tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

2.4.2抛物线的简单几何性质(第1-3课时)好


抛物线的几何性质
(1)

一、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?

1、

范围

y

由抛物线y2 =2px(p>0) 有 2 px ? y 2 ? 0

所以抛物线的范围为 x ? 0
抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也 增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

x?0 ?

p?0

o

p F ( ,0 ) 2

x

2、

对称性
关于x轴

y

( x, y)

对称

( x, ? y )
2

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3、

顶点
y

定义:抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。

?

o

y2

= 2px (p>0)中,

F(

p ,0 ) 2

x

令y=0,则x=0. 即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比,叫做 抛物线的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。

特点:
y2=4x 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=2x y 限延伸,但它没有渐近线; y2=x 1 2 y = x 2.抛物线只有一条对称轴,没有
4 3 2 1

2

P(x,y)

-2

2

4

6

8

10

对称中心;

-1

-2

3.抛物线只有一个顶点、
-3 -4

o

F(

p ,0 ) 2

x

一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔

-5

一.抛物线的简单性质 2.关于x轴对称, 我们把抛物线的对称轴叫做 抛物线的轴. 3.顶点 : 坐标原点. 4.离心率 : e ? 1.
K O F y

1.范围 : x ? 0, y ? R.

x

二、典例精析

坐标轴

例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标 ?2 2 原点,并且经过点M(2, ),求它的标准方程. 解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 点,并且经过点M(2, ?2 2 ), 所以设方程为: y 2 ? 2 px 又因为点M在抛物线上: 所以: (?2
2

( p ? 0)

2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2 2 因此所求抛物线标准方程为: y ? 4x

当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论

例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置。
y

解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.

A

(40,30)

?

O
B

x

设抛物线的标准方程为:y2=2px 由条件可得A (40,30), 代入方程得: 45 2 解之: p= 4 30 =2p· 40 45 45 2 故所求抛物线的标准方程为: y = 2 x, 焦点为( 8 ,0)

思考:设M ? x0 , y0 ? 是抛物线y ? 2 px上的任一点,
2

F 是其焦点, 求 | MF | .
y M

x K O F

二.抛物线的焦半径 抛物线上一点P ? x0 , y0 ? 与焦点的连线叫抛物 线的焦半径. (1) y ? 2 px ,
2

( 2) y 2 ? ?2 px , (3) x ? 2 py ,
2

( 4) x 2 ? ?2 py ,

p | PF |? x0 ? ; 2 p | PF |? - x0 ? 2 p | PF |? y0 ? 2 p | PF |? - y0 ? 2

练习 : 已知M (3, 2), P为抛物线y ? 2 x上一点,
2

?3 ? , ? 3 ?2 ? . (1)若P到焦点的距离为2, 则P点坐标标为 _________ ? ? 7 ( 2) PM + PF 的最小值为________ ,此时P点 2

F 为抛物线的焦点

(2, 2) 坐标标为 _________ .

练习:斜率为1的直线过抛物线y ? 4 x的焦点,
2

与抛物线交于A, B两点, 求线段AB的长.
y

解法1 : 直线AB的方程为y ? x ? 1, 代入抛物线方程得 : x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? 6, x1 ? x2 ? 1, ?| AB |? 1 ? 12 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? 8 解法 2 :| AB |? ( x1 ? p p ) ? ( x2 ? ) 2 2 ? x1 ? x2 ? p ? 6 ? 2 ? 8
K O B F

A

x

三.抛物线的焦点弦 过抛物线焦点的弦叫焦点弦, 设焦点弦端点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 (1) y 2 ? 2 px , ( 2) y ? ?2 px ,
2

| AB |? x1 ? x2 ? p; | AB |? p ? x1 ? x2 | AB |? y1 ? y2 ? p | AB |? p ? y1 ? y2

(3) x 2 ? 2 py , ( 4) x ? ?2 py ,
2

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题1:求证 :| AB |? x1 ? x2 ? p
解 : AB ? AF ? BF p p ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) 2 2 ? x1 ? x2 ? p

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点.

2p 问题2 : 若 l 的倾斜角为? , 则 AB ? 2 sin ?
解 : 若? ? 若? ?

?
2

, 则 AB ? 2 p, 此时AB为抛物线的通径 ? 结论得证 p y p )tan ? ,即x ? ? , 2 tan? 2

?
2

, 设直线l的方程为 : y ? ( x ?

代入抛物线方程得 : y 2 ? 2 py ? ? y1 y2 ? ? p 2 , y1 ? y2 ? ? AB ? 1 ? 2p , tan?

1 ? p 2 ? 0, tan?

1 1 2p y ? y ? 2 p ( 1 ? ) ? 1 2 tan 2 ? tan 2 ? sin 2 ?

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题3 : 焦点弦中, 通径最短.
解 :由问题 2知: AB ? sin 2 ? ? 1? 2p sin 2 ? 2p ? 2 p, sin 2 ? ? AB 的最小值为2 p,即通径最短. 通径的性质 :

?1? 通径的长度 : 2 p; ? 2 ? 通径越大, 抛物线开口越大; ? 3? 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的.

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. p 2 问题4 : 求证 : x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? ? p . 4
解 :由问题 2的解法知:y1 ? y2 ? ? p 2 , y12 y2 2 x1 ? , x2 ? , 2p 2p ( y1 y2 )2 P 2 ? x1 x2 ? ? 2 4P 4
2

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题5 : S?AOB
? ? ? ? ?

解 : S?OAB ? S?OBF ? S ? 0 AF

p ? . 2 sin?

2

1 1 OF ? BF ? sin ? ? OF ? AF ? sin ? 2 2 1 OF ? ? AF ? BF ? sin ? 2 1 OF ? AB ? sin ? 2 1 p 2p ? ? 2 ? sin ? 2 2 sin ? p2 2 sin ?

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题6 : (1) A, O , B1三点共线;( 2) B, O , A1三点共线; (3)设直线AO与准线交于B1 , 则BB1平行x轴; ( 4)设直线BO与准线交于A1 , 则AA1平行x轴;
y1 y y 2y 2p ? 12 ? , koB1 ? 2 ? ? 2 , p x1 y1 y1 p ? 2 2p 2 y2 2p 而y1 y2 ? ? p 2 ,? koA ? ? ? ? koB1 , 2 ?p p y2 解 : koA ? ? A, O , B1三点共线. 同理可证( 2),(3),( 4).

例5 过抛物线焦点F 的直线 交抛物线于A, B两点, 通过点A 和 抛 物线顶点的直线交抛物 线的准 线 于点 D , 求 证 : 直线 DB平行于抛物线的对称轴 .

l

y
A

o
F
D B

x

分析 我们用坐标法证明 ,即通 过建立抛物线及直线的 方程, 借 助方程研究直线 DB与抛物线对 称轴之间的位置关系 . 建立如图 2.3 ? 5所示的直角坐标系 , 只要证明

图2.3 ? 5

点D的纵坐标与点 B的纵坐标相等即可 .

证明 如图2.3 ? 5, 以抛物线 对称轴为x轴,它的顶点为原 点, 建立直角坐标系 .

l

y
A

o
F
D B

设抛物线方程为y 2 ? 2 px,

?1?

x

2 ? y0 ? ? 点A的坐标为 ? 2 p , y0 ? ? , 则直 图2.3 ? 5 ? ? 2p ?2? 线OA的方程为y ? x, y0 p 抛物线的准线方程为 x ? ? . ?3? 2 p2 ?3?, 可得D点的纵坐标为y ? ? . ?4 ? 联立?2?、 y0

?p ? 因为点F的坐标是? ,0 ?, 所以 ?2 ? p x ? y 直线AF的方程为 ? 2 2 . y0 p y0 ? 2p 2 与 y 2 ? 2 px联立, 可得B点的纵

l

y
A

o
F
D B

x

图2.3 ? 5

p2 ?5? 坐标为 y ? ? . y0 ?5?得, DB // x轴, 故DB平行于抛物线的对称轴 由?4 ?、 .

你还有其他证明方法吗 ?

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题7 : 求证 :以AB为直径的圆与准线相切
解 : 设AB的中点为M , 过A, B, M 分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , M1 , 则 MM1 ? AA1 ? BB1 2 ? AF ? BF 2 ? AB 2

结论得证.

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 1 1 2 问题8 : 求证 : ? ? FA FB p
解法1 : 过A, B作x轴的垂线, 垂足分别为R, S , 直线l的倾斜角为? , P , 1 ? cos? 1 1 ? cos? 1 1 ? cos? 1 1 2 ? ? ,同理 ? , ? ? . AF P BF P FA FB p ER ? EF ? FR ? P ? AF cos? ? AF ? AF ? 解法2 : 若直线l的斜率不存在, 结论显然成立, p ? ? y ? k( x ? ) 若直线l的斜率存, 设为k , 则 ? 2 ? y 2 ? 2 px ? 2 2 k p ? k 2 x 2 ? p( k 2 ? 2 ) x ? ?0 4 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? p p p FA FB x1 ? x2 ? 2 2

例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题9 : 过A, B分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , 则A1F ? B1F .
解 : AA1 ? AF ,??AA1F ? ?AFA1 AA1 / / OF ??AA1F ? ?A1FO ??A1FO ? ?A1FA, 同理?B1FO ? ?B 1 FB , ??A1FB1 ? 90?,? A1F ? B1F .

抛物线的几何性质
(2)

复习回顾:

直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法:
1、根据几何图形判断的直接判断



2、直线与圆 锥曲线的公 共点的个数

Ax+By+c=0

解的个数 f(x,y)=0(二次方程)



判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

二、讲授新课:
问题:你能说出直线与抛物线位置关系吗?

y

x F

问题:已知直线 l:y=kx+1 和抛物 2 线 C:y =4x,试判断当 k 为何值时, l 与 C 有: ① 一个公共点;②两个不同公共点; ③没有公共点.

总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离

相交(一个交点)

相交

思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y ? 4 x , 直线 l 过定 点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?

分析 : 用坐标法解决这个问题 , 只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 , 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.

思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y ? 4 x , 直线 l 过定 点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?

?

几何画板演示

解 由题意, 设直线l的方程为y ? 1 ? k ?x ? 2?.

由方程组
2

y ? 1 ? k ? x ? 2? , y ? 4x ,
2

???


可得 ky ? 4 y ? 4 ? 2k ? 1? ? 0

?1? 当k ? 0时,由方程① 得 y ? 1,
1 把 y ? 1代入 y ? 4 x, 得 x ? . 4
2

?1 ? 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 点 ? ,1 ? . ?4 ?

?2? 当k ? 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由? ? 0, 即 2k ? k ? 1 ? 0, 解得 k ? ?1, 或k ? . 2 1 于是,当k ? ?1, 或k ? 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组???只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由? ? 0, 即 2k ? k ? 1 ? 0, 解得 ? 1 ? k ? . 2 1 于是,当 ? 1 ? k ? 且k ? 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组???只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .
0 2

? ? ?16?2k 2 ? k ? 1?.

1 3 由? ? 0, 即 2k ? k ? 1 ? 0, 解得 k ? ?1, 或k ? . 2 1 于是,当k ? ?1, 或 k ? 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 ??? 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2

综上, 我们可得 1 当k ? ?1, 或 k ? , 或 k ? 0 时 , 直线 l 与抛物线只有 2 一个公共点 ; 1 当 ? 1? k ? , 且k ? 0时 , 直线 l 与抛物线有两个公 2 共点; 1 当k ? ?1 , 或k ? , 时 , 直线 l 与抛物线没有公共点 . 2

课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4 x 仅有一个公共点的 y ? 1或 x ? 0或 y ? x ?1 直线的方程是__________________________.
?y ? k x?1 联立 ? 2 ? y ? 4x

k

消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0

点评:本题用了分类讨论的方法.若先用数 形结合,找出符合条件的直线的条数,就不会 造成漏解。

思考2: 过抛物线 y2=2x的焦点做倾斜角 为450的弦AB,则AB的长度是多少? 答: 4
变1 已知抛物线 y ? 2x 截直线y=x+b所 得弦长为4,求b的值. 答: b=-1/2
2

变2 已知抛物线 y ? 2x 截直线y=kx-1/2 所得弦长为4,求k的值.
2

答: k=1 或 -2/3

(定点问题)

5、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程;
y

(2)证明AB与x轴的交点为定值. A 1 解:(1)设lOA : y ? kx, 则lOB : y ? ? x k . x O F ? M ? y ? kx ? y ? 2 , x ? 2 A A 2 联立? 2 k k B ? y ? 2x 1 ? ?y ? ? x 联立? k ? yB ? ?2k , xB ? 2k 2 ? y 2 ? 2x ? 1 x A ? xB 1 ? 2 2 ? ? k x ? ? ( ? k ) ?2 2 ? ? k k 2 ?? 2 ? 轨迹方程: y ? x ? 2 1 y ? y B ?y ? A ? ?k ? k ? 2

5、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程; (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y

A

(2)设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ).l AB : y ? kx ? b
? y ? kx ? b 联立? 2 ? k 2 x 2 ? (2kb ? 2) x ? b2 ? 0 ? y ? 2x

O F ? M

.

x

B

b2 2b ? x1 x2 ? 2 同理 y1 y 2 ? k k

b 2 2b ? 0 ? b ? ?2k 由OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 即 2 ? k k
?l AB : y ? kx ? 2k 与x轴交点(2,0)

变式1已知直线l:x=2p与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B两点,
求证:OA⊥OB.

证明:由题意得,A(2p,2p),B(2p,-2p)
所以 KOA =1,KOB =-1 因此OA⊥OB
y

A

O
B

C(2p,0)
y2=2px

x

L:x=2 p

变式2: 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 y =2px(p>0)交于A、B 两点,求证:OA⊥OB.
y

2

A

设A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ?

O
B

P(2p,0)
y2=2px

x

设l : x ? my ? 2 p代如y 2 ? 2 px得

l

y ? 2 pmy ? 4 p ? 0
2 2

....................

2 y 变式3: 若直线l与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点,

直线l过定点 (2p,0) 且OA⊥OB ,则_____ _____.
y

A

设A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ?

设l : x ? my ? a代如y ? 2 px得
2

O
B

P
y2=2px

x

y ? 2 pmy ? 2 pa ? 0
2

l

y12 y2 2 ? y1 y2 ? ?2 pa又x1 ? 、x2 ? 2p 2p

? x1 x2 ? a 2

....................

高考链接:过定点Q(2p,0)的直线与
y2 = 2px(p>0)交于相异两点A、B,

以线段AB为直径作圆C(C为圆心),
试证明抛物线顶点在圆C上。
y

A

O
B

Q(2p,0)
y2=2px

x

l

(对称问题): 1 、 若 抛 物 线 y2 ? x 存 在 关 于 直 线 答案 : ? 2 ? k ? 0. k 的取值范围 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对称的两点,求实数

分 析: 假设 存在 关于 直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k ? 0 不合题意,∴ k ? 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.

2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y ? x ? 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长. 点 A、

解:设 AB 的方程为 y=x+b, ?y ? x?b 由? 2 消去 x 得 y2-y+b=0, ?y ? x

设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB ? 1 ? 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=

( y1 ? y1 )2 ? 4 y1 y2 = 2 ? 8b ,
,由 ABCD 为正方形有 2 ? 8b =

4?b 2

4?b 2

,

解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .

(中点问题) 1、已知抛物线C:y2=4x,设直线与抛物线两 交点为A、B,且线段AB中点为M(2,1),求 直线l的方程.
说明:中点弦问题的解决方法:
①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法

2、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交 于A、B,求AB中点的轨迹方程.
y

解: 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y)
2 ? y ? 1 ? 2 x1 y1 ? y2 2 由? 2 相减得: ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 y1 ? y2 ? y2 ? 2 x2
?

?

A

O

.

M? Q

F
?

x
B

? k AB
又k AB

1 ? y

y ?1 ? x?2

1 y ?1 ? ? 即y 2 ? y ? x ? 2 ? 0 y x?2

当x1 ? x2 =2时, ( x, y)为(2,0)满足y2 ? y ? x ? 2 ? 0

?中点M轨迹方程为: y 2 ? y ? x ? 2 ? 0

(最值问题) 1、在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L: 4x+3y+46=0的距离最短,并求此距离.
解:直线与抛物线无交点设抛物线上一点P( x0 . y0 ),
则y0 2 ? 64x0
y0 2 将x0 ? 代入得: 64 2 y0 ? 3 y0 ? 46 2 y ? 48y0 ? 16? 46 d ? 16 ? 0 , ( y0 ? R ) 5 80

4 x0 ? 3 y0 ? 46 4 x0 ? 3 y0 ? 46 d ?| |? 5 16 ? 9

y

O

.

F

x

?当y0 ? ?24时, d min ? 2 此时P(9,?24)
另解: 设直线4 x ? 3 y ? m ? 0与抛物线相切

? y 2 ? 64x y2 ? ? 3y ? m ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? m ? 0 16

由? ? 0得 : m ? 36

2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的 最小值. 解:设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
设l AB : y ? kx ? b
y
M A F

B

2 1 k 由弦长 | AB |? 1 ? k 2 k 2 ? 4b ? 2 ? b ? ? 2 1? k 4 y1 ? y2 x1 ? x2 k2 ? y0 ? ? k( )?b? ?b 2 2 2

? y ? kx ? b 2 ? x ? kx ? b ? 0 ? 2 ?y ? x

o

x

k2 1 1? k 2 1 1 1 3 ? y0 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? (当k ? ?1时,取等号 ) 2 2 4 1? k 4 1? k 4 4 4
? y0 min ? 3 4

1 此时 l AB : y ? ? x ? 4

2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的 最小值. 解法二: 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
2 MN ? AD ? BC , MN ?
1 AD ? BC ? 2( ? y0 ) 4
1 AF ? BF ? 2( ? y0 ) 4
p 1 ? y0 ? ? y0 , 2 4
A D

y
M F

B

o
N C

x

AD ? AF , BC ? BF

?ABF中, AF ? BF ? AB ? 2

?(| AF | ? | BF |) min ? 2

即y0 min

3 ? 4

练习

1、求焦点为F (?2,3),准线方程为y ? 5的抛物线方程.
y

解:设P( x, y)是抛物线上任意一点
则由抛物线的定义知:
?

.
P

F

O

x

P到F的距离等于到直线 y ? 5的距离
即 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ?| y ? 5 |

化简得: ( x ? 2)2 ? ?4( y ? 4)

2、设P是曲线y 2 ? 4( x ? 1)上一动点,则点P到 点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是?
解:曲线y 2 ? 4( x ? 1)表示顶点在(1,0) 焦点到准线的距离为 2的抛物线
所以抛物线的准线:x ? 0, 焦点:F (2,0)
? d ?| PF |
y

d

P?

A?
O

?

.

F

x

又 | PA | ? | PF |?| AF |

?当A, P, F共线时, (| PA | ? | PF |) min ?| AF |

?(| PA | ?d )min ?| AF |? 5

3、过抛物线y ? ax 2 (a ? 0)的焦点F作一直线交抛物线 1 1 于P、Q两点,若线段PF , QF的长度分别是p, q,则 ? ? ? p q y 1 2 抛物线:x ? y a ?
1 焦点:F (0, ) 4a 1 准线:y ? ? 4a
答案:4a

?x1 , y1 ? Q . F
?

P?x 2 , y2 ?

O

x


推荐相关:

2.4.2抛物线的简单几何性质(第1-3课时)好_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(第1-3课时)好 - 抛物线的几何性质 (1)

2.4.2抛物线的简单几何性质(第2-3课时)好-理科_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(第2-3课时)好-理科 - 2.3.2抛物线的简 单几何性质(2) 高二数学 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 复习: 图形 y l O F 1...

2.4.2抛物线的简单几何性质(第2-3课时)好-理科资料_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(第2-3课时)好-理科资料 - 2.3.2抛物线的简 单几何性质(2) 高二数学 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 复习: 图形 y l O F...

2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时) - 抛物线的几何性质 (1) 一.抛

2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时_图文.ppt

2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时_数学_初中教育_教育专区。2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之...

2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时) (1)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时) (1)_数学_高中教育_教育专区。抛物线的简单几何性质 抛物线的几何性质 (1) 1、抛物线定义在平面内,与一个定点F和一条定...

2.4.2抛物线的简单几何性质(1-3)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(1-3) - X §2.4.2 抛物线的简单几何性质(1-2) 一、温故知新 定义:在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)...

高中数学2.4.2抛物线的简单几何性质(3课时)学案新人教A....doc

高中数学2.4.2抛物线的简单几何性质(3课时)学案新人教A版选修2-1 - 2.4.2 抛物线的简单几何性质(3 课时) 【学习目标】 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、...

2.4.2抛物线的简单几何性质(第一课时)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(第一课时) - (第一课时) 一、温故知新 (一

2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何....ppt

2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 课件(共25张ppt)_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何...

2.4.2抛物线的简单几何性质(朱欢,第一课时)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(朱欢,第一课时) - 抛物线的几何性质 (1) 一.抛物线的简单性质 1.范围 : x ? 0, y ? R. 2.关于x轴对称, 我们把抛物线的...

2.4.2抛物线的简单几何性质1_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质1 - (第一课时) 一、温故知新 (一) 抛物线

2.4.2抛物线的简单几何性质教学设计.doc

2.4.2抛物线的简单几何性质教学设计 - 问题一 抛物线的几何性质有哪些?(设计意图:让学生充分认识抛物线) (师生活动:结合图像,各组研讨,最好教师归纳小结) 问题1:...

2.4抛物线的简单几何性质(第一课时)_图文.ppt

2.4抛物线的简单几何性质(第一课时) - 2.4抛物线的几何性质 第一课时 一、复习回顾: 1.抛物线的定义: 平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过 点F )的...

2.4.2抛物线的简单几何性质(朱欢,第二课时)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(朱欢,第二课时) - 授课人:朱欢 授课班级:高

2.4.2 抛物线的简单几何性质 学案(人教A版选修2-1).doc

2.4.2 抛物线的简单几何性质 课时目标 1.了解抛物线的几何图形,知道抛物线的简单...2 第 1 页共 7 页 ) 4 D.x2= y 3 2.若抛物线 y2=2px (p>0)上...

(定稿)2.4.2_抛物线的简单几何性质(1)解析_图文.ppt

(定稿)2.4.2_抛物线的简单几何性质(1)解析 - §2.4.2 抛物线的简单几何 性质(1) 、温故知新 定义:在平面 内,与个定点 F和条定直 线l(l不经过点...

...选修2-1练习:2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质(含....doc

【金版学案】高中数学人教A版选修2-1练习:2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质(含答案解析) - 第二章 圆锥曲线与方程 抛物线 2.4 2.4.2 第 1 课时 抛物线的...

2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质答案.doc

2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质答案 - 2.4.2 一、选择题 抛物线的简单几何性质一 ) 1.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则...

...2.4.2.1抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1....ppt

抛物线的简单几何性质 标准方程 y2=2px (p> 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 问题 1.抛物线有哪些简单几何性质? 引航 2.如何判断...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com