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高二数学寒假作业 4


高二数学寒假作业一 班级 姓名

足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( A. (0, 2 ] 2
2

)

B.(0,

1 ] 2

C. [ 2 ? 1 ,1) D. [
2 2

1 ,1) 2

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 ) 1. 已知全集 U ? R ,则正确表示集合 M ? {?1,0,1} 和 N ? x | x ? x ? 0 关系的图是(
2

8.已知抛物线 y =2px(p>0)与双曲线

x y 2 2 =1(a>0,b>0)有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的 a b

?

?

)

一个交点,AF⊥x 轴,若直线 L 是双曲线的一条渐近线,则直线 L 的倾斜角所在的区间可能为 ( A. ) (0, ? ) 6 B. (

2.设 p :

1 ? 1 ; q : a ? 1,则 p 是 q 的 a
D.既不充分也不必要条件 ( )
2 2

? ? ? ? ? ? , ) C. ( , ) D. ( , ) 6 4 4 3 3 2 ??? ? ??? ? ???? ? 9.设点 O 在 ?ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?AOB,?AOC,?BOC 的面积比为 ( ) A. 1:2:3 B.3:2:1 C.2:3:4 D. 4:3:2 10. 已知函数 f ( x) 的周期 T=4,且当 x ? (?1,1] 时, f ( x) ? m 1 ? x ( m ? 0) ,当 x ? (1, 3],
2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

3.直线 x+ 3y-2=0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于 A.2 5 B.2 3 C. 3 D.1

f ( x) ? 1? | x ? 2 | ,若方程 4 f ?x ? ? x 恰有 5 个实数根,则 m 的取值范围是(
A. ?



4.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足 OC =λ 1 OA +λ 2 OB (O 为 原点),其中 λ 1,λ 2∈R,且 λ 1+λ 2=1,则点 C 的轨迹是( A.直线 5. 将函数 B.椭圆 C.圆 D.双曲线 )

??? ?

??? ?

??? ?

? 15 ? 2? ? 4 ,? ? ?

B. ?1,

? 3 7? ? ? 4 ? ? ?

C.

?1,2 ?

D. ?

? 15 3 7 ? ? ? 4 , 4 ? ? ?

11.已知双曲线

f ?x ? ? 2 sin?2 x ? ? ? ? 3 的图象 F 向右平移
?
4
,则 ? 的一个可能取( C.

? , 再向上平移 3 个单位, 得到图象 F′, 6


x2 y2 x2 y2 - 2 =1 和椭圆 2 + 2 =1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以 a、b、m a2 b b m
) B.直角三角形 D.锐角或钝角三角形

若 F′的一条对称轴方程是 x ? A. ?

为边长的三角形是( A.锐角三角形 C.钝角三角形

? 6

B. ?

? 3

? 2

D.

? 3

12.中心在原点, 焦点坐标为(0, ±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标为 则椭圆方程为( A. ) B.

1 , 2

6.设 F1、F2 为双曲线 面积是(

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上满足∠F1PF2=90°,那么△F1PF2 的 4


2x 2 2 y 2 + =1 25 75

2x 2 2 y 2 + =1 75 25

C.

x2 y2 + =1 25 75

D.

x2 x2 + =1 75 25

二、填空题(本题共 4 道小题,每题 5 分,共 20 分;将答案直接答在答题卷上指定的位置) C. 2 D.

A. 1

B.

5 2

5

13.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为F1、F2,点 P 在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点 P 到x 9 16
___________ .

7.椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a>b>0 ? 的右焦点为 F,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满 a 2 b2

轴的距离为

14. 过点 P?2,3? 并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是

15. 已知 x, y ? ?0,??? ,

1 3 ? ? 3, 则 3x ? y 的最小值为 x y?2

. 20. (本小题满分 12 分)

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 y 2 6 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三 3 a b
角形的面积为

3 1 (2)设 ?ABC 的内角 sin 2 x ? cos 2 x ? , ( x ? R) (1)求函数 f ( x) 的对称轴; 2 2

5 2 . 3

A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, f (C ) ? 0 , sin B ? 2sin A ,求 a, b 的值。

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,且线段 AB 中点的横坐标为 ? 点 M (?

???? ???? 7 , 0) ,求: MA ? MB 的值. 3

1 , 2

18. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4,
2 2

(1) 求过点 P?3,4? 的圆的切线方程 (2) 若过点 Q?2,3? 的直线与圆交于 A, B 两点,且点 Q 恰为弦 AB 的中点,求 ?AOB 的面积.

21. (本小题满分 12 分)

x2 y2 x2 y2 a b a b 焦点 F 作直线 l,使 l⊥l1,又 l 与 l2 交于 P 点,设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A,B.
(1)若 l1 与 l2 夹角为 60°,双曲线的焦距为 4 时,求椭圆 C 的方程及离心率; 19、 (本小题满分 13 分)如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F .过点 P ? 2,0 ? 的直线交抛物线于
A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点,直线 AF , BF 分别与抛物线交于点 M、N .

已知椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),双曲线 2- 2=1 的两条渐近线为 l1,l2,过椭圆 C 的右

(2)求 的最大值.

FA AP

(Ⅰ)求 y1 y2 的值; (Ⅱ)设直线 AB 的斜率为 k ,求证:直线 MN 的斜率为 2 k .

∴点 O 到直线 AB 的距离 d ? 高二数学寒假作业一参考答案: 1-5 BABAB 6-10 ADDBD 11-12 BC 又∵ AB ? 2 2 , ∴ S ?AOB ?

5 2

16 13. 14. 3x ? 2 y ? 0; x ? y ? 1 ? 0 15.2 5
17.(1) f ( x) ? ∵ 2x ?

3 1 ? 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 。 sin 2 x ? ? ? 2 2 6 2 2 2

1 1 5 AB ? d ? ? 2 2 ? ?5 2 2 2

19.解: 解: (I) 设过 P 的直线方程为 x ? my ? 2 ,联立 y 2 ? 4 x 得 y ? 4my ? 8 ? 0
2

?
6

? k? ?

?
2

, k ? Z ,∴ x ?

∴ f ( x ) 的对称轴是: x ? (2) f (C ) ? sin(2C ?

?
6

k? ? ? ,k ?Z 。 2 3
? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) ? 1 ,
6

k? ? ? , 2 3

? y1 y2 ? ?8
(Ⅱ)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x3 , y3 ? , N ? x4 , y4 ? 设 AM 直线为 x ? ty ? 1 ,联立 y 2 ? 4 x 得 y ? 4ty ? 4 ? 0 ? y1 y3 ? ?4 ,得 y3 ?
2

11? ? ? ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,解得 C ? 。 3 6 6 6 6 2
∵ sin B ? 2sin A , 由正弦定理得, b ? 2a
2 2

?

?

?4 y1


2

由余弦定理得, c ? a ? b ? 2ab cos 由①②解得 a ? 1, b ? 2 。 18.解: (1) ∵ PC ?

?
3

同理得 y4 ? ,即 a 2 ? b 2 ? ab ? 3 ②

?4 , y2

又因为 x1 x3 ?

y12 y32 1 1 =1,所以 x3 ? ,同理得 x4 ? , x1 x2 16

?3 ? 1?2 ? ?4 ? 2?2

?2

∴点 P 在圆外, ∴过点 P 的切线有两条, ∴当切线斜率不存在时,切线方程为: x ? 3 ,满足已知条件; 当切线斜率存在时,设斜率为 k ,则切线方程为: y ? 4 ? k ?x ? 3? , ∴d ?

? kMN

?4 ?4 4 ? y2 ? y1 ? y12 y2 2 ? y ? y3 y2 y1 y1 y2 x x 4 ? y2 ? y1 ? yy ? 4 ? ? ? 1 2? ? 16 ? (?4)k ? 1 2 ? (?4)k ? 2k 1 1 x1 ? x2 x4 ? x3 y1 y2 ?( x2 ? x1 ) y1 y2 16 ? x2 x1 x1 x2
x2 y 2 c 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c 2 , ? , 2 a 3 a b

20.解: (1)因为

k ? 2 ? 4 ? 3k k ?1
2

? 2 ,解得: k ? 0 ∴切线方程为: y ? 4

综上:过点 P 的切线方程为: x ? 3 或 y ? 4 (2)∵点 Q 恰为弦 AB 的中点, ∴ k AB ? ?

x2 y2 1 5 2 5 ? ?1 。解得 a 2 ? 5, b 2 ? ,则椭圆方程为 ? b ? 2c ? 5 2 3 5 3 3
(2)将 y ? k ( x ? 1) 代入

1 k CQ

? ?1 ,∴ l AB : y ? 3 ? ??x ? 2?

x2 y2 ? ? 1 中得 5 5 3

(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 ? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0

cos ?QHM ?
解得 x ?

3 QM ,所以 tan ?QHM ? ? 9 MH

2 x 2 ? 4 2 x ? 16 ? 26 , x

2 ,所以 MK 的长度为 2 。

6k 2 x1 ? x2 ? ? 2 3k ? 1 6k 2 1 3 1 因为 AB 中点的横坐标为 ? ,所以 ? 2 ? ? ,解得 k ? ? 3 3k ? 1 2 2
又由(1)知 x1 ? x2 ? ? 所以 MA ? MB ? ( x1 ?

方法 2:以 B 为原点,以 BC、BA 所在直线为 x 轴 y 轴建空间直角坐标系, 则 A(0,8,0) M(0,4,0) N(4,0,0) P(0,8,8),Q (0,4,4) , , , , 设 K(a,b,0),则 a+b=4, AQ =(0,-4,4), AK ? (a,?4 ? a,0) 记 n ? ( x, y, z )为平面AQK的一个法向量 ,则

????

?

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

???? ????

7 7 7 7 , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 3 3 3 3

? y?z ? ? n ? AQ ? 0 ?? ? ?n ? Azk ? 0 ?ax ? ( 4 ? a ) y ?
则 n ? (a ? 4, a, a) ,

取 y ? z ? a则 x ? 4? a,

7 7 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3 3 7 49 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k2 3 9

又平面 AKM 的一个法向量 m ? (0, 0,1) ,设二面角 Q ? AK ? M 的平面角为 ? 则|cos ? |=

??

| m?n | | m || n |

? (1 ? k 2 )

3k ? 5 7 6k 49 ? ( ? k 2 )(? 2 ) ? ? k 2 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9
2 2

?

a (a ? 4) ? 2a
2 2

?

3 ,解得 a ? 1 , 9

所以所以 MK 的长度为 2 。

21.解:(1)连结 QM,因为点 Q , M , N 分别是线段 PB , AB , BC 的中点 所以 QM∥PA 且 MN∥AC,从而 QM∥平面 PAC 且 MN∥平面 PAC 又因为 MN∩QM=M,所以平面 QMN∥平面 PAC 而 QK ? 平面 QMN 所以 QK∥平面 PAC (2)方法 1:过 M 作 MH⊥AK 于 H,连 QH,则∠QHM 即为二面角 Q ? AK ? M 的平面 角,设 MK ? x ,且 PA ? PB ? PC ? 8 则 MH ?

2 2x x ? 4 2 x ? 16
2

,又 QM ? 4 ,且

高二数学寒假作业二 班级 姓名

A.

a?d ? bc 2

B.

a?d ? bc 2

C.

a?d ? bc 2

D.

a?d ? bc 2

一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.命题“若 x ? ?3 则 x ? ?6 ”,则它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

9. 在等差数列 ?a n ?错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。是数 列 ?a n ?的前 n 项和, 若 S 9 =54,则 a4 ? a6 错误!未找到引用源。的值为 A.2 B.6 C. 12 D.24

10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为 a , b , c ,若 a ,b ,c 成等差数列, B ? 60 °, △ABC 的面积为

2.已知 a、b 是实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3. 若 a>b,则不等式成立的是 A. a ? c ? b ? c 错误!未找到引用源。 4. 已知命题 p : ?x ? R,2 x ? 1 ? 0, 则?p 是
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3 ,则 b 等于 2
B. 1 ? 3 C. 2 D. 2 ? 3

A. 2

B. ? a ? 0 b

1 1 C. 错误! 未找到引用源。 ? a b

a D. ? 1 b

11. 在△ABC 中,边 a、b、c 所对角分别为 A、B、C,且

sin A cos B cos C ,则 A 为 ? ? a b c
D.90°

A.30°

B.45°

C.60°

12. 已知: x ? 0, y ? 0 ,且 A. ?x ? R,2 x ? 1 ? 0
2

B. ?x ? R,2 x ? 1 ? 0
2

2 1 1 ? ? ,若 x ? 2 y ? m2 ? 6m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y 2
B. (?2,8) C. (?8,2) D. (?4,2)

C. ?x ? R,2 x ? 1 ? 0
2
2 2

D. ?x ? R,2 x ? 1 ? 0
2

A. (??, ?2] ? [4, ??)

二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 5. 双曲线

x y ? 2 ? 1 的焦点(c,0)到它的一条渐近线的距离是 2 a b
B.b C.c D.

13. 设抛物线 y ? ?2ax( a ? 0) 的焦点为 F ,点 A(0,?4) .若线段 FA 的中点 M 在抛物线上,则
2

A.a

a?b 2

a?

.

1 1 6. 不等式 ? 的解集是 x 2
A. ? ??, 2 ? B. ? 2, ?? ?
2

C. ? 0, 2 ?

D. ? ??, 0 ? ? ? 2, ?? ?

?y ? 2 ? 14. 若变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 0 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
15. 在 ?ABC 中 a ? 4 6 , B ? 60 , C ? 75 ,则 b ? ___________________.
? ?



7. 已知直线 l 与抛物线 y =8x 交于 A、B 两点,且 l 经过抛物线的焦点 F,A 点的坐标为(8,8) , 则线段 AB 的中点到准线的距离是 A.

16.已知双曲线 C.

25 4

B.

25 2

17 4

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F1 ,点 P 为双曲线右支上一点,M 为线段 PF1 的中点,O 4 9


D.25 为坐标原点,则 2 MO ? PF1 =

8. 四个互不相等的正数 a,b,c,d 成等比数列,则

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

17 (本小题满分 12 分) 已知三个正数 a, b, c ,且满足

a c ? ? k ? 1, a ? c ,比较 a ? d 与 b ? c 的大小. b d

21

(本小题满分 12 分)

已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a1 ?

1 , , Sn ?1 ? 1 ? 2an ( n ? 2 , n ∈N* ).数列{ bn }对任 2

意正整数 n ,均有 (bn ?1 ? bn ? 2 ) ln a1 ? (bn ? 2 ? bn ) ln a3 ? (bn ? bn ?1 ) ln a5 ? 0 . 18 (本小题满分 12 分)

??? ???? ? 已知△ABC 中,A,B,C 对的边分别为 a, b, c ,△ABC 面积为 1, AB ? AC =2,

(Ⅰ)求证:数列{ bn }为等差数列. (Ⅱ)若 b1 ? 2, b2 ? 3 , x n ?a1 b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn ,试求数列{ x n }的通项公式.

c ? 2b ,求 a 的值.

19 (本小题满分 12 分) 已知数列{an} a1 ? a2 ? 3 ,当 n ≥2 时, a2 ? a3 ? ?+ an ? 2 ? p
n

( p 为常数),求 an 及

前 n 项的和.

22 (本小题满分 14 分) 已知曲线 C: (5 ? m) x ? (m ? 2) y ? 2m .
2 2

(Ⅰ)若曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; 20 (本小题满分 12 分) 求函数 f ( x ) ? (Ⅱ)设 m ? 3 ,直线 y ? x ? b 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,当 b 变化时,求 | AB | 的最大值; (Ⅲ)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),如图,直线 y ? ?2 x ? 4 与 曲线 C 交于不同的两点 M , N ,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G .求证: A, G, N 三点共线.

x 2 ? ? a ? 1? x ? a 的定义域.

y

A M G O B N

x

即 ( x ? a)( x ? 1) ? 0

(4 分) (6 分) (8 分)

高二数学寒假作业二答案

当 a>-1 时, ?a <1,∴有 x ? 1或 x ? ?a 当 a ? -1 时, ?a ? 1,∴有 x ? ?a 或 x ? 1

一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 B 6 D 7 A 8 B 9 C 10 A 11 D 12 C

当 a=-1 时,不等式的解集为 R .

(10 分)

故 当 a>-1 时,函数 f ( x) 的定义域为 ? ??, ? a ? ? ?1, ?? ? 当 a ? -1 时,函数 f ( x) 的定义域为 ? ??,1? ? ? ?a, ?? ? 当 a=-1 时,函数 f ( x) 的定义域为 R . (12 分)

二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13

?2 2

14

10 3

15

12

16

?4

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17 解:∵ b ? d ?

a?c , a ? c ,∴ b ? d k

(3 分) (10 分)

21解:(Ⅰ)当 n ≥2时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 1 ? 2an ?1 ? 1 ? 2an ? 2(an ? an ?1 ) , ∴

∴ a ? d ? b ? c ? bk ? d ? b ? kd

(5 分)= (b ? d )(k ? 1) (12 分)

an ?1 1 1 1 ? ,又 n ? 2 时有 a1 ? 1 ? 2a2 ,∵ a1 ? ,∴ a2 ? an 2 2 4
∴{ a n }是以
n ?

∵ k ? 1 , a ? d ? b ? c ? 0 ,∴ a ? d ? b ? c

??? ???? ? 18 解:∵ AB ? AC =2,∴ cb cos A ? 2
又△ABC 的面积为 1,∴ ∴ tan A ? 1 ∴ A =45°
2

(2 分) (4 分)



a2 1 ? a1 2

1 1 为首项, 为公比的等比数列 2 2 1 1 , a5 ? 8 32
(5分)

1 ? bc sin A ? 1 ,即 bc sin A ? 2 2
2 , c2 ? 4 2
(9 分)

∴ an ? ( ) (n ? N )

(6 分)

1 2

(3分) ∴ a3 ?

∴ bc ? 2 2 ,又 c ? 2b ∴ b ?

代入等式化简,∴ (bn ? 2 ? bn ? 2bn ?1 ) ln ∴ 2bn ?1 ? bn ? 2 ? bn

1 ?0 2

2 ? a ? b ? c ? 2 ? bc 2
2 2

∴数列{ bn }为等差数列 (6分)

2 ?4 2 ?4 ? 5 2 ?4
n

(12 分)

(Ⅱ) ∵ b1 ? 2, b2 ? 3 ∴ bn ? n ? 1

19 解:由于当 n ≥2 时, a2 ? a3 ? ?+ an ? 2 ? p

( p 为常数), , (2 分)

a2 ? a3 ? ?+ an ? an?1 ? 2n ?1 ? p
两式相减得: an ?1 ? 2 , (5 分)
n

∴ an ? ?

?3 ?2
n ?1

n?2 n?3



(8 分)

∴ a3 ? 4 ,又 a2 ? 3 , a2 ? a3 ? 8 ? p ,∴ p ? ?1
n n ∴ sn ? 3 ? a2 ? ??+ an =3+ 2 ? 1 ? 2 ? 2
2

(10 分)

(12 分) (2 分)

20.解:要使原函数有意义须 x ? ? a ? 1? x ? a ? 0 ,

1 (n ? 1) (8分) 2n n ?1 2 3 4 ∴ x n ? ? 2 ? 3 +? ? n ① 2 2 2 2 1 ①× 得 2 1 2 3 4 n n ?1 ② (10分) xn ? 2 ? 3 ? 4 +? ? n ? n?1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ?1 ①-②得 x n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2
∴ a n bn ?

∴ xn ? 3 ?

n?3 2n
2

(l2 分)
2

x2 y2 ? ?1 2m 2m 5?m m?2 2m 2m 7 曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,∴ ? ? 0 ,解得 2 ? m ? m ? 2 5?m 2 2 2 ?2 x ? y ? 6 2 2 (Ⅱ) m ? 3 ,曲线 C 的方程为 2 x ? y ? 6 ,由 ? 消去 y 得 ?y ? x ?b
22 解:(Ⅰ)由 (5 ? m) x ? (m ? 2) y ? 2m 整理得

(1 分)

高二数学寒假作业三答案
参考答案: 1-5 ACDAB 6-10 BAADB 11-12 DA

(4 分) 13. 任意有理数 x ,使 x ? 2 ? 0
2

14:

4 2

? 1? ?0, ? 15. ? 2 ?

4 y?? x 3 16
bn ? 3n ?1

3x2 ? 2bx ? b2 ? 6 ? 0

2b b2 ? 6 ,∴ x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 3 3
2

(5 分)

17.(1)设 ?a n ?公差为d,由已知可

? an ? 3 ? (n ? 1)3 ? 3n

4b 2 4 2 | AB |? 2 || x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 2 ? (b ? 6) 9 3 b2 ,∴当 b ? 0 时, | AB |max ? 4 (8 分) 9 2 2 (Ⅲ) 当 m ? 4 时,曲线 C 的方程为 x ? 2 y ? 8 ,点 A,B 的坐标分别为(0,2),(0,-2).
= 4 1? 由?

(2)由(1)知数列 ?a n ?中, a1 ? 3 , an ? 3n

? Sn ?
?

n(3 ? 3n) 2

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

? x2 ? 2 y2 ? 8 ? y ? ?2 x ? 4
2

得 9 x ? 32 x ? 24 ? 0 ,
2

? Tn ?

∵ ? ? (32) ? 4 ? 9 ? 24 ? 32(32 ? 27) ? 160 ? 0 直线与曲线 C 交于不同的两点(10 分 ) 设点 M,N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,则

1 1 1 ? ?? S1 S 2 Sn

2 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ] 3 2 2 3 n n ?1

32 24 8 (11 分) , x1 x2 ? ? 9 9 3 y1+2 ? 3x1 ,1?. 直线 BM 的方程为 y+2= x,∴点 G 的坐标为? ? x1 ?y1+2 ? y ?2 y ?2 因为直线 AN 和直线 AG 的斜率分别为 k AN ? 2 , k AG ? ? 1 x2 3 x1 y ? 2 y1 ? 2 ?2 x2 ? 2 ?2 x1 ? 6 8 2( x1 ? x2 ) ∴ k AN ? K AG ? 2 + = + =? ? x2 3 x1 x2 3 x1 3 x1 x2 64 8 8 8 = ? ? 9 ? ? ? ? 0 , 故 A,G,N 三点共线. (14 分) 3 24 3 3 9 y1 ? ?2 x1 ? 4, y2 ? ?2 x2 ? 4, x1 ? x2 ?

2 1 2n ? (1 ? )? 3 n ? 1 (n ? 1) 3 2 18.(1) ?p : ?x ? R, ax ? 2 x ? 1 ? 0 成立.
(2) a ? 0 时 ax ? 2 x ? 1 ? 0 不恒成立.
2

由?

?a ? 0 得 a ? ?1 . ?? ? 0
2

(3)设方程 x ? ?a ? 3?x ? a ? 0 两个不相等正实根为 x1 、 x 2

?? ? 0 ? 命题 q 为真 ? ? x1 ? x 2 ? 0 ? 0 ? a ? 1 ?x x ? 0 ? 1 2
由命题“ p 或 q”为真,且“ p 且 q”为假,得命题 p 、q 一真一①当 p 真 q 假时,则

? a ? ?1 得 ?1 ? a ? 0 或a ? 1 ? ? a ? 0或a ? 1
②当 p 假 q 真时,则 ?

(2)由双曲线定义: PF1 ? PF2 ? 6 ,在 ?F1 PF2 中,由余弦定理:

?a ? ?1 无解; ?0 ? a ? 1

cos ?F1 PF2 ?

PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 PF2

2

2

2

?

( PF1 ? PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 ? F1 F2 2 PF1 PF2

2

?

23 55

22.解: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

∴实数 a 的取值范围是 ?1 ? a ? 0 或a ? 1. 19.解: (1)圆心 C (0, 1) ,由 C 在直线上,代入直线方程解得: m ? 0 (2)设 d 为圆心到直线的距离,则 d ? 由 AB ? 2 r ? d
2

m 1 ? m2



?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? ? a2 ? b2 2 ?
解得

2

? 17 解得: m ? ? 3 ,

?a ? 3 , ? ?b ? 1
椭圆方程为

而该直线的斜率为 m ,所以倾斜角 ? (? ? ?0, ? ?) 的正切值 tan? ? ? 3 , 所以 ? ?



?
3

或? ?

2? 3

x2 ? y2 ? 1. 3
? y ? k x ? 2,
2 2 ?x ? 3 y ? 3 ? 0

p 20.解: (1)由抛物线定义知: FM ? ? 4 ? 5 ,所以: p ? 2 2
所以:抛物线的方程为: x ? 4 y ,又由 M (m,4) 在抛物线上,? m ? 4
2

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? 得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .
2

2

故: p ? 2 , m ? 4 (2)设过 M 点的切线方程为: y ? 4 ? k ( x ? 4) ,代入抛物线方程消去 y 得:



? ? (12 k ) 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0



x 2 ? 4kx ? 16 k ? 16 ? 0 ,其判别式 ? ? 16 k 2 ? 64(k ? 1) ? 0 ,所以: k ? 2
切线方程为: y ? 2 x ? 4 切线与 y 轴的交点为 N (0,?4) 抛物线的焦点 F (0,1) 所以: S ?FMN

12 k ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 3k 2 , ? 设 C (x1 , y1 ) 、 D (x2 , y2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y 2 ? (kx1 ? 2)( kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .
2



1 1 ? FN ? m ? ? 5 ? 4 ? 10 2 2
x2 y2 ? ? m ,由于 P(?3 2 ,4) 在该双曲线上, 9 16 x2 y2 ? ?1 9 16

要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则

y1 ? y2 ? ?1 ,即 x1 ? 1 x2 ? 1
③--10 分

21.解: (1)设所求双曲线的方程为:

y1 y2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0
将②式代入③整理解得 k ? 使得以 CD 为直径的圆过点 E.

∴ (k ? 1) x1 x 2 ? 2(k ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 5 ? 0
2

7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6

综上可知,存在 k ?

7 , 6

代入方程解得 m ? 1 , 所以所求双曲线方程为:

高二数学寒假作业三 班级 姓名

8.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , Tn ? 令

S1 ? S2 ? ? ? Sn , Tn 为数列 a1 ,a2 , 称 ??,an 的“理 n

想数”,已知数列 a1 , a2 ,??, a 502 的“理想数”为 2012,那么数列 3, a1 , a2 ,??, a 502 的“理想数”为( ) A .2011 9.若双曲线 B. 2012 C. 2013 D .2014

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每小题只有一个选项符合题目要求.) 1.设 M ? {1, 2} , N ? {a } ,则“ a ? 1 ”是“ N ? M ”的(
2



A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ) C. y

5 x2 y2 x ,则双曲线焦点 F 到渐近线 l 的距离为 ? ? 1 的渐近线 l 方程为 y ? ? 3 9 m
B. 14 C.2 5 D.

2.在下列函数中,最小值不是 2 的是( A. y ? x ?

A.2

5

1 x
2

B. y ?

x2 ? 2 x ?1
2

? lg x ? log x 10

D. y

? 3 x ? 3? x

10.设定点 F1 ?0,?3? , F2 ?0,3 ? ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? a ? A.椭圆 C.线段 B.椭圆或线段 D.无法判断
2 2

9 a

?a ? 0? ,则点 P 的轨迹是

3.抛物线 y ? 2x 的焦点坐标是 (



A. (1,0)

B. ( 0, )
2 2

1 4

C. ( ,0)

1 4

D. ( 0, )

1 8

11.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a +c -b )tan B= 3ac,则角 B 的值为 A. π 6 π B. 3
2

2

4.过点(2,1)的直线中,被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得弦长最长的直线方程为( A. 3 x ? y ? 5 ? 0 B. 3 x ? y ? 7 ? 0
2



π 5π C. 或 6 6

D.

π 2π 或 3 3

12.试在抛物线 y ? ?4 x 上求一点 P,使其到焦点 F 的距离与到 A?? 2,1? 的距离之 和最小,则该点坐标为 ( A. ? ? ) C. ? 2,?2 2

C. 2 x ? y ? 3 ? 0

D. 2 x ? y ? 5 ? 0

5.已知 p : 4 x ? m ? 0, q : x ? x ? 2 ? 0, 若 p 是 q 的一个充分不必要条件,则实数 m 的取值 范围是( A. ?8,???
2 2

? 1 ? ,1? ? 4 ?

B. ? ,1?

?1 ? ?4 ?
2

?

?
.

D. ? 2,2 2

?

?

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 ) B. ?4,??? C. 13.命题“存在有理数 x ,使 x ? 2 ? 0 ”的否定为

?? ?,4?

D.

?? ?,?4?

14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米。当水面升高 1 米后,水面宽度是 ________米. 15 . 设 命 题

6.椭圆 4 x +y ? k 上两点间最大距离是 8,那么 k =( A.32 B.16 C.8 7.已知 ? >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x =

) D.4

p : x4? ≤3

, 1命



q:

2

x ?

( 2? a


1? ) x

≤? (a , 1 ) a 若

0

? 5? 和x= 是 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相邻对称轴,则 4 4
3π D. 4

“ ?p是?q的必要而不充分条件 ”则实数 a 的取值范围是

? =( )
π A. 4 π B. 3 π C. 2 16.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别是 F 1 和 F 2 ,过原点 O 作直线与椭圆相交于 A,B 两点. 45 20

若 ?ABF2 的面积是 20,则直线 AB 的方程是_______________________.

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 等差数列 ?a n ?中,a1 ? 3 , n 项和为 S n , 前 等比数列 ?bn ?各项均为正数,b1 ? 1 , b2 ? S 2 ? 12 , 且 20. (本小题满分 12 分) 点 M (m,4) m ? 0 为抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 上一点, F 为其焦点,已知 FM ? 5 ,
2

(1)求 m 与 p 的值; 分) (4 (2)以 M 点为切点作抛物线的切线,交 y 轴与点 N ,求 ?FMN 的面积。 分) (8

?bn ?的公比 q ? S 2 (1)求数列 ?a n ?与 ?bn ?的通项公式;
b2

(2)求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn ? Sn ?

21. (本小题满分 12 分) 已知双曲线过点 P (?3 2 ,4) ,它的渐近线方程为 y ? ? 18. (本小题满分 12 分)

4 x 3

p : ?x0 ? R, 使得 ax0 2 ? 2 x0 ? 1 ? 0 成立; q :方程 x 2 ? ?a ? 3?x ? a ? 0 有两个不相等正实根;
(1) 写出 ?p ; (2) 若命题 ?p 为真命题,求实数 a 的取值范围; ( 3 ) 若命题“ p 或 q ”为真命题,且“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.

(1)求双曲线的标准方程; 分) (5 (2)设 F1 和 F2 是该双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且 PF1 ? PF2 ? 55 ,求 ?F1 PF2 的余弦值.(7 分)

22. (本小题满分 12 分)

x2 y2 6 ? 2 (a>b>0)的离心率 e ? ,过点 2 3 a b 3 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 . 2
如图,已知椭圆 19. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : x ? ? y ? 1? ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 , m ? R 。
2 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存在 k 的 值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

(1)若直线 l 过圆 C 的圆心,求 m 的值;(5 分) (2)若直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,且 AB ?

17 ,求直线 l 的倾斜角. (7 分)


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