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2014届高三数学一轮复习《曲线与方程》理 新人教B版


[第 52 讲

曲线与方程]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 2 2 2 2 1.与两圆 x +y =1 及 x +y -8x+12=0 都外切的圆的圆心在( A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上

)

2. [2013·北京朝阳区一模] 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线的离心率 e= 其焦点到渐近线的距离为 1,则此双曲线的方程为( A. -y = 1 2 )

6 , 2

x2 x2

2

B. - =1 2 3
2 2

x2 y2

C. -y =1 D.x -y =1 4 3.已知点 O(0,0),A(1,-2),动点 P 满足|PA|=3|PO|,则 P 点的轨迹方程是( ) 2 2 A.8x +8y +2x-4y-5=0 2 2 B.8x +8y -2x-4y-5=0 2 2 C.8x +8y +2x+4y-5=0 2 2 D.8x +8y -2x+4y -5=0 4.[2013·皖北协作区联考] 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在棱 AB 上,AM= 1 8 ,点 P 是平面 ABCD 内的动点,且点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到 M 的距离的平方差为 , 3 9 则 P 点的轨迹是________.

2

能力提升 5.已知两定点 F1(-1,0),F2(1,0)且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的 轨迹方程是( ) A. B. + =1 16 9 + =1 16 12

x2 x2

y2

y2

C. + =1 4 3 D. + =1 3 4 6.[2013·德州模拟] 已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满 → → → → 足|MN|·|MP|+MN·NP=0,则动点 P(x,y)的轨迹方程是( )

x2 y2 x2 y2

A.y =8x B.y =-8x 2 2 C.y =4x D.y =-4x → → x 7.已知两定点 A(1,1),B(-1,-1),动点 P(x,y)满足PA·PB= ,则点 P 的轨迹 2 是( ) A.圆 B.椭圆 C. 双曲线 D.拋物线 8.[2013·南平适应性测试] 已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M,N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为( ) A.x - =1(x<-1) 8 B.x - =1(x>1) 8 C.x + =1(x>0) 8 D.x - =1(x>1) 10 9.已知 A (0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点 作过 A,B 的椭圆,椭圆的 另一个焦点 F 的轨迹方 程是( ) A.y - =1(y≤-1) 48 B.y - =1 48 C.y - =-1 48 D.x - =1 48 → → 10.已知直线 l:2x+4y+3=0,P 为 l 上的动点,O 为坐标原点.若 2OQ=QP,则点 Q 的轨迹方程是________. 11.F1,F2 为椭圆 + =1 的左,右焦点,A 为椭圆上任一点,过焦点 F1 向∠F1AF2 的外 4 3 角平分线作垂线,垂足为 D,则点 D 的轨迹方程是________. 2 12.设过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,且 AB 中点为 M,则点 M 的轨迹方程是________. 13.[2013·北京卷] 曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等 2 于常数 a (a>1)的点的轨迹,给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 2 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于 a . 2 其中,所有正确结论的序号是________. 14.(10 分)[2013·安徽卷] 如图 K52-1,设 λ >0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛 → → 2 物线 y=x 上运动,点 Q 满足BQ=λ QA,经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P → → 满足QM=λ MP,求点 P 的轨迹方程.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

y2 y2 y2

y2

x2 x2 x2 y2

x2 y2

图 K52-1

15.(13 分)[2013·茂名二模] 如图 K52-2,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点 1 a 分别是 F1(-c,0),F2(c,0),离心率为 ,椭圆上的动点 P 到直线 l:x= 的最小距离为 2, 2 c → → → 延长 F2P 至 Q 使得|F2Q|=2a,线段 F1Q 上存在异于 F1 的点 T 满足PT·TF1=0. (1)求椭圆的方程; (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)求证:过直线 l:x= 上任意一点必可以作两条直线与 T 的轨迹 C 相切,并且过两 切点的直线经过定点.
2

x2 y2 a b

a2 c

图 K52-2

难点突破 16.(12 分)已 知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 l1:x-y-2 2=0 相切. (1)求圆的标准方程; → → → (2)设点 A 为圆上一动点, AN⊥x 轴于 N, 若动点 Q 满足OQ=mOA+(1-m)ON(其中 m 为非 零常数),试求动点 Q 的轨迹方程 C2; 3 (3)在(2)的 结论下,当 m= 时,得到曲线 C,与 l1 垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B,D 2 两点,求△OBD 面积的最大值.

课时作业(五十二) 【基础热身】 2 2 1.B [解析] 圆 x +y -8x+12=0 的圆心为(4,0),半径为 2,动圆的圆心到(4,0) 减去到(0,0)的距离等于 1,由此可知,动圆的圆心在双曲线的一支上.

x2 y2 2.A [解析] 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),双曲线的焦距为 2c,双曲线的渐 a b c 6 |bc| 近线方程为 bx±ay=0.根据已知 = , 2 2=1,解得 b=1,a= 2,c= 3,故所求 a 2 a +b 2 x 2 的双曲线方程是 -y =1.
2 3.A [解析] 设 P 点的坐标为(x,y),则 (x-1) +(y+2) =3 x +y ,整理, 2 2 得 8x +8y +2x-4y-5=0.
2 2 2 2

4.抛物线 [解析] 如图. 以点 A 为坐标原点建立直角坐标系, 设 P(x, y),则 P 到 A1D1 2 2 ?x-1? +y2,根据已知得 1+x2-?x-1? -y2=8, 2 的距离为 1+x ,P 到点 M 的距离为 ? 3? ? 3? 9 ? ? ? ? 2 2 化简即得 y = x,故点 P 的轨迹为抛物线. 3 【能力提升】 5.C [解析] 由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知|PF1|+|PF2|=4,故动点 P 的轨迹 是 以定点 F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,长轴长为 4 的椭圆,故其方程为 + =1. 4 3 → → → → 2 2 6.B [解析] 根据|MN|·|MP|+MN·NP=0 得 4 (x+2) +y +4(x-2)=0,即(x 2 2 2 2 +2) +y =(x-2) ,即 y =-8x. → → 7.B [解析] 点 P(x,y),则PA=(1-x,1-y),PB=(-1-x,-1-y). → → 2 2 所以PA·PB=(1-x)(-1-x)+(1-y)(-1-y)=x +y -2. 由已知 x +y -2= ,即 + =1,所以点 P 的轨迹为椭圆,故选 B. 2 4 2 8.B [解析] 如图,由切线长定理知|AM|=|MB|,|PD|=|PA|, |DN|=|NB|, 所以|PM| -|PN|=|PA|+|AM|-|PD|-|DN|=|MB|-|NB|=2,由双曲线的定义知点 P 的轨迹是以 M, N 为焦点,实轴长为 2 的双曲 线的右支(除去点 B).
2 2

x2 y2

x2

x2 y2

9.A [解析] 由题意|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, 所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.

故 F 点的轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线下支.又 c=7,a=1,b =48, 所以轨迹方程为 y - =1(y≤-1). 48 → 10.2x+4y+1=0 [解析] 设点 Q 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x1,y1).根据 2OQ → =QP得 2(x,y)=(x1-x,y1-y), ? ?x1=3x, 即? ?y1=3y. ? ∵点 P 在直线 l 上,∴2x1+4y1+3=0,把 x1=3x,y1=3y 代入上式并化简,得 2x+ 4y +1=0,为所求轨迹方程. 1 2 2 11.x +y =4 [解析] 延长 F1D 与 F2A 交于 B,连接 DO,可知|DO|= |F2B|=2,∴动 2 2 2 点 D 的轨迹方程为 x +y =4. 2 12.y =2(x-1) [解析] F(1,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则 x1+x2=2x, 2 y1+y2=2y,y2 1=4x1,y2=4x2,后两式相减并将前两式代入得(y1-y2)y=2(x1-x2),当 x1≠ x2 时, y1-y2 y1-y2 y 2 ×y=2,又 A,B,M,F 四点共线, = ,代入得 y =2(x-1),当 x1= x1-x2 x1-x2 x-1 x2 时,M(1,0),也适合这个方程,即 y2=2(x-1)是所求的轨迹方程. 13.②③ [解析] ①曲线 C 经过原点,这点不难验证是错误的,如果经过原点,那么 a=1,与条件不符;②曲线 C 关于原点对称,这点显然正确,如果在某点处|PF1||PF2|=a2, 关于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|=a ;③三角形的面积 S△F1F2P2≤ ,很显然 S 2 2 1 1 a △F1F2P= |PF1||PF2|sin∠F1PF2≤ |PF1||PF2|= .所以②③正确. 2 2 2 → → 14.解:由QM=λ MP知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上,故可设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则 x2-y0=λ (y-x2),则 y0=(1+λ )x2-λ y.① → → 再 设 B(x1 , y1) , 由 BQ = λ QA , 即 (x - x1.y0 - y1) = λ (1 - x , 1 - y0) , 解 得 ? ?x1=(1+λ )x-λ , ? ② ?y1=(1+λ )y0-λ . ? ? ?x1=(1+λ )x-λ , 将①式代入②式,消去 y0,得? ③ 2 2 ? ?y1=(1+λ ) x -λ (1+λ )y-λ . 2 2 2 又点 B 在抛物线 y=x 上,所以 y1=x1,再将③式代入 y1=x1,得 2 2 2 (1+λ ) x -λ (1+λ )y-λ =((1+λ )x-λ ) , 2 2 2 2 2 (1+λ ) x -λ (1+λ )y-λ =(1+λ ) x -2λ (1+λ )x+λ , 2λ (1+λ )x-λ (1+λ )y-λ (1+λ )=0. 因 λ >0,两边同除以 λ (1+λ ),得 2x-y-1=0. 故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1. c 1 = , a 2 15.解:(1)依题意得 2 a -a=2,
2 2

2

x

2

a2

? ? ? ? ?c
2

解得?

∴b =a -c =3,所求椭圆方程为 + =1. 4 3 ?a=2, ? (2)方法一:设点 T 的坐标为(x,y). 当 P,T 重合时,点 T 坐标为(2,0)和点(-2,0), → → → → 当 P,T 不重合时,由PT·TF1=0,得PT⊥TF1.

? ?c=1,

2

2

x2 y2

→ → → → → → 由|F2Q|=2a=4 及椭圆的定义,|PQ|=|QF2|-|PF2|=2a-|PF2|=|PF1|, 所以 PT 为线段 F1Q 的垂直平分线,T 为线段 F1Q 的中点. 1 → → 在△QF1F2 中,|OT|= |F2Q|=a=2, 2 2 2 所以有 x +y =4. 2 2 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x +y =4. 方法二:设点 T 的坐标为(x,y). 当 P,T 重合时,点 T 坐标为(2,0)和点(-2,0), → → → → 当 P,T 不重合时,由PT·TF1=0,得PT⊥TF1. → → → → → → 由|F2Q|=2a=4 及椭圆的定义,|PQ|=|QF2|-|PF2|=2a-|PF2|=|PF1|, 所以 PT 为线段 F1Q 的垂直平分线,T 为线段 F1Q 的中点. x′-1 x= , 2 设点 Q 的坐标为(x′,y′),则 y′ y= , 2 ? x ′= 2 x + 1 , ? 因此? ① ?y′=2y. ? → 2 2 由|F2Q|=2a=4,得(x′-1) +y′ =16,② 2 2 将①代入②,可得 x +y =4. 2 2 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程为 x +y =4.③

? ? ? ? ?

(3)直线 l:x= =4 与 x +y =4 相离, 过直线上任意一点 M(4,t)可作圆 x +y =4 的两条切线 ME,MF, 所以 OE⊥ME,OF⊥MF, 所以 O,E,M,F 四点都在以 OM 为直径的圆上, 2 2 ? t? ?t? 2 其方程(x-2) +?y- ? =4+? ? .④ ? 2? ?2? EF 为两圆的公共弦,③-④得 EF 的方程为 4x+ty-4=0, 显然无论 t 为何值,直线 EF 经过定点(1,0). 【难点突破】 |-2 2| 16.解:(1)设圆的半径为 r,圆心到直线 l1 距离为 d,则 d= 2 =2,圆 C1 的方 2 1 +1 2 2 程为 x +y =4. (2)设动点 Q (x,y),A(x0,y0),AN⊥x 轴于 N,N(x0,0), ? ?x=x0, 由题意,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)(x0,0),所以? ?y=my0, ? x = x , 0 ? 2 2 ? ?x,1y?代入 x2+y2=4,得x + y =1. 即? 将 A ? m ? 2 1 4 4m ? ? y0= y,
2 2

a2 c

2

2

? ?

m

(3)m=

3 x y 时,曲线 C 方程为 + =1,设直线 l 的方程为 y=-x+b, 2 4 3

2

2

设直线 l 与椭圆 + =1 交点为 B(x1,y1),D(x2,y2), 4 3 ? y =- x +b, ? 2 2 联立方程? 2 得 7x -8bx+4b -12=0, 2 ?3x +4y =12, ?

x2 y2

8b 4b -12 2 2 因为 Δ =48(7-b )>0,解得 b <7,且 x1+x2= ,x1x2= . 7 7 ∵点 O 到直线 l 的距离 d= |b| 4 6 2 2 ,BD= 2 (x1+x2) -4x1x2= 7-b ,∴S△OBD= 7 2

2

1 |b| 4 6 2 3 2 7 2 · · 7-b = b (7-b2)≤ 3当且仅当 b2=7-b2 即 b2= <7 时取到最大值, 2 7 7 2 2 ∴△OBD 面积的最大值为 3.


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