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湖南省师范大学附属中学高一数学 平面向量基本定理教案

湖南省师范大学附属中学高一数学教案:平面向量基本定理
教材:平面向量基本定 理 目的:要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量;或一个向量分解为两个 向量。 过程:一、复习:1.向量的加法运算(平行四边形法则)。 2.实数与向量的积 二、由 平行四边形想到: 1.是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量?且分解是唯一? 2.对于平面上两个不共线向 量 e1 , e 2 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示? ——提出课题:平面向量基本定理 三、新授:1.(P105-106) e1 , e 2 是不共线向量, a 是平面内任一向量 3.向量共线定理

?

OA = e1

OM =λ 1 e1 ON =λ 2 e 2

? OC = a = OM + ON =λ 1 e1 +λ 2 e 2

OB = e 2

得平面向量基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一 向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 注意几个问题:1?

?

?

e1 、 e 2 必须不共线,且它是 这一平面内所有向量的一组基底

2? 这个定理也叫共面向量定理 3?λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量 2.例一( P106 例三)已知向量 e1 , e 2 求作向量?2.5 e1 +3 e 2 。

?

作法:1? 取点 O,作 OA =?2.5 e1 2? 作 例二、(P106 例 4)如图

OB =3 e 2

e2

C M

B M N

OACB, OC 即为所求+

e1

? ? ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a , AD = b ,

A

O

1

用 a , b 表示 MA , MB , MC 和 MD
D b M C M

?

?

解:在

ABCD 中

∵ AC = AB + AD = a + b

? ?

A

a

B M

? ? DB = AB ? AD = a ? b


MA =?

1 1 ? ? 1 ? 1 ? AC =? ( a + b )=? a ? b 2 2 2 2 1 1 ? ? 1 ? 1 ? MB = DB = ( a ? b )= a ? b 2 2 2 2 1 1 ? 1 ? MD =? MB =? DB =? a + b 2 2 2

MC =

1 1 ? 1 ? AC = a + b 2 2 2

例三、已知

ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点,

求证: OA + OB + OC + OD =4 OE 证:∵E 是对角线 AC 和 BD 的交点 ∴ AE = EC =? CE
D O E A B C

BE = ED =? DE
在△OAE 中

OA + AE = OE

同理: OB + BE = OE

OC + CE = OE

OD + DE = OE

以上各式相加,得: OA + OB + OC + OD =4 OE

例四、(P107 例五)如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R)用 OA , OB 表示 OP 解:∵ AP =t AB
P B O A

∴ OP = OA + AP = OA + t AB = OA + t ( OB ? OA ) = OA + t OB ?t OA =(1?t) OA + t OB

2

四、小结:平面向量基本定理,其实质在于:同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的 线性组合。 五、作业: 课本 P107 练习 P108 习题 5.3 3-7

3


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