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人教A版高中数学必修一《1.2函数及其表示 》课件


§1.2.1 函数的概念
学习目标

1、正确理解函数的概念,体会对应关系在刻画函数概 念中的作用。 2、通过实例领悟构成函数的三个要素;会求一些简单 函数的定义域和值域。 3、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培 养学生的抽象概括能力。

学习过程

一、【回忆过去】

1、初中学习的函数概念是什么?

设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对于x的每一个值,y都有惟一的值与 它对应,则称x是自变量,y是x的函数;其 中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域, 和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值 域。

2、请问:我们在初中学过哪些函数?

正比例函数:y ? kx(k ? 0)

一次函数:y ? kx ? b(k ? 0)
二次函数:y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

k 反比例函数:y ? (k ? 0) x

3、请同学们考虑以下两个问题:
(1) y ? 1是函数吗? x ( 2 )y ? x与y ? 是同一个函数吗? x
2

显然,仅用初中函数的概念很难回答 这些问题。因此,需要从新的高度认 识函数。

二、【新课探究】

环节1:实例
(1)一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮 弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随 时间t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2
(*)

炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距 地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845} 从问题的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间 t,按照对应关系(*),在数集B中都有惟一的高度h和它 对应。

(2) 近几十年来,大气中的臭氧迅速减少,因 而出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了 南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变 化情况: 根据下图中的曲线可知,时间t的变化范围是数 集A ={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集B ={S|0≤S≤26}.并且,对 于数集A中的每一个时刻t,按照图中的曲线, 在数集B中都有惟一确定的臭氧层空洞面积S和 它对应.

(3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活 质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。下表中 恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计划 以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

请仿照(1)、(2)描述恩格尔系数和时 间(年)的关系。 问题:三个实例有什么共同点和不同点?

不同点

实例(1)是用解析式刻画变量之间的对应关系,
实例(2)是用图象刻画变量之间的对应关系,

实例(3)是用表格刻画变量之间的对应关系;
共同点

(1)都有两个非空数集

(2)两个数集之间都有一种确定的对应关系

环节2:函数的定义

归纳以上三个实例,我们看到,三个实 例中变量之间的关系可以描述为:

对于数集A中的每一个x,按照某种对 应关系f,在数集B中都有惟一确定的y和 它对应,记作
f: A→B.

函数的定义:设A、B是非空数集,如果按 照某种对应关系f,使对于集合A中的任意一个 数x,在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对 应,那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一 个函数, 记作 y=f(x) , x∈A

x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定 义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

环节3:回顾已学函数

初中各类函数的对应法则、定 义域、值域分别是什么?

函数

对应法则

定义 域

值域

正比例 函数
反比例 函数

y ? kx( k ? 0)

R

R
{ y | y ? 0}

k y ? ( k ? 0) {x | x ? 0} x
y ? kx ? b ( k ? 0)

一次函数

R

R
4ac ? b 2 a ? 0时{ y | y ? } 4a 4ac ? b 2 a ? 0时{ y | y ? } 4a

y ? ax2 ? bx ? c 二次函数 (a ? 0)

R

问 题

(1)试说明函数定义中有几个要素?
定义域、值域、对应法则

①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要 素,是一个整体; ②值域由定义域、对应法则惟一确定;

③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是 表示“y等于f与x的乘积。

判断正误

1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与 之对应 √ 2、函数的定义域和值域一定是无限集合

×

3、定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定 √ 4、若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一 个元素 √ 5、对于不同的x , y的值也不同

×

6、f (a)表示当x = a时,函数f (x)的值,是一个常量√

问题:

(2)如何判断给定的两个变量之间 是否具有函数关系?

①定义域和对应法则是否给出?

②根据所给对应法则,自变量x在其定义域 中的每一个值,是否都有惟一确定的一个函 数值y和它对应。

判断下列对应能否表示y是x的函数

(1) y=|x| (3) y=x 2 (5) y2+x2=1
(1)能 (4)不能 (2)不能

(2)|y|=x (4)y2 =x (6)y2-x2=1
(3)能 (6)不能

(5)不能

判断下列图象能表示函数图象的是( D )
y y x

0

0

x

(A) y

(B)
y

0

x

0 (D)

x

(C)

环节4:区间的概念
请阅读课本P17关于区间的内容

设a,b是两个实数,而且a<b, 我们规定:
(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间, 表示为 [a,b]

(2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间, 表示为 (a,b) (1)、满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间,表示为 [a,b)或(a,b]

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。

实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作 “无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合 分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).

注意:①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值 域经常用区间表示用③实心点表示包括在区间内的端 点,用空心点表示不包括在区间内的端点。
试用区间表示下列实数集

(1){x|5 ≤ x<6}
(2) {x|x ≥9}

[5,6) [9,?? ) ( ??,?1] ? [?5,2) ( ?? ,?9) ? ( ?9,20)

(3) {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
(4) {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}

三、【例题演示】 【例1】已知函数 f ( x ) ? 求函数的定义域
解:要使函数有意义,
只要 x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ? x ? ?3且x ? ?2 x?2?0 x ? ?2
1 x?3? x?2

?

?

所以f ( x )的定义域为 { x | x ? ?3,且x ? ?2}

注意 ①研究一个函数一定在其定义域内研究,所以求 定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域 常常由其实际背景决定,若只给出解析式时,定 义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.

求下列函数的定义域 (1)
1 f (x) ? x? | x |

(2)

1 1? x (4) 4 ? x2 f (x) ? x ?1

f (x) ?

1

(5) f (x) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1

探究结论
(1)如果y=f (x)是整式,则定义域是 实数集R

(2)如果y=f (x)是分式,则定义域是 使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式,则定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的,则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集) (5)如果是实际问题,是使实际问题有意义的实数的集合

【例2】已知函数 f ( x ) ?

1 x?3? x?2

(2)求

2 f ( ?3)、f ( ) 的值 3

(3)当 a ? 0 时,求 f (a )、f (a ? 1) 的值
自变量x在其定义域内任取一个确定的值 a 时,对 应的函数值用符号 f (a) 表示。

已知函数f ( x) ? 3 x ? 2 x ? 3
2

(1)、求f (2), f ( ?2), f (2) ? f ( ?2) (2)、求f ( a ), f ( ?a ), f (a ) ? f ( ?a )

问题:如何判断两个函数是否相同?
【例3】 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数?

(1) y ? ( x )
(3) y ? x
2

2

( 2) y ? x 2 x ( 4) y ? x

3

3

练习:P19练习3

四、【要点小结】
1.函数的概念:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟 一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集 合 B的函数。 定义域 定义域 决定 值域 2.函数的三要素 ? 值域 对应法则 对应法则f 3.会求简单函数的定义域和函数值 4.理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式转化为区间。


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