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高中数学压轴题系列——导数专题——函数零点或交点问题


高中数学压轴题系列——导数专题——函数零点或交点问题 头条号:延龙高中数学 微信:gyl_math123 1.已知函数 f(x)=ln(x+a)﹣x2﹣x(a∈R)在 x=0 处取得极值. (1)求实数 a 的值; (2)证明:ln(x+1)≤x2+x; (3)若关于 x 的方程 f(x)=﹣ x+b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范围. 【解答】 (1)解:f′(x)= 经过验证 a=1 时,符合题意. (2)证明: 当 a=1 时, f(x)=ln(x+1) ﹣x2﹣x,其定义域为{x|x>﹣1}.f′ (x)= 令 f′(x)=0,解得 x=0. 当 x>0 时,令 f′(x)<0,f(x)单调递减;当﹣1<x<0 时,令 f′(x)>0,f(x)单调递增. ∴f(0)为函数 f(x)在(﹣1,+∞)上的极大值即最大值. ∴f(x)≤f(0)=0,∴ln(x+1)≤x2+x,当且仅当 x=0 时取等号. (3)解:f(x)=﹣ x+b 即 ln(x+1)﹣x2+ x﹣b=0, 令 g(x)=ln(x+1)﹣x2+ x﹣b,x∈(﹣1,+∞) . 关于 x 的方程 f(x)=﹣ x+b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根?g(x)=0 在区间[0,2]上恰有 两个不同的实数根. g′(x)= ﹣2x+ = , = , ,∵在 x=0 处取得极值,∴f′(0)=0,∴ ﹣1=0,解得 a=1. 当 x∈(0,1)时,g′(x)>0,∴g(x)在(0,1)上单调递增. 当 x∈(1,2)时,g′(x)<0,∴g(x)在(0,1)上单调递减. ∴ ,∴ . 2.已知函数 f(x)= (x∈R) ,当 x=2 时 f(x)取得极值. (1)求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)若关于 x 的方程 f(x)﹣2m+1=0 在 x∈[﹣2,1]时有解,求实数 m 的取值范围. 解: (1) .∵当 x=2 时 f(x)取得极值,∴f′(2)=0,∴a=2; (2) ,由 f′(x)>0 得﹣1<x<2;由 f′(x)<0 得 x<﹣1 或 x>2, 所以函数 f(x)的增区间是(﹣1,2) ,减区间是(﹣∞,﹣1) , (2,+∞) (3)由(2)知函数 f(x)在[﹣2,﹣1)单减,在(﹣1,1]单增. 当 x∈[﹣2,1]时,fmin(x)=﹣1, ,依题意 ,所以 3. (2018?南平一模)已知函数 f(x)=lnx﹣(a+1)x,g(x)= ﹣ax+a,其中 a∈R. (1)试讨论函数 f(x)的单调性及最值; (2)若函数 F(x)=f(x)﹣g(x)不存在零点,求实数 a 的取值范围. 解: (1)f(x)=lnx﹣(a+1)x,函数的定义域是(0,+∞) ,f′(x)= ﹣(a+1)= a+1<0 即 a<﹣1 时,1﹣(a+1)x>0,故 f′(x)>0,f(x)递增,无最值, a+1≥0 即 a≥﹣1 时,令 f′(x)>0,解得:x< 故 f(x)在(0, )递增,在( ,令 f′(x)<0,解得:x> , , ,+∞)递减;故 f(x)min=f( )=﹣ln(a+1)﹣1; (2)F(x)=lnx﹣(a+1)x﹣ +ax﹣a=lnx﹣x﹣ ﹣a, F′(x)= ﹣1+ = , 令 F′(x)>0,解得:x<2,令 F′(x)<0,解得:x>2, 故 F(x)在(0,2)递增,在(2,+∞)递减, 故 F(x)max=F(2)=ln2﹣2﹣1﹣a

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