ( x ) ? A. [ ? 1, 1 ]

( x ? 0 ) ,则函数 y ? f ( x ) 的值域是

B. ( ? 1, 1 ]

C. ( ? 1 , 1 )

D.以上都不对

x 6. 已知函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? x ? 1 ,则当

x ? 0 时, f ( x ) 的表达式为

A. f ( x ) ? 2 x ? x ? 1

B. f ( x ) ? 2 x ? x ? 1

C. f ( x ) ? ? 2 ? x ? x ? 1
1

D. f ( x ) ? ? 2 ? x ? x ? 1
?
3

7. 已知 a ? ? 3 , b ? lo g ? 3 , c ? lo g 3 sin A. a ? b ? c 8. 函数 f ( x ) ? ?
?

,则 a , b , c 大小关系为 C. c ? a ? b
1

B. b ? c ? a
? lo g 2 x 3
x

D. c ? a ? b

x ? 0 x ? 0

,则 f [ f ( )] ?
4 1 9
q

A. 9

B.

1 9

C. ? 9

D. ?

9. 若函数 f 可能是

? x ? ? a ? x ? 1 ? ? x ? 1 ? 在区间 ? ? 2 , 1 ? 上的图像如图所示,则 p , q 的值
p

y

1
?2

A. p ? 2, q ? 2 B. p ? 2 , q ? 1 C. p ? 3 , q ? 2 D. p ? 1, q ? 1

?1
o

3

1

x

10. 关于 x 的方程 x 2 ? ( m ? 3 ) x ? m ? 0 在 ( 0 , 2 ) 内有两个不相等实数根,则 m 的取值 范围是 A.
2 3 ? m ?1

B.

2 3

? m ?1

C. 1 ? m ? 3

D. m ? 1 或 m ? 9

11. 已知函数 y ? f ( x ? 1) 为奇函数,若 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 图象关于 y ? x 对称, 若 x 1 ? x 2 ? 0 ,则 g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ? A. 2 12. 若函数 f ( x ) ?
x 1? x
2

B. ? 2 ,记 f
(2)

C. 1
( x ) ? f ( f ( x )) , f
(3)

D. ? 1
( x ) ? f ( f ( f ( x ))) ?

f

(n)

( x ) ? f ( f (? f ( x ) ? )) ( n ? 2 , n ? N ) ,则 f
1

( 30 )

(2) ?

A.

10

B.

2 11

C.

3 10

D.

4 11

第Ⅱ卷
1 3

(非选择题, 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13. 函数 f ( x ) ?
x ? 2 x ? 3 x ? 1 的单调递增区间为_____________________.
3 2

14. 已知 p : ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ; q :

1 2

? x ?

2 3

,若 q 是 p 的充分不必要条件,

则实数 m 的取值范围是___________________ 15. 已知 f ( x ) ? 2 x ( x ? R ) 可以表示为一个奇函数 g ( x ) 与一个偶函数 h ( x ) 之和,则
g ( x )? h ( x? ____________________ )
? lo g 2 ? x ? 2 ? ( x ? 0 ) x ? ?1? 16. 已知函数 f ( x ) ? ? 1 ,若方程 f ( x ) ? ? ? ? a 有两个不同实 f ? x ? 1? ( x ? 0) ?2? ? ? 2

根, 则实数 a 的取值范围是____________________________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本大题 10 分) 已知集合 A ? ? x x ? 5 x ? 6 ? 0 , x ? R ? , B ?
2

?y

y ?

? x ? 2 x ? 15 ,
2

?

C ?

?x

a ? x ? a ? 1, x ? R ? ,求实数 a 的取值范围,使得 ? A ? B ? ? C ? ? 成立.

18.(本大题 12 分)

设a ? 0 , f

?

x? ?

2

x

?

a 2
x

是 R 上的偶函数.

a

(Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 证明: f

? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上是增函数.

19. (本大题 12 分) 某出版社新出版一本高考复习用书,该书的成本为 5 元一本,经销过程中每本书需 付给代理商 m 元 (1 ? m ? 3 ) 的劳务费,经出版社研究决定,新书投放市场后定价为
x 元一本, ( 9 ? x ? 11 ) ,预计一年的销售量为 ( 2 0 ? x ) 2 万本.

(Ⅰ)求该出版社一年的利润 L (万元)与每本书的定价 x 的函数关系式; (Ⅱ)若 m ? 2 时,当每本书的定价为多少元时,该出版社一年利润 L 最大,并求出 L 的最大值.

20. (本大题 12 分) 已知奇函数 f ( x ) 满足:当 x ? 0 时, f ( x ) ?
1 xe
x

.

(Ⅰ)求 f ( x ) 在 x ? (0, ? ? ) 上的单调区间与极值点;

(Ⅱ)若方程在 (0, ? ? ) 上有两个不相同实根,求 a 的取值 范围.

21. (本大题 12 分) 已知函数 f ( x ) ? lo g a ( x ? (Ⅰ)判断 f ( x ) 奇偶性; (Ⅱ)若 g ( x ) 图象与曲线 y ? f ( x ) ( x ? 义域; (Ⅲ)若 g ( n ) ?
5 ?5
n ?n

2 1 ? x ) ( x ? R , a ? 0 , a ? 1) .

3 4

) 关于 y ? x 对称,求 g ( x ) 的解析式及定

2

对于任意的 n ? N * 恒成立,求 a 的取值范围.

22. ( 本

e

x

? ? x ? 2 x ? ax ? 3
3 2

大题 12 分)
1 1 x x ) ln x .

已知函数 f ( x ) 定义域为 ( 0 , ? ? ) ,且满足 2 f ( x ) ? f ( ) ? ( 2 x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 解析式及最小值;
x ? f (x) xe
x

(Ⅱ)设 g ( x ) ?

2 , h ( x ) ? ( x ? x ) g ? ( x ) ,求证: ? x ? ( 0 , ? ? ) , h ( x ) ?

4 3

.

文科答案
选择题:CDBDC CABBB AB 填空题:13 ( ? ? , 1), ( 3, ? ? ) 14 ?
1 3 1 4 ? m ? 3 2 1 2

15

(2

2x

?2

?2 x

)

16 ? 1 ? a ? ?

解答题: 17. a ? 4 或 a ? ? 4 或 ? 2 ? a ? ? 1 18. (1) a ? 1 (2)证明略 19.(1) L ? ( x ? 5 ? m )( 20 ? x ) 2 (2) Lm ax ? f (11) ? 324 20. (1) (0, 1) 递减; (1, ? ? ) 递增, x ? 1 是极小值点;

(2)方程等价于函数 y ? 易知 a ? e ? 4

e

x

与函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? a ? 3 的图象有两个不同交点,

x

21. (1)奇函数 (2) g ( x ) ?
1 2
x ? ( ? ? , lo g a 2 ]

(a ? a
x

?x

) ,当 a ? 1 时, x ? [lo g a 2 , ? ? ) ;当 0 ? a ? 1 时,

(3)当 0 ? a ? 1 时, lo g a 2 ? 0 ,故此时定义域中无正整数 当 a ? 1 时,需所有正整数在定义域中,故 lo g a 2 ? 1 ,即 a ? 2 再利用 g ( x ) 单调性可知, a ? 5 ,故所求 a 范围是 2 ? a ? 5

22. (1) f ( x ) ? x ln x , f m in ( x ) ? f ( ) ? ?
e 1 ? ln x e x?1 e
x x

1

1 e

(2) g ( x ) ?

, g ?( x ) ?

1 ? x ? x ln x xe
x

故 h( x ) ?

(1 ? x ? x ln x ) ,令 p ( x ) ? 1 ? x ? x ln x

求导易知 p ( x ) 最大值为 1 ?

1 e
2

,而 1 ?

1 e
2

?

4 3

,且

x?1 e
x

? 1 (求导可知)

故 h( x ) ?

x?1 4 4 ? ? x e 3 3


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