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十年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案


全国高中数学联赛试题 第一试 一、 选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的,请将 正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不 论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1.设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ?0},B={x| 10 x ?2 = 10 x },则 A ? B 是 (A) {2} (B) {?1} (C) {x|x?2} (D) 2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin (A) (2k?+ 2 【答】 ( ? ) ) ? 3 >cos ? 3 ,则 ? 3 的取值范围是 (B) ( 【答】 ( 2k? ? 2k? ? + , + ),k?Z 3 3 6 3 5? 5? ? ? (C)(2k?+ ,2k?+?),k?Z (D)(2k?+ ,2k?+ ) ? (2k?+ ,2k?+?),k?Z 4 3 6 6 3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三角形,则△ ABC 的面积是 【答】 ( ) ? ? ,2k?+ ), k?Z 3 6 3 3 3 (B) (C) 3 3 (D) 6 3 3 2 4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程 bx2?2ax+c=0 【答】 ( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y ? x ? 的距离中的最小值是 3 5 (A) (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 6.设 ? ? cos ,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是 5 5 (A) x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4?x3+x2?x+1=0 4 3 2 (C) x ?x ?x +x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0 ? ? i sin ? 1 20 (D) 1 【答】 ( 30 【答】 ( ) ) 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7.arcsin(sin2000?)=__________. 3 2 33 3n ??? 8.设 an 是(3? x ) n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,?),则 lim( ? )=________. n?? a a3 an 2 9.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. x2 y2 10. 在椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离 a b 心率是 11. 12. 5 ?1 ,则∠ABF=_________. 2 一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是________. 如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4};(2)a?b,b?c,c?d,d?a;(3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, 那 么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_________. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 设 Sn=1+2+3+?+n,n?N,求 f(n)= Sn 的最大

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