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2000年全国高中数学联赛试题及详细解析


2000 年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且仅有一个是正 确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出 的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1.设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ≤0},B={x| 10 x (A) {2} ( B) {?1}
2

?2

= 10 x },则 A ? B 是 (D)


?



(C) {x|x≤2}

2.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二 2 次方程 bx ?2ax+c=0 ( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 3.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y ? (A)
34 170

5 4 x ? 的距离中的最小值是 3 5
(D)

(B)

34 85
3 7 9

(C)

1 20

1 ( 30


) )

4.设 ? ? cos

,则以?,? ,? ,? 为根的方程是 5 5 4 3 2 4 3 2 (A) x +x +x +x+1=0 (B) x ?x +x ?x+1=0 4 3 2 4 3 2 (C) x ?x ?x +x+1=0 (D) x +x +x ?x?1=0

?

? i sin

?

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直 接将答案写在横线上。 5.arcsin(sin2000?)=__________. 6.设

an 是 (3?

x )n 的 展 开 式 中

x

项 的 系 数 (n=2,3,4, … ) , 则

n??

lim(

3 2 33 3n ? ??? )=________. a 2 a3 an
x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)中,记左焦 点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若 a2 b2

7.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. 8. 在椭圆

1

该椭圆的离心率是

5 ?1 ,则∠ABF=_________. 2

【加试】 (10 月 15 日上午 10∶00-12∶00) 一. (本题满分 50 分) 如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥ AC(M、N 是垂足) ,延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D.证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等. A

M N B E F C

二. (本题满分 50 分) 设数列{a n}和{b n }满足,且

D

?an?1 ? 7an ? 6bn ? 3 n ? 0,1,2,? ? ?bn?1 ? 8an ? 7bn ? 4
证明 a n(n=0,1,2,…)是完全平方数.

2

三. (本题满分 50 分) 有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n-2 个人之间通电 k 话的次数相等,都是 3 次,其中 k 是自然数,求 n 的所有可能值.

2000 年全国高中数学联合竞赛试题答案 1.【答案】D 【解析】由 x ? 2 ? 2 得 x=2,故 A={2};由 10 2}.所以 A ? B =φ .
x 2 ?2

? 10x 得 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,故 B={-1,

3

3. 【答案】C 【解析】如图所示,设 BD=t,则 OD= 3 t-1,从而 B( 3 t-1,t) 满足方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,可以得到 t= 3 ,所以等边三角形,Δ ABC 的面积是 3 3 .

4. 【答案】 A 【 解 析 】 由 题 意 知 pq=a
2

, 2b=p+c,2c=q+b

? b?

c?

p ? 2q 2 p ? q p ? 2q 2 2 2 2 ≥ 3 p q ? 3 pq =pq=a .因为 p≠q,故 bc> a ,方程 ?bc= 3 3 3
2

2p ? q 3



的判别式Δ = 4a -4bc<0,因此,方程无实数根. 5. 【答案】B 【解析】设整点坐标(m,n),则它到直线 25x-15y+12=0 的距离为

d?

25m ? 15n ? 12 252 ? (?15) 2

?

5(5m ? 3n) ? 12 5 34

由于 m,n∈Z,故 5(5m-3n)是 5 的倍数,只有当 m=n=-1,时 5(5m-3n)=-10 与 12 的和的 绝对值最小,其值为 2,从而所求的最小值为

34 . 85

4

二、填空题(满分 54 分,每小题 9 分) 7. 【答案】-20° 【解析】sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20° 故 a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= - a rcsin(sin20°)= -20° 8. 【答案】18
2 【解析】由二项式定理知, an ? Cn ? 3n?2 ,因此

3n 32 ? 2 1? ? 1 ? ? 18? ? ? an n(n ? 1) ? n ?1 n ?

lim
n ??

? 3 2 33 3n ? ? ? ? ? ?a an ? 2 a3

? ? 1? ? ? = lim 18?1 ? n ? =18. ? ? n ?? ?

5

1 1. 【答案】

2 3 ?a 24

12. 【答案】28 【解析】 abcd 中恰有 2 个不中数字时,能组成 C 4 = 6 个不中数字
1 1 1 1 abcd 中恰有 3 个不中数字时,能组成 C 1 3 C 2 C 2 + C 2 C 2 =1 2+4=16 个不中数字 2

abcd 中恰有 4 个不中数字时,能组成 P 3 3 =6 个不中数字

6

所以,符合要求的数字共有 6+16+6=28 个

14. 【答案】所求区间为[1,3]或[-2- 17 【解析】 化三种情况讨论区间[a,b].

13 ]. 4

(1) 若 0 ? a<b, 则 f (x)在[ a, b ] 上单调递减,故 f(a) =2b, f(b)=2a 于是有

1 2 13 ? ?2b ? ? 2 a ? 2 ,解之得[ a, b ] = [ 1, 3 ], ? 1 2 13 ?2 a ? ? b ? 2 2 ?
(2)若 a <0 <b, f (x)在[ a, b ] 上单调递增,在[0,b] 上单调递减,, 因此 f (x)在 x=0 处取最大值 2b 在 x=a 或 x=b 处取最小值

13 13 ,b= .由于 a<0, 2 4 1 13 2 13 39 ?0 又 f(b)=- ( ) + = 2 4 2 32
2a.故 2b=

(2) 当 a<b ? 0 时,f(x)在[a,b] 上单调递增,故 f(a)=2a, f(b)=2b,

1 2 13 a + , 2 2 13 解得 a=-2- 17 ;于是得 [a,b]=[-2- 17 , ]. 4
故 f(x)在 x=a 处取最小值 2a,即 2a=

1 2 13 1 13 a + ,2b=- a 2 + . 2 2 2 2 1 2 13 由于方程 x +2x=0 的两根异号,故满足 a ? b ? 0 的区间不存在. 2 2 13 综上所述,所求区间为[1,3]或[-2- 17 ]. 4
即 2a=2

1 1 15. 【答案】所求条件为 2 + 2 =1. a b
R
-2

Q

P O
2

S 第15题(必要性) 7
-2

又在 Rt△POQ 中,设点 O 到 PQ 的距离为 h,则

1 1 1 = + =1,故得 h=1 2 h OP OQ 2

同理,点 O 到 QR,RS,SP 的距离也为 1,故菱形 PQRS 与 C0 外切.充分性得证. [注]对于给出 a ? b ? a b
2 2 2 2



ab a ? b2
2

=1 等条件者,应同样给分.

8

2000 年全国高中数学联合竞赛试卷答案 加试

二. 【解析】 [证法一]: 由假设得 a1=4, b1=4 且当 n ? 1 时 (2an+1-1) + 3bn?1 =(14an+12bn-7)+ 3 (8an+7bn-4) =[(2an-1)+ 3bn ](7+4 3 ) 依次类推可得(2an-1)+ 3bn = (7+ 4 3) n?1 (2a1 -1+ 3b1 )=(7+4 3 ) n 同理(2an-1+ )- 3bn =(7+4 3 ) n 从而 an= 由于 7 ? 4 3 =(2 ? 由二项式展开得 c =

1 1 1 (7+4 3 ) n + (7+4 3 ) n + . 2 4 4 1 1 3 ) 2 ,所以 an =[ (2+ 3 ) n + (2- 3 ) n ] 2 2 2

n

1 1 n n?2k k 2k (2+ 3 ) n + (2- 3 ) = ? C n 3 2 , 2 2 0? 2 k ? n

显然 Cn 为整数,于是 an 为完全平方数. [证法二]:由已知得 an+1=7an+6bn-3=7an+6(8an-1+7bn-1-4)-3=7an+48an-1+42bn-1-27 , 由 an=7an-1+6bn-1-3 ,得 42bn-1=7an-49an-1+21 , 从而 an+1=7an+48an-1+7an-49an-1+21-27=14an-an-1-6 . 也就是 an+1=14an-an-1-6 . 设(an+1-kan+t)=p(an-kan-1+t) ……①②③④

9

? p ? k ? 14 ? 则有 ? pk ? 1 ?t (1 ? p ) ? 6 ?

?k ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 2 ?k ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 2 ? ? 2 2 ? ? 解得 ? p ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 或 ? p ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 ?t ? 3 ? 2 3 ?t ? 3 ? 2 3 ? ? ? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

三. 【解析】显然 n ? 5. 记 n 个人为 A1,A2, AN , 设 A1 通话的次数为 m1, Ai 与 Aj 之间通话的数为 yij, l ? i, j ? n .则

m

i

+m

j

– y

i . j

1 n = ms - 3k = c . ? 2 s ?1

(*)

其中 c 是常数 ,l ? i, j ? n . 根据(*)知, mi ? m j ? ( mi ? m s ) ? ( m j ? m s ) = y i .s ? y j .s ? 1 , l ? i, j ? n .

? mi ? m j ? 1 ,

l ? i, j ? n

设 mi =max{ms ,1 ? s ? n. } ,m j = min{ms,1 ? s ? n.} , 则 m i +m j ? 1. 若 m i +m j=1 ,则对于任意 s ? i, j , 1 ? s ? n , 都有(m i +ms-y I ,s)- (m j +ms-y I ,s)=1-(y I ,s – y 故 y I ,s =1 , y j ,s = 0 . s ? i, j, 1 ? s ? n ,
j ,s

)=0 ,

即 y

I ,s

– y

j ,s

= 1

因此 mi ? n -2 , m j ? 1 . 于是 ,m i +m j ? n -3 ? 2 . 出现矛盾 ,故 m i +m j=0 ,即 ms(1 ? s ? n)恒为常数 。 根据 (*)知,y I ,j = 0 或 y I ,j = 1 。 若 y I ,j = 0 ,则 ms=0 , 1 ? s ? n 。与已知条件矛盾 。

10

因此 ,y

I ,s

=1 ? ms=n-1 , 1 ? s ? n . 所以 即 ( n-2)(n-3)=2 ? 3
k

1 k n(n-1)-(2n-3)= 3 , 2

.

11


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