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【精品】第02讲 初等数论-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 02 讲:初等数论 1、 (2010 一试 8)方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解 ( x , y , z ) 的个数是. 【答案】336675 易知 1 ? 3 ? 1003 ? 6 k ? 2009 ? 1004 ,所以 6 k ? 2009 ? 1004 ? 3 ? 1003 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2009 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2004 ,即 k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671 . 从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为 1 ? 1003 ? 335671 ? 336675 . 2、 (2011 一试 8)已知 a 【答案】15 200 ? n n ? C n 200 ? ? 6? 3 200 ? n ? 1 ? ? ( n ? 1 , 2 , ? , 95 ) ?? ? ? ? 2 ? n ,则数列 { a n } 中整数项的个数为. 400 ? 5 n 【解析】 a 要使 a 当n ? n n ? C n 200 ?3 3 ?2 6 . 200 ? n 3 , 400 ? 5 n 6 (1 ? n ? 95 ) 为整数,必有 均为整数,从而 6 | n ? 4 . 200 ? n 3 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80 时, 和 400 ? 5 n 6 均为非负整数,所以 a 为整数, n 共有 14 个. 当n ? 86 时, a 86 ? C 86 200 ?3 38 ?2 ?5 ,在 C 86 200 ? 200 ! 86 !? 114 ! 中, 200 ! 中因数 2 的个数为 , 86 200 ? 200 ? ? 200 ? ? 200 ? ? 200 ? ? 200 ? ? 200 ? ? 200 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? 5 ? ? ? 6 ? ? ? 7 ? ? 197 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 同理可计算得 86 ! 中因数 2 的个数为 82 , 114 ! 中因数 2 的个数为 110 ,所以 C 197 ? 82 ? 110 ? 5 中因数 2 的个数为 ,故 a 是整数. 86 当n ? 92 时, a 92 ? C 92 200 ?3 36 ?2 ? 10 ,在 C 92 200 ? 200 ! 92 !? 108 ! 中,同样可求得 92 ! 中因数 2 的个数为 88, 108 ! 中因数 2 的个 ,故 a 不是整数. 92 数为 105,故 C 86 200 中因数 2 的个数为 197 ? 1 ? 15 ? 88 ? 105 ? 4 因此,整数项的个数为 14 . 1 3、 (2015 一试 8)对四位数 a b c d (1 ? a ? 9 , 0 ? b , c , d ? 9 ) ,若 a ? b , b ? c , c ? d ,则称 a b c d 为 P 类数,若 a ? b , b ? c , c ? d , 则 称 a b c d为 Q 类 数 , 用 N ( P ) 与 N (Q ) 分 别 表 示 P 类 数 与 Q 类 数 的 个 数 , 则 N ( P ) ? N ( Q ) 的值为 【答案】285 故 d c b a ? B .反 之 , 每 个 d c b a ? B 唯 一 对 应 于 A1中 的 元 素 a b c d .这 建 立 了 A1与 B 之 间 的 一 一 对 应 , 因 此 有 N ( P ) ? N ( Q ) ? | A | ? | B | ? | A 0 | ? | A1 | ? | B | ? | A 0 | . 下 面 计 算 | A 0 |: 对 任 一 四 位 数 a b c 0 ? A 0 , b 可 取 0 ,1, ? ? ? ,, 9 对 其 中 每 个 b, 9 9 2 由 b ? a ? 9 及 b ? c ? 9 知 , a 和 c 分 别 有 9 - b 种 取 法 , 从 而 | A 0 |= ? ( 9 ? b ) b?0 ? ? k ?1 k 2 ? 9 ? 10 ? 19 6 ? 285. 因 此 , N ( P ) ? N (Q ) ? 2 8 5 . 学科@网 4、 (2016 一试 8)设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是 1,2,…,100 中的 4 个互不相同的数,满足 ( a 1 ? a 2 ? a 3 )( a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? ( a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? a 3 a 4 ) 1 2 2 2 2 2 2 则 这 样 的 有 序 数 组 (a1 , a 2 , a 3 , a 4 ) 的 个 数 为 【答案】40 . 1 2 2 2 2 2 2 【解析】由柯西不等式知, ( a 1 ? a 2 ? a 3 )( a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? ( a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? a 3 a 4 ) ,等号成立的充分必要 条件是 a1 a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ,即 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列 . 于是问题等价于计算满足 { a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } ? {1,2,3, n m … 且 q 为有理数.记 q ? ,100} 的等比数列 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 的个数.设等比数列的 公比 q ? 1 , 的正

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