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【数学】3.1.1 变化率问题 课件(人教A版选修1-1)_图文

人教A版选修1-1

第三章 导数及其应用 第一节 变化率问题

问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
V(r ) ? 4 3

? r 3.
3

若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V) ?

3V 4?

.

当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了
r (1) ? r (0) ? 0.62(dm),

气球的平均膨胀率为 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm/L ),
1? 0

当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了
r (2) ? r (1) ? 0.16(dm),

随着 气球体积 逐渐变大, 它的平均 膨胀率逐 渐变小

气球的平均膨胀率为

r ( 2) ? r (1) 2 ?1

? 0.16(dm/L ),

思考?
? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r (V 2 ) ? r (V 1 ) V 2 ? V1

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

v
描述其运

如果用运动员在某段时间内的平均速度 动状态, 那么: 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, 在1≤ t ≤2这段时间里,
v ? h(0.5) ? h(0) 0.5 ? 0

? 4.05(m/s );

v ?

h(2) ? h(1) 2 ?1

? ?8.2(m/s );

探 究:
计算运动员在 0 ? t ? 并思考下面的问题:
65 49

这段时间里的平均速度,

(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 , 需要用瞬时速度描述运动状态。

问题3:
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 3月18日 4月18日 4月20日 时间 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃

观察:3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化,用曲线图表示为:
T (℃) 30 20 10 A (1, 3.5)
2 0

C (34, 33.4) (注: 3月18日 为第一天) B (32, 18.6)

2

10

20

30

34

t(d)

T (℃) 30 20

C (34, 33.4)

B (32, 18.6)

10

A (1, 3.5) 10 20 30 34

2 0 2

t(d)

问题1:“气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义 是什么?(形与数两方面) 问题2:如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度?

T (℃) 30 20 10 A (1, 3.5) 2 0 2

C (34, 33.4) B (32, 18.6)

t(d) (1 )曲线上BC之间一段几乎成了“直线”,由此联想 如何量化直线的倾斜程度。

10

20

30

34

(2)由点B上升到C点,必须考察yC—yB的大小,但仅仅注意 yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度,为什么?
在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB,函数的本质在于一个 量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。

T (℃)

C (34, 33.4)

30
20 10 A (1, 3.5) 2 0 2

B (32, 18.6)

10

yC ? y B
C B

20

30

34

t(d)

(3)我们用比值 x ? x 近似地量化B、C这一段曲 线的陡峭程度,并称该比值为【32,34】上的平 均变化率 (4)分别计算气温在区间【1,32】 【32,34】的平 均变化率 现在回答问题1:“气温陡增”是一句生活用语,它的 数学意义是什么?(形与数两方面)

定义:
平均变化率:式子
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

称为函数 f (x)从x1到 x2

的平均变化率. 令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 ? ?y ?x

理解: ?y 1,式子中△x 、△ y 的值可正、可负,但 ? x 的△x值不能为0, △ y 的值可以为0 2,若函数f (x)为常函数时, △ y =0 3, 变式:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ?x

?

思考:
? 观察函数f(x)的图象
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1
y f(x2) f(x2)-f(x1) f(x1) A x O x1 x2 x2-x1

平均变化率 表示什么?

Y=f(x)

B

直线AB的斜率

随堂练习:
1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万 元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在

下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
(1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .

? 3 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( D ) A、3 B、 3Δx-(Δx)2 C 、 3-(Δx)2 D 、3-Δx ? 4、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx

5、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 : k ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x (1 ? ? x ) ? 1 ? (1 ? 1 )
2

y

?x? 0

Q

? lim

?x? 0

?x 2? x ? (? x ) ?x
2

y = x +1
?y

2

? lim

?x? 0

? 2.
P
?x

因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.

M

1

j

-1 O

1

小结:
? 1.函数的平均变化率
?y ?x ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

? 2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
?y

(2)计算平均变化率

?x

?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1


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