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【高优指导】2017高考数学一轮复习 第十二章 概率 12.4 二项分布与正态分布 理 北师大版课件_图文

12.4

二项分布与正态分布

-2-

考纲要求:1.了解条件概率的概念,了解两个事件相互独立的概念; 理解n次独立重复试验模型及二项分布,并能解决一些简单问题. 2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

-3-

1.条件概率及其性质

条件概率的定义 设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)=
P (AB ) P (A )

条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1 为在 (2)若 B,C 是两个互斥事件,则 P(B+C|A)=P(B|A)+P(C|A)

事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率

在古典概型中,若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含 的基本事件的个数,则 P(B|A)=() .
()

-4-

2.事件的相互独立性 (1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事 件B相互独立. (2)性质:①若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A), P(AB)=P(A)P(B).

②如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与, 与 B,与也相互独
立.

-5-

3.独立重复试验与二项分布 进行n次试验,如果满足以下条件: (1)每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和 “失败”; (2)每次试验“成功”的概率均为p,“失败”的概率均为1-p; (3)各次试验是相互独立的. 用X表示这n次试验中成功的次数,则 k n-k C P(X=k)=______________ (k=0,1,2,…,n). p (1-p) 若一个随机变量X的分布列如上所述,称X服从参数为n,p的二项 分布,简记为X~B(n,p).

-6-

4.正态分布 (1)正态曲线:正态分布的分布密度函数为:f(x)=
(-)2 22 1 exp 2π

-

,-∞<x<∞,其中 exp{g(x)}=eg(x),实数 μ 和 σ(σ>0)为参数.我们称

函数 f(x)的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的特点 ①曲线在x轴的上方,与x轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; 1 ③曲线在x=μ处达到峰值 2π ; ④曲线与x轴之间的面积为1; ⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移; ⑥μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越 分散;σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中.

-7-

(3)正态分布的定义及表示:如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量 X满足 P(a<X≤b)= f(x)dx ,则称随机变量X服从正态分布,记作 X~N(μ,σ2).

-8-

1 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)条件概率一定不等于它的非条件概率. ( × ) (2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. ( × ) (3)相互独立事件就是互斥事件. ( × ) (4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B). ( ) (5)X服从正态分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中参数μ和σ2分别表 示正态分布的均值和方差. ( )

-9-

1 2 3 4 5

2.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球,不放回地依次从中摸 出两个小球,则在第一次摸得红球的条件下,第二次仍是红球的概 率为( )

A.

3 8

B.

2 7

C.

2 8

D.

3 7

关闭

第一次摸出红球,还剩 2 红 5 黑共 7 个小球,所以再摸到红球的概率 2 为 .
7
关闭

B
解析 答案

-10-

1 2 3 4 5

3.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才 能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是 否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36D.0.312

关闭

由条件知该同学通过测试,即 3 次投篮投中 2 次或投中 3 次. 2 3 故 P=C3 0.62(1- 0.6)+C3 0.63=0.648.
关闭

A
解析 答案

-11-

1 2 3 4 5

4.(2015山东,理8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态 分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 ( ) 关闭 (附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ2 由正态分布 N (0,3 )可知 ξσ<ξ<μ+ 落在 (3,6) 内的概率为 σ<ξ<μ+σ)=68.26%, P(μ-,2 2σ )=95.44%.) ( -2 < < +2 )- ( - < < + ) A.4.56% 2 B.13.59% C.27.18%D.31.74%
=
95.44%-68.26% 2

=13.59% .

关闭

B
解析 答案

-12-

1 2 3 4 5

5.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1 张,已知第1次抽到A,则第2次也抽到A的概率为 . 关闭
(方法一 )由于第一次抽到 A,则第二次抽牌时 ,还有 3 张 A,共 51 张牌 , 3 而每张牌被抽到的概率是相等的,故第二次也抽到 A 的概率为 =
1 17 51

.

(方法二 )设第一次抽到 A 为事件 B,第二次都抽到 A 为事件 C,在第 1 () 4×3 次抽到 A 的条件下第 2 次也抽到 A 的概率为 P(C|B)= = =
3 51

=

1 17

()

4×51

.
C2 4 C2 52 4 52

(方法三 )设第一次抽到 A 为事件 B,第二次都抽到 A 为事件 C,
1 由题意 ,得 17

P(C|B)=

() ()

=

=

4×3 52×51

×

52 4

=

1 17

.
解析

关闭

答案

-13-

1 2 3 4 5

自测点评 1.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两个事件相互独 立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,两个 事件相互独立不一定互斥. 2.在古典概型中,A发生的条件下B发生的条件概率公式为

P(B|A)=

() () = . () ()

3.P(A· B)=P(A)· P(B)只有在事件A,B相互独立时,公式才成立,此时 P(B)=P(B|A). 4.判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点: (1)是否为n次独立重复试验.在每次试验中事件A发生的概率是 否均为p; (2)随机变量是不是在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.

-14考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

考点1条件概率 例1(1)(2015云南丽江高三检测)把一枚硬币连续抛两次,记“第 一次出现正面”为事件A,“第二次出现反面”为事件B,则P(B|A)等于 ( )

A.

1 2

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 8

关闭

由古典概型知 P(A)= ,P(AB)= ,则由条件概率知 P(B|A)=
2 4 1 2 A

1

1

( ) ()

=

1 4 1 2

=
关闭

.

解析

答案

-15考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为 偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于( )

A.

1 8

B.

1 4

C.

2 5

D.

1 2

关闭

(方法一)P(A)=

2 C2 3 +C 2

C2 5

=

4 10

= ,P(AB)=
5 ()

2

C2 2 C2 5

=

1 10

.
1 4

由条件概率计算公式,得 P(B|A)=

( )

=

2 2 (方法二)n(A)=C3 + C2 =4,n(AB)=1, ( ) 1 ∴ = . B P(B|A)= () 4

1 10 4 10

= .
关闭

解析

答案

-16考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

思考:求条件概率有哪些基本的方法? 解题心得:求条件概率的基本方法有两个: () (1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由 P(B|A)= ,求P(B|A); () (2)基本事件法:借古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件 () 数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得 P(B|A)= .
()

-17考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

对点训练1 (1)已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5 个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从 2号箱随机取出一球,则两次都取到红球的概率是( )
11 A. 27 11 B. 24 8 C. 27 9 D. 24

关闭

设从 1 号箱取到红球为事件 A,从 2 号箱取到红球为事件 B. 4 2 3+1 4 由题意,P(A)= = ,P(B|A)= = ,
2+4 3

所以 P(AB)=P(A)· P(B|A)= × =
3 9 8 27

2

8+1 9 4 8 27

,

关闭

C 所以两次都取到红球的概率为 .
解析 答案

-18考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

(2)盒中有红球5个,蓝球11个,其中红球中有2个玻璃球,3个木质球; 蓝球中有4个玻璃球,7个木质球,现从中任取一球,假设每个球被摸 到的可能性相同.若已知取到的球是玻璃球,则它是蓝球的概率 为 .
关闭

记 “取到蓝球”为事件 A,“取到玻璃球”为事件 B,则已知取到的球为玻 璃球,它是蓝球的概率就是 B 发生的条件下 A 发生的条件概率,记作 P(A|B). 4 1 因为 P(AB)= = , P(B)=
3

6 16

= ,
8 ( ) ()

3

16

4

2 所以 P(A|B)=

=

1 4 3 8

= .
3

2

关闭

解析

答案

-19考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

考点2相互独立事件同时发生的概率 例2在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作 物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具 体情况如下表:

作物产量/kg 概率 作物市场价格/(元/kg) 概率

300 0.5 6 0.4

500 0.5 10 0.6

(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列; (2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利 润不少于2 000元的概率.

-20考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

解:(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价 格为6元/千克”. 由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4, ∵利润=产量×市场价格-成本, ∴X所有可能的取值为 500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000, 300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800. P(X=4 000)=P( )P( )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P(X=2 000)=P( )P(B)+P(A)P( )=(1-0.5)×0.4+ 0.5×(1- 0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 所以 X 的分布列为

X P

4 000 0.3

2 000 0.5

800 0.2

-21考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

(2)设 Ci 表示事件 “第 i 季利润不少于 2 000 元 ”(i=1,2,3), 由题意知 C1,C2,C3 相互独立 ,由 (1)知 ,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3). 3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1) P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3 季中有 2 季利润不少于 2 000 元的概率为 P( 1 C2C3)+P(C12 C3)+P(C1C23 )=3×0.82×0.2= 0.384, 所以 ,这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0.512+0.384=0.896.

-22考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

思考:如何求复杂事件的概率?求相互独立事件同时发生的概率 有哪些常用的方法? 解题心得:1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,将 复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互 独立事件同时发生的积事件,然后求概率. 2.求相互独立事件同时发生的概率的方法: (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.

-23考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

对点训练2 甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲 机床生产的正品率是0.9,乙机床生产的正品率是0.95. (1)从甲机床生产的产品中任取3件,求其中恰有2件正品的概率 (用数字作答); 关闭 解 :(1)任取甲机床生产的 3 件产品中恰有 1 2件 件正品的概率为 (2) 从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 ,求其中至少有1 2 2 p= C × 0 . 9 ×0.( 1用数字作答 =0.243. 3 件正品的概率 ). (2)(方法一 )设 “任取甲机床生产的 1 件产品是正品 ”为事件 A,“任 取乙机床生产的 1 件产品是正品 ”为事件 B,则任取甲、乙两台机床 生产的产品各 1 件 ,其中至少有 1 件正品的概率为 P(AB)+P(A )+P(B)=0.9×0.95+0.9×0.05+0.1×0.95=0.995. (方法二 )设 “任取甲机床生产的 1 件产品是正品 ”为事件 A,“任取 乙机床生产的 1 件产品是正品 ”为事件 B,运用对立事件的概率公式 , 可知所求的概率为 1-P( )=1-0.1×0.05= 0.995.
答案

-24考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

考点3独立重复试验与二项分布 例3某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可 抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红 球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是 红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获 奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的 次数为X,求X的分布列.

-25考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

解 :(1)记事件 A1={从甲箱中摸出的 1 个球是红球},A2={从乙箱 中摸出的 1 个球是红球 },B1={顾客抽奖 1 次获一等奖 },B2={顾客抽 奖 1 次获二等奖 },C={顾客抽奖 1 次能获奖 }. 由题意 ,A1 与 A2 相互独立 ,A12 与 1 A2 互斥 ,B1 与 B2 互斥 ,且 B1=A1A2,B2=A12 + 1 A2,C=B1+B2, 4 2 5 1 因为 P(A1)= = ,P(A2)= = ,
10 5 10 2

所以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1) P(A2)= × = , P(B2)=P(A 12 + 1 A2)=P(A12 )+P(1 A2) =P(A1)P( 2 )+P(1 )P(A2) =P(A1)(1-P(A 2))+(1-P(A1))P(A2) = × 15 2 1 2 5 2 5

2

1

1

+ 1-

2 5

× = .
2 2 1 5 1 2 7 10

1

1

故所求概率为 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= + =

.

-26考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

(2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验 ,由 (1)知 ,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 ,所以 X~B 3,
5 0 于是 P(X=0)=C3 1 1 1 P(X=1)=C3 5 2 2 1 P(X=2)=C3 5 3 3 1 P(X=3)=C3 5 1 0 4 3 5 4 2 5 4 1 5 4 0 5 5 1 1

= , , .

5 64

. ,

125

= = =

48 125 12

125 1 125

故 X 的分布列为 X 0 64 P 125

1

48 125

2

12 125

3

1 125

-27考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

思考:二项分布满足的条件有哪些? 解题心得:1.依据定义“在同样条件下重复、各次之间相互独立地 进行”对独立重复试验判断即可. 2.二项分布满足的条件: (1)在每次试验中,事件发生的概率是相同的; (2)各次试验中的事件是相互独立的; (3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生; (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.

-28考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

对点训练3 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢 谢购买”字样,购买一瓶,若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖, 1 中奖概率为 6 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (2)求中奖人数X的分布列. 解 :(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A,B,C,且相互独立 , 则 A, , 相互独立 . 1 又 P(A)=P(B)=P(C)= ,
6

∴P(A · · )=P(A)P( )P( ) =6 ·

1

5 2 6

=

25 216 25

,

即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为

216

.

-29考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

(2)由 X 的可能取值为 0,1,2,3,且 X~B 3, 则 P(X=k)=C 3
1 5 3- 6 6 3 125 0 5 P(X=0)=C3 ·3= , 6 216 C1 52 25 3· 63 C2 5 3· 63 C3 3 63

1 6

,

(k=0,1,2,3).

所以

P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=

=

=

72 5

,

=

72 1

,

216

, 2 3

故中奖人数 X 的分布列为 X 0 1 125 25 P 216 72

5 72

1 216

-30考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

考点4正态分布下的概率 2 ),Y~N(μ , 2 ),这两个正态分 例4(1)(2015湖北,理4)设X~N(μ1,1 2 2 布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( ) A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t) 关闭 D.对任意正数 t,x=μ P (X ≥ t )≥ P (Y≥t) x=μ ,可知μ >μ . 由曲线 X的对称轴为 , 曲线 Y 的对称轴为 1 2 2 1
∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A错;
由图象知σ1<σ2且均为正数,

∴P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错;
对任意正数 t,由题中图象知,P(X≤t)≥P(Y≤t),故C正确,D错. C
解析

关闭

答案

-31考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

(2)(2015湖南,理7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点, 则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数 的估计值为( )

关闭

A.2 386 B.2 718 N(0,1)的密度曲线,所以 P(-1<X<1)=0.682 6, 由于曲线 C 为正态分布 C.3 413 D.4 772 由正态分布密度曲线的对称性知 P(0<X<1)=0.341 3,即图中阴影部 分的面积为 .341 .由几何概型知点落入阴影部分的概率 附:若X~N0 (μ ,σ2),3 则 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ0.341 3 P= =02 .341 3..954 因此 2σ<X≤μ+ σ)=0 4,.落入阴影部分的点的个数的估计值为 10 关闭
C ×0.341 3=3 413.故选 C. 000
解析 答案
1

-32考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

思考:如何求正态分布在某一个区间上的概率? 解题心得:解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性,把待求 区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进 行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用. (1)熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. ①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概 率相同. ②P(X≤a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).

-33考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

对点训练4 (1)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且 P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 由 P(X<4)=0.8, 得 P(X≥4)=0.2. ∵正态曲线的对称轴为直线 x=2,

关闭

P(X≤0)=P(X≥ 4)=0.2, ∴P(0<X<4)=1-P(X≤0)-P(X≥4)=0.6, D P(0<X<2)=1P(0<X<4)=0.3. ∴
2

关闭

解析

答案

-34考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

(2)(2015河北衡水质检)某班有50名学生,一次考试后数学成绩 X(X∈N)服从正态分布N(100,102),已知P(90≤X≤100)=0.3,估计该 班学生数学成绩在110分以上的人数为 .

关闭

由题意,知 P(X>110)=
10

1-2 (90≤≤100) 2

=0.2,
关闭

所以该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 0.2×50=10.

解析

答案

-35考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

1.牢记且理解事件中常见词语的含义: (1)A,B中至少有一个发生的事件为A∪B; (2)A,B都发生的事件为AB;

(3)A,B 都不发生的事件为 ; (4)A,B 恰有一个发生的事件为 A ∪ B; (5)A,B 至多一个发生的事件为 A ∪ B∪ .

-36考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

2.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算公式为 P(AB)=P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时 发生,计算公式为P(A∪B)=P(A)+P(B).两个事件相互独立不一定互 斥.

3.在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次可看做是C 个 互斥事件的和,其中每一个事件都可看做是 k 个 A 事件与(n-k)个 事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是 pk(1-p)n-k.因 k n-k 此 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为C p (1-p) .
4.若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用正态曲线的对称性 和曲线与x轴之间的面积为1.

-37考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混

1.运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件,只有 当事件A,B相互独立时,公式才成立. 2.注意恰好与至多(少)的关系,灵活运用对立事件.


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