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2019届高三第一次联考数学(理)答案_图文

金学导航·联考版·起点卷 数学( 理) ·参考答案
2 0 1 9 1 . B ( 解析: ?z = 1+ i = 1- i , ? 虚部为 - 1 , 故选 B . ) 2 . C ( 解析: A 、 D显然正确, ? M ={ 0 , m , 4 } , M∩ N = { 2 } , ? m= 2 , 则 B正确, 故选 C . ) 3 . C( 解 析: ? ξ N( 0 , 1 ) , ? μ =0 , , σ =1 则P (- 2< ) =0 .9 5 4 4 ,? P (ξ > 2 )= ξ ≤2 1- 0 . 9 5 4 4 = 0 . 0 2 2 8 , 故选 C . ) 2 2 2 4 . C ( 解 析: ?a , a , ?a , a 5 , 又 1 =1 2 =5 1 =1 2 =2 2 2 a } 是等差数列, ?a 4 9 , ?a 0 , ?a 7 , 故 { n n> 3= 3= . ) 选C 2 2 x y 5 . C( 解 析: 由 + =1 ( 0<m <9 )得, c= 9 m m , ?2 槡 9- m= 2 5 , 则 m= 4 , ?抛物线 y = 9- 槡 槡 12 2 4 y , 则准线方程为 y =- 1 , 故选 C . ) x 即为 x = m 6 . B ( 解析: 由题意知, 不到蓬莱 ? 不成仙, ?成仙 则“ 到蓬莱” 是“ 成仙” 必要条件, 故选 ?到蓬莱, B . )  7 . B ( 解 析: 作出可行域如图所 

2 2 示, 目标 函 数 z =槡 x + y 的最   0 , 0 )到 直 线 小值即为原点 ( x + y = 2的距离槡 2 , 故选 B . )    8 . D ( 解析: 由三视图知, 该几何  体是半个圆柱中挖去一个三棱 柱后得到的几何体, 圆柱的底面半径为 2 , 高为 4 , 1 2 ?体积为 V · π? 2? 4= 8 , 三棱柱的底面 π 1= 2 1 为等腰直角三角形, 面积为 S= ? 4? 2= 4 , 高为 2 4 , ?体积为 V 4? 4= 1 6 , 则该几何体的体积为 2= V V 8 ( 2 ) , 故选 D . ) π- 1- 2= 2 2 2 9 . B ( 解析: 由题意知, a = 2 x d x = x | 3 , 因此, 由 ? 1 1= 程序框图得, k = 3 , s = 0 =- 3 , s = 0- 3=- 3 , k ?b = 5 =- 5 , s =- 3- 5=- 8 , k = 7 =- 7 , s = ?b ?b - 8- 7=- 1 5 , k = 9 9 , 此时, 应不满足条 ? b=- =- 1 5 , 故选 B . ) 件, 结束程序输出结果 s 2 x 1 0 . A ( 解析: ?f (-x )= -x x =-f ( x ) , ? 函数 2 - 2 4 1 6 f ( x ) 为奇函数, 排除 B 、 D , 又f ( 2 )= 1 , = > 1 1 5 4- 4 故排除 C , 故选 A . ) 1 1 . B ( 解析: ? 直线 x s i n A+y s i n B+s i n C=0与圆 | s i n C | 2 2 2 x+ y =1相 切, ? =1 , 即s i n A+ 2 2 s i nB s i nA+ 槡 2 2 2 2 2 s i n B= s i n C , 由正弦定理知, a +b =c , ? △A B C 为直角三角形, 故选 B . )

? 1 数学( 理) ?金学导航·联考版

3 1 2 . C ( 解 析: ?直线 l 的 斜 率 为槡, ? ∠P F F 1 2= 3 3 0 ? , 由双曲线的对称性知, Q F Q F , 又 Q为 P F 1= 2 1 的中点, 则 △P F F 为直角三角形, ? P Q = Q F 1 2 1= 43 Q F P F , ?| F F = 2 c , ?| P F = 槡c , | P F = 2= 2 1 2| 1| 2| 3 2 3 43 槡 c , 由双曲线的定义知, | P F -| P F = 槡c - 1| 2| 3 3 2 3 槡 c = 2 a , 即c = 3 a , 设△Q F F 1 2 的外接圆的半径为 槡 3 2 c R , 由正弦定理得, = 2 R , ? R= 4 , ?c = 2 3 , 槡 s i n 1 2 0 ?
2 2 = 2 , ?b =槡 c - a = 2 2 , 则双曲线的虚轴长为 则a 槡 4 2 , 故选 C . ) 槡 1 3 . 0 ( 解析: ?| a | =| b | , ?( a+b ) ·( a-b )= 2 2 2 2 a - b =| a | -| b | = 0 . ) 1 9 1 4 . - 2 (解 析: 由 茎 叶 图 知, n = 1+ 1 2+ 1 1+ 2 0+ 2 0+ 3 2 =1 6 , ? 二项式展开式为 6 1 6 2 1 5 1 6 1- 2 x ) =a a x+a x +… +a a ( 0+ 1 2 1 5x + 1 6x , 1 5 1 5 1 9 ?a a C (- 2 ) =- 2. ) 1 6 n - 1= 1 5= 3- 3 1 5 . 槡( 解析: ? 四面体 A B C D中, A B , A C , A D两 3 B= A C= A D , ? △B C D为等边三角形, 两垂直, 且A 1 1 且边长为 2 2 , 四面体的体积为 V= ? ? 2? 2 槡 3 2 4 ? 2= , 设四面体 A B C D的内切球球心为 O , 半径 3 为r , 四面体的表面积为 S , 根据等体积法得, V A B C D 1 = V V V V S ·r , 又表 O- A B C+ O- A B D+ O- A C D+ O- B C D= 3 1 3 2 槡 面积为 S = 3? ? ? ( 2 2 ) = 6+ 2 3 , 2? 2+ 槡 槡 2 4 4 1 3- 3 ? = ? ( 6+ 2 3 ) r , 解得 r = 槡. ) 槡 3 3 3  1 6 . 5 ( 解析: ?f ( x + 1 ) 为奇 函数, ? 函数 f ( x ) 的图象 关于点( 1 , 0 ) 对称, 又f ( x )  为 定 义 在 R 上 的 函 数,    ?f ( 1 )= 0 , 函数 h ( x )= f ( x )- g ( x ) 的所有 零 点 即 为 y=f ( x ) 的 图 象 与 y= g ( x ) 的图 象 的 交 点, 作 出 它 们 的 图 象 如 图 所 示, ?g ( x )= k ( x - 1 ) 过定点( 1 , 0 ) , ?x = 1为其中一 个零点, 由f ( x ) 的图象关于点( 1 , 0 ) 对称知, 其它 4 个零点之和为 4 , ?所有零点的和为 5 . ) π 1 7 . 解: ( 1 ) f ( x )= t a n x s i n ( x + ) 2 s i n x = ·c o s x = s i n x , c o s x

? 2 数学( 理) ?金学导航·联考版

1 1 ?f ( )=- , ?s i n =- , θ θ 2 2 π π 又- < < 0 , ?θ =- ;  ( 4分) θ 2 6 2 x - 1= c o s ( 2 ) ?g ( x )= 2 c o s x , 2 ?由( 1 ) 知, h ( x )= f ( x )+ g ( x ) π = s i n x + c o s x = 2 s i n ( x + ) ,  ( 7分) 槡 4 π π π π ?x 0 , ] , ?x + ∈[ , ] , ∈[ 4 4 4 2 2 π 则槡 ≤s i n ( x + ) , ≤1 2 4 2 π 槡 = 1 . ?在区间[ 0 , ] 上h ( x ) 的最小值为槡 2? 4 2 1 0分)  ( 1 8 . 解: ( 1 ) 由题设知, 使用支付宝的乘客数为 3 0 0? 6 0 %= 1 8 0人, 1 ?不使用支付宝且为中青年人的概率为 , 1 0 1 ?不使用支付宝的中青年人数为 3 0 0? = , 3 0 1 0 2分)  ( 则 2? 2列联表如下: 支付宝用户 非支付宝用户 合计 老年人组 6 0 9 0 1 5 0 中青年人组 1 2 0 3 0 1 5 0 合计 1 8 0 1 2 0 3 0 0 2 0 0 ( 6 0? 3 0- 1 2 0? 9 0 ) 2 3 ?K = . 8 2 8 , = 5 0> 1 0 1 5 0? 1 5 0? 1 8 0? 1 2 0 故有 9 9 . 9 %的把握认为使用支付宝付费与年龄有 关.  ( 6分) ( 2 ) 把频率作为概率, 从所有无现金支付乘客中抽 可以近似看作 3次独立重复实验, 取 3人, ?X的取值依次为 0 , 1 , 2 , 3 , 2 则 X服从二项分布 B ( 3 , ) , 3 2 3 1 0 P ( X= 0 )= C ( 1- ) = , 3 3 2 7 2 2 6 1 2 P ( X= 1 )= C · ( 1- ) = , 3 3 3 2 7 2 2 1 2 2 2 P ( X= 2 )= C ·( ) ( 1- )= , 3 3 3 2 7 2 8 3 3 P ( X= 3 )= C ·( ) = ,  ( 1 0分) 3 3 2 7 ?X的分布列为: X 0 1 2 3 6 1 2 8 1 P 2 7 2 7 2 7 2 7 1 6 1 2 8 故E X= 0? + 1? + 2? + 3? = 2 .  2 7 2 7 2 7 2 7 1 2分)  ( ? 3 数学( 理) ( 见背面) ?金学导航·联考版

1 9 . 解: ( 1 ) 由三角形数阵知, a 1 , a a 2 , 1= 2- 1= a - a = 4 , …, a - a = 2 ( n - 1 ) ( n 2 , n N , ≥ ∈ ?) 3 2 n n - 1 a - a = 2+ 4+ … + 2 ( n - 1 ) = n ( n - 1 ) , 累加得, n 1 2 ?a n- n + 1 ( n ) , ≥2 n= ?a 1也满足上述等式, 1= 2 ? ?a n - n + 1 ( n ) ;  ( 4分) ∈N n= 由题设知, b = a = 7 , 设数列{ b } 的公差为 d , 4 3 n 则b 3 d = 7 , ?① 1+ 1 0 1 0? 9 ?∑b 1 0 0 , ?1 0 b d = 1 0 0 , n= 1+ n = 1 2 9 即b = 1 0 , ?② 1+ d 2 由①②解得, b 1 , d = 2 , ?b 2 n - 1 ; ( 8分) 1= n= 1 1 ( 2 ) 由( 1 ) 知, c =2 n= a b n + 1+ 2 n - 1 n+ n n- 1 1 1 1 =2 = = - , ( n + 1 ) n n + 1 n+ n n 1 1 1 1 ?T c c …+ c ( - )+ ( - )+ … n= 1+ 2+ n= 1 2 2 3 1 1 1 n + ( - )= 1- . ( 1 2分) = n n + 1 n + 1 n + 1 2 0 . ( 1 ) 证明: 连结 C D , 1 ?D为棱 A B 1 1 的中点, 且 G为△A B C 1 1 1 上的重心, C G 1 ?C D一定过点 G , 且 = 2 , 2分)  ( 1 G D C H 1 1 ?C H= H C , ? = 2 , 1 2 H C C G C H 1 1 则 = , ?G H C , ∥D G D H C ?D C C D , G H C D , ?平面 B ?平面 B ?G H 平面 B C D ; 5分) ∥  ( # ( 2 ) 解: 取A B的中点 O , 连结 O D , & 由 题 设 知,O D⊥ 平 面 A B C , $ * O C B , 以 O 为 原 点, O B , O C , ' ⊥A % O D所在直线分别为 x , y , z 轴建立 ) 空间直角坐标系 O- x y z , $ " 3 & 如图所示; 由题设知, B ( , 0 , 0 ) , 2 ( 3 3 % 槡, B ( , 0 , 3 ) , G ( 0 , 3 ), 1 ! 2 2 33 H ( 0 , 槡, 1 )  ( 8分) 2 ?→ ?→ 3槡 3 333 ?B G= (- , , 0 ) , B H= (- , 槡 , - 2 ) , 1 1 2 2 2 2 设平面 B G H的法向量为 n= ( x , y , z ) , 1 3 槡 3 ?→ - x + y = 0 n ·B G= 0 2 2 1 由 得, , ?→ n ·B H= 0 3 3 3 1 - x + 槡y - 2 z = 0 2 2

{

{

? 4 数学( 理) ?金学导航·联考版

3 = 1 , 则y = 3 , z = , 取x 槡 2 3 ?平面 B G H的一个法向量为 n= ( 1 , 3 , ) , 1 槡 2 1 0分)  ( ?→ 3槡 3 又B G= (- , , 3 ) , 2 2 ?→ ?→ B G ·n | ?| c o s < B G , n>| =|?→ | B G | ·| n | 3 3 3 | - + 3 ·槡 + ·3 | 33 2 槡 2 2 = 槡, = 1 0 9 9 3 1+ 3+ · + + 9 4 4 4 33 即直线 B G与平面 B G H所成角的正弦值为 槡 . 1 1 0 1 2分)  ( 2 1 . ( 1 ) 解: 设F (- c , 0 ) , F ( c , 0 ) , ?M( 2 , 3 ) , 1 2 槡 ?→ ?→ ?F F F M= (- 2 c , 0 )+ ( 2- c , 3 ) 2 1+ 2 槡 ?→ = ( 2- 3 c ,3 ) , FM = ( 2+ c , 3 ) , 槡 ?→ 槡 ?→ 1 ?→ ?( F F + F M ) F M , ⊥ 2 1 2 1 ?( 2- 3 c , 3 ) ·( 2+ c , 3 )= 0 , 槡 槡 2- 3 c ) ( 2+ c )+ 3= 0 , 解得, c = 1 , 2分) 即(  ( ?四边形 B F B F 1 2 2 1 为正方形, 2 2 2 ?2 b = 2 c , 则b = 1 , ?a = b + c = 2 , 2 x 2 故椭圆的标准方程为 + y= 1 ; ( 4分) 2 ( 2 ) 证明: 由题设知, 直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y = k x + m , y = k x + m 2 由 x 2 消去 y 得, y= 1 + 2 2 2 2 2 k + 1 ) x + 4 k m x + 2 m - 2= 0 , ( 2 2 2 2 1 6 km - 4 ( 2 k+ 1 ) ( 2 m - 2 )> 0 , 则 Δ= 2 2 ?m < 2 k+ 1 , ?( 7分) ?)  ( 设P ( x , y ) , Q ( x , y ) , 1 1 2 2 2 - 4 2 k m m - 2 则x x , x x , 1+ 2= 2 1 2= 2 2 k+ 1 2 k+ 1 1 ) 知, A (- 2 , 0 ) , 由( 槡 y y k x m k x m 1 2 1+ 2+ = ?k k · · 1 2= x 2 x 2 x 2 x 2 1+ 2+ 1+ 2+ 槡 槡 槡 槡 2 2 k x x + k m ( x + x ) + m 1 2 1 2 = x x 2 ( x x )+ 2 1 2+ 1+ 2 槡 2 m - 2 - 4 k m 2 2 2 k· 2 + k m · 2 + m 2 k+ 1 2 k+ 1 = 2 2 m - 2 - 4 k m + 2 · 2 + 2 槡 2 2 k + 1 2 k+ 1 2 2 m - 2 k 1 = 2 =- , ( 1 0分) 2 6 2 m- 4 2 k m+ 4 k 槡





{

? 5 数学( 理) ?金学导航·联考版

2 2 k + 2 k m- 2 m = 0 , 即2 槡

2 槡 解得, k = m或 k =- 2 m , 槡 2 2 2 槡 槡 当k = m时, 直线 l 的方程为 y = m x + m , 此时, 2 2 过左顶点 A (- 2 , 0 ) , 不合题意舍去, 直线 l 槡 当k =- 2 m 时, 直线 l 的方程为 y =- 2 m x +m , 槡 槡 2 槡 过定点( , 0 ) .  ( 1 2分) 此时, 直线 l 2 2 2 . ( 1 ) 解: 当a = 1时, 2 f ( x )= l n x - x + 2 x , x 3 , + , ∈[ ?) 1 1 2 ?f ? ( x )= - 2 x + 2 , 则f ? ( )= x - + 2 , x x x 1 3 故g ( x )= f ? ( x )- f ? ( )+ m= - 3 x + m ,  x x 2分)  ( 3 ?g ? ( x )=- 2 - 3< 0 , x ?函数 g ( x ) 在[ 3 , + 上单调递减, ?) 则函数 g ( x ) 的最大值为 g ( 3 )= 1- 9+ m= m- 8 ( x ) 的最大值小于 0 , ?函数 g ?m- 8< 0 , 即 m< 8 , ?m的取值范围是(- 8 ) ;  ( 4分) ?, 2 ( 2 ) 证明: 若a =- 1 , 则f ( x )= l n x - x , x 2 2 x 2 ?f ( x )< e - x - 2即为 l n x - x < e - x - 2 , x 即证当 x > 0时, e - l n x - 2> 0 ,  ( 5分) x 令h ( x )= e - l n x - 2 , 1 x 则h ? ( x )= e - , x > 0 , 令F ( x )= h ? ( x ) , x 1 x ?F ? ( x )= e + 2> 0 , x ?F ( x ) 在( 0 , + 单调递增, ?) 1 ?F ( )= e - 2< 0 , F ( 1 )= e - 1> 0 , 2 槡 ?函数 F ( x ) 在( 0 , + 上有唯一零点 x , ?) 0 1 1 x 0 且 < x< 1 , 由F ( x )= 0得, e = , ( 8分) 0 x 2 0 0 当x 0 , x ) 时, h ? ( x )= F ( x )< 0 , ∈( 0 ?h ( x ) 单调递减, x , + 时, h ? ( x )= F ( x )> 0 , 当x ∈( ?) 0 ?h ( x ) 单调递增, ?函数 h ( x ) 的极小值为 1 x 0 h ( x )= e - l n x 2= + x 2 , 1 0分)  ( 0 0- 0- x 0 1 1 1 < x< 1 , ? + x 2> 2 ·x 2= 0 , 0- 0- 2 0 x x 0 0 即h ( x )> 0在( 0 , + 恒成立, ?) x 2 ?当 x > 0时, f ( x )< e - x - 2 .  ( 1 2分) ?



? 6 数学( 理) ?金学导航·联考版


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