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红对勾理科数学2-3


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必考部分

必考部分·第二章

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第二章
函数、导数及其应用

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第三节 函数的单调性与最值

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第二章·第三节

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考纲解读 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.

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第二章·第三节

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考情剖析 1.函数的单调性,是高考考查的重中之重,主要考查求函数的单 调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函 数值域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题. 2.函数的最值问题是每年高考的必考内容,一般情况下,不会对 最值问题单独命题,主要是结合其他知识综合在一起考查,主要考查 求最值的基本方法.

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第二章·第三节

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自主回顾· 打基础

合作学习· 速通关

提升素养· 破难点

课时作业

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1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

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第二章·第三节

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增函数

减函数

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义 域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2 定 当 x1<x2 时 , 都 有 当 x1<x2 时 , 都 有

f(x1)<f(x2) ,那么就 _________ f(x1)>f(x2) ,那么就说函 义 __________
说函数 f(x)在区间 D 数 f(x)在区间 D 上是减函 上是增函数 数

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(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数 ,则称函数f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性, 区间D 叫做f(x)的单调 区间.

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第二章·第三节

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1.单调区间与函数定义域有何关系? 提示:单调区间是定义域的子区间. 1 2.函数f(x)= x 的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞) 吗? 1 提示:不是,f(x)= 的单调减区间是(-∞,0),(0, x +∞),中间不能用“∪”,也不能用“或”联结.

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第二章·第三节

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2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足 ①对于任意x∈I, ①对于任意x∈I,都有 条件

f(x)≤M ; 都有_________ f(x0)=M _________.

f(x)≥M ; ________ f(x0)=M , __________
M为最小值

②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得

结论 M为最大值

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第二章·第三节

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3.最值与函数的值域有何关系? 提示:函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最 小元素与最大元素;任何一个函数,其值域必定存在,但 其最值不一定存在.

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第二章·第三节

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1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( A.y=-x+1
2

)

B.y= x

2 C.y=x -4x+5 D.y= x

答案:B

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? ?x+1,x≥0 2.函数f(x)=? ? ?x-1,x<0

在R上是(

)

A.减函数 C.先减后增

B.增函数 D.无单调性

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解析:函数f(x)的图象如图所示,由图结合单调性的定 义可知,此函数在R上是增函数.

答案:B

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1 3.已知f(x)是R上的减函数,则满足f(| x |)<f(1)的实数x 的取值范围是( A.(-1,1) ) B.(0,1)

C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ? ?|x|<1 1 解析:由已知条件:| x |>1,不等式等价于 ? 解得 ? ?x≠0
-1<x<1,且x≠0.

答案:C

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4.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.
解析:要使y=log5(2x+1)有意义,则2x+1>0,即x>- 1 1 2 ,而y=log5u为(0,+∞)上的增函数,当x>- 2 时,u=2x 1 +1也为增函数,故原函数的单调增区间是(-2,+∞).

1 答案:(-2,+∞)

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5.若函数f(x)=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数, 则m的取值范围是________.

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解析:当m=0时,f(x)=x+5在[-2,+∞)上是增函 数; m>0 ? ? 1 当m≠0时,则? 1 解得0<m≤4, - ≤-2 ? ? 2m 1 综上所述0≤m≤ . 4
1 答案:[0,4]

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函数单调性的判断与证明

【例1】 单调性.

a 判断函数f(x)=x+ x (a>0)在(0,+∞)上的

运用定义法进行判断.

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【解析】 在(0,+∞)上任取x1,x2,设x1>x2>0,则
? a? ? a? f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ? ? ? 1? 2? ?a a?x2-x1? a? =(x1-x2)+?x -x ?=(x1-x2)+ x x ? 1 2? 1 2 ? a ? =(x1-x2)?1-x x ?. ? 1 2?

a 当 a ≥x1>x2>0时,x1-x2>0,1- <0,有f(x1)-f(x2)<0, x1x2 a 即f(x1)<f(x2),此时,函数f(x)=x+ (a>0)是减函数; x
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a 当x1>x2≥ a时,x1-x2>0,1-x x >0,有f(x1)-f(x2)>0, 1 2 a 即f(x1)>f(x2),此时,函数f(x)=x+ x(a>0)是增函数. a 综上可知,函数f(x)=x+ x (a>0)在(0, 数;在[ a,+∞)上为增函数. a ]上为减函

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对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性 有两种方法: ?1?结合定义?基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断? 证明;

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?2?可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单调性的证 明,一般采用定义法进行.

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已知f(x)=

x (x≠a). x-a

(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范 围.

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解:(1)证明:任设x1<x2<-2,则 2?x1-x2? x1 x2 f(x1)-f(x2)= - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2? ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设1<x1<x2,则 a?x2-x1? x1 x2 f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

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∵a>0,x2-x1>0. ∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,∴ a≤1. 综上所知0<a≤1,即a的取值范围为(0,1].

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求函数的单调区间

【例2】 间是( )

(1)函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区

3 A.(-∞,2] 3 C.(-1,2]

3 B.[2,+∞) 3 D.[2,4)

(2)求函数y=x-|1-x|的单调区间.

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【解析】

(1)y=lnt是单调递增函数,则只需研究函数

t=4+3x-x2的单调递减区间,并注意t>0的限制.t=4+3x 3 -x 的单调递减区间为[ ,+∞),当x≥4时,t≤0,所以区 2
2

3 间[2,4]符合题意.
? x≥1, ?1, (2)y=x-|1-x|=? ? ?2x-1, x<1.

作出该函数的图象如下图所示.

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由图象可知,该函数的单调增区间是(-∞,1],无单 调减区间.
【答案】 (1)D

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带有绝对值的函数实质上就是分段函数,对于分段函数的 单调性,有两种基本的判断方法:一是在各个段上根据函 数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间,最后对 各个段上的单调区间进行整合;二是画出这个分段函数图 象,结合函数的图象、性质进行直观的判断.

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?1,x>0, ? 设函数f(x)= ?0,x=0, ?-1,x<0, ? 的递减区间是( A.(-∞,0] ) B.[0,1)

g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)

C.[1,+∞) D.[-1,0]

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?x2,x>1, ? 解析:g(x)=?0,x=1, ?-x2,x<1. ? 如下图所示,其递减区间是[0,1).故选B.

答案:B

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利用函数单调性求最值

【例3】

1 1 已知函数f(x)=a-x(a>0,x>0).

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 1 (2)若f(x)在[ ,2]上的值域是[ ,2],求a的值. 2 2

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【解析】

(1)证明:设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0,

1 1 1 1 ∵f(x2)-f(x1)=(a-x )-(a-x ) 2 1 1 1 x2-x1 =x -x = x x >0, 1 2 1 2 ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.

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1 1 (2)∵f(x)在[2,2]上的值域是[2,2], 1 又f(x)在[2,2]上单调递增, 1 1 2 ∴f(2)=2,f(2)=2,∴a=5.

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这类问题应利用函数的单调定义或基本初等函数的性质判 定函数的单调性然后再求最值,对于含参数的问题可能需 要分类讨论.

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函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则 f?x? 函数g(x)= x 在区间(1,+∞)上一定( A.有最小值 C.是减函数 B.有最大值 D.是增函数 )

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f?x? 解析:先求得函数g(x)= x 的解析式,再分析其具有 的性质,对于参数a的符号需要通过题设中二次函数的最值 进行分类讨论,其分界点应当为对称轴,应分析其与区间 端点1的关系. 由题设,知二次函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴x=a在 f?x? a 区间(-∞,1)上,即a<1,则函数g(x)= =x+ -2a在区 x x 间(1,+∞)上一定是增函数.

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事实上,若a=0,则g(x)=x在区间(1,+∞)上一定是 增函数. a 若0<a<1,因为分式函数y=x+ x 在区间( a ,+∞)上 f?x? 是增函数,这里 a <1,故函数g(x)= 在区间(1,+∞)上 x a 一定是增函数;若a<0,由于y= x 在区间(1,+∞)上是增函 f?x? a 数,故函数g(x)= x =x+ x -2a在区间(1,+∞)上是增函 数.
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f?x? a 综上,当a<1时,函数g(x)= x =x+ x -2a在区间(1, +∞)上是增函数.
答案:D

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第二章·第三节

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1.函数单调区间的记法及性质的易错点 (1)函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上 单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两个区 间上的单调性相同,也不能用并集表示.

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(2)两函数f(x),g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函数,则 1 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但f(x)· g(x), 等的单调性与其 f?x? 正负有关,切不可盲目类比. 2.单调函数的等价变形 设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? (1) >0?(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b] x1-x2 上是增函数;

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f?x1?-f?x2? (2) <0?(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b] x1-x2 上是减函数. 3.函数单调性的判断方法 判断函数单调性的方法有以下四种: (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时, 为增函数,不同时为减函数; (3)导数法:利用导数研究函数的单调性; (4)图象法:利用图象研究函数的单调性.
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提升素养·破难点
研经典·明考向

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易错易混警示(三) 分段函数单调性判断的易误点 【典例】 ax ? ? 若f(x)= ?? a? ?4- ?x+2 ? 2? ?? ?x>1? ?x≤1? ) B.[4,8) D.(1,8) 是R上的单调

递增函数,则实数a的取值范围为( A.(1,+∞) C.(4,8)

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失误提示 a>1 ? ? a 由于 f(x) 是 R 上的增函数,所以 ? 4 - >0 ? 2 ? 1<a<8.选 D. 得

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正确解答 函数 f(x)在(-∞,1]和(1,+∞)上都为增函数,且 f(x) 在(-∞,1]上的最高点不高于其在(1,+∞)上的最低点, ?a>1 ? ?4-a>0 2 即? ? a ?a≥4- +2 2 ?

,解得 a∈[4,8),故选 B.

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解决分段函数的单调性问题时,还有以下几点,在 点 学习时要注意: 拨 (1)抓住对变量所在区间的讨论. 提 (2)保证各段上同增(减)时,要注意上、下段端点值间 升 的大小关系. (3)弄清最终结果取并还是交.

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1.设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定
? ?f?x?,f?x?≤k, 的正数k,定义函数fk(x)= ? ? ?k,f?x?>k

取函数f(x)=2-|x|. )

1 当k=2时,函数fk(x)的单调递增区间为( A.(-∞,0) B.(0,+∞)

C.(-∞,-1) D.(1,+∞)

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1 1 解析:由f(x)> 2 ,得-1<x<1,由f(x)≤ 2 ,得x≤-1或 x≥1.
x 2 ? ? ,x≥1, ?1 1 所以f2(x)=?2,-1<x<1, ? x ? ?2 ,x≤-1,


1 故f2(x)的单调递增区间为

(-∞,-1).
答案:C

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? ??3a-1?x+4a 2.已知f(x)= ? ? ?logax ?x≥1?

?x<1?

是(-∞,+∞)上

的减函数,那么a的取值范围是________.

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解析:∵当x≥1时,y=logax单调递减,∴0<a<1; 1 而当x<1时,f(x)=(3a-1)x+4a单调递减,∴a<3; 又函数在其定义域内单调递减,故当x=1时,(3a-1)x 1 1 1 +4a≥logax,得a≥7,综上可知,7≤a<3.
1 1 答案:7≤a<3

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