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二项式定理知识点及跟踪典型例题


二项式定理知识点及典例跟踪练习(含答案)
[重点,难点解析] 1.熟练掌握二项式定理和通项公式,掌握杨辉三角的结构规律 二项式定理: 式系数(0≤r≤n).通项用 Tr+1 表示,为展开式的第 r+1 项,且 , 叫二项

, 注意项的系数和二项式系数的区别.

2.掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式. ①对称性: ②增减性和最大值: 先增后减.n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大,为 . ;n 为奇

数时,中间两项的二项式系数相等且最大,为 ③

[例题分析]: 一、与通项有关的一些问题

例 1.在

的展开式中,指出 1)第 4 项的二项式系数 2)第 4 项的系数

3)求常数项

解:展开式的通项 1) ,二项式系数为 ; . ;

为展开式中的第 r+1 项.

2)由 1)知项的系数为 3)令 6-3r=0, ∴ r=2, ∴ 常数项为

例 2.若

的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项.

分析:通项为

,

1

∵ 前三项的系数为

,且成等差,∴



解得:n=8.

从而

,要使 Tr+1 为有理项,则 r 能被 4 整除.

例 3.1)求 解:

的常数项;2)求(x2+3x+2)5 的展开式中 x 的系数.

1) 令 6-2r=0, r=3,∴ 常数项为

通项 .



2)(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 ∴ 展开式中含 x 项由(x+1)5 中常数项乘(x+2)5 的一次项与(x+1)5 的一次项乘(x+2)5 的常数项相加得到.即为 ,因而其系数为 240.

例 4.(a+b+c)10 的展开式中,含 a5b3c2 的系数为_________. 分析:根据多项式相乘的特点,从(a+b+c)10 的十个因式中选出 5 个因式中的 a,三个因式中的 b,两个因式中的 c 得到,从而 a5b3c2 的系数为 .

例 5.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100 的展开式中 x3 的系数为______. 分析: (法一)展开式中 x3 项是由各二项展开式中含 x3 项合并而形成.因而系数为

2

(法二)不妨先化简多项式,由等比数列求和公式:原式= 要求 x3 项只要求分子的 x4 项,因而它的系数为 .

,

二、有关二项式系数

的问题.

例 6.(2x+xlgx)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 1120,则 x=____. 分析:二项式系数最大的为第 5 项,

解得:x=1 或

.

例 7.

的展开式中系数最大的项为第______项.

分析:展开式中项的系数不同于二项式系数,只能用数列的分析方法. 设第 r+1 项的系数最大,

则 三、赋值法:

解得:

, ∴ r=7,

因而第 8 项系数最大.

例 8.已知 1)求 a0, 3)求(a0+a2+a4) -(a1+a3+a5) 5)|a0|+|a1|+……+|a5| 分析: 1)可以把(1-2x)5 用二项式定理展开求解.从另一个角度看,a0 为 x=0 时右式的结果,因而令 x=0, ∴ (1-0)5=a0, ∴ a0=1. 2)令 x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又 a0=1,∴ a1+a2+a3+a4+a5=-2. 3)令 x=1,得 a0+a1+a2+……+a5=-1 (*) 因而,(a0+a2+a4) -(a1+a3+a5)
2 2 2 2

2)求 a1+a2+a3+a4+a5 4)求 a1+a3+a5

令 x=-1, 得 35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**)

3

4)联立(*),(**)两方程,解得 a1+a3+a5=-122.

5) 因而 |a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5 的展开式的所有系数和, ∴ |a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243. 小结:①求展开式的系数和只需令 x=1 可解; ② 赋值法也需合情合理的转化.

例 9. 已知 则 n=_________.

, 其中 b0+b1+b2+……+bn=62,

分析:令 x=1,则 由已知, 2n+1-2=62, ∴ n=5. ∴ 2n+1=64,

,

例 10.求

的展开式中有理项系数的和.

分析:研究其通项

. 令 t=-1,

显然当 r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n 的奇数项的系数和. 设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn 令 t=1,即 3n=a0+a1+a2+……+an 即 1=a0-a1+a2-……+(-1) an
n

上两式相加,解得奇数项系数和

.

四、逆用公式 例 11.求值 S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1

解:

例 12.求值:

原式=

4

五、应用问题 例 13.求证:32n+2-8n-9 能被 64 整除.

证明:

能被 64 整除. 例 14.9192 除以 100 的余数为________. 分析:9192=(90+1)92

∴ 被 9192100 除的余数为 81. 小结:若将 9192 整理成(100-9)92

随之而来又引出一新问题,即 992 被 100 除的余数是多少,所以运算量较大. 例 15.求 0.9983 的近似值(精确到 0.001)

解:

选择题 1.(a+b+i) 的展开式中含 ab 的项的系数是( ) A、 B、 C、 D、
10

2.在(1-x )(1+x) 的展开式中,x 的系数是( ) A、-297
2

B、-252
2 k

C、297
3

D、207

3.如果展开式(1+x) ·(1-x+x ) 中,x 的系数是 0,那么自然数 k 的值是( ) A、2 B、3 C、4 D、5
5

4.若 A、210

展开式中第 6 项系数最大,则不含 x 的项是( ) B、120 C、461 D、416

5.在 A、4

的展开式中,系数是有理数的项共有( )项 B、5
2 3

C、6
10

D、7 )

6.f(x)=(1+x)+(1+x) +(1+x) +……+(1+x) 的展开式中各项系数之和等于( A、2 -2
11

B、2 -1

11

C、2

11

D、2 +1 答案与解析

11

答案:1.C 解析:

2.D

3.C

4.A

5.A

6.A

1. 答案: C.解法: 2.答案 D.

, s∴ 含 ab 的项为 r=8 的项, 即第 9 项, 系数为

.

3.答案:C.解法:∵(1+x) ·(1-x+x ) =(1+2x+x )·[1+(x -x)] ,其中 x 系数必与[1+(x -x)] 中 x0,x1, x2 系数有关.又 (1-x+x ) 的通项是: 即有 k -3k-4=0∴ k1=4, k2=-1 (舍).
2 2 k

2

2 k

2

2

k

2

2

k

故 x0 的系数为

, x'的系数为

, 2 的系数为 x



4.答案:A.解法:n=10,

x

3(10-x)

·x =1,r=6

-2r



为不含 x 的项.

5.答案:A 解法:∵





为有理数,即

为整数,则 r 为 2,8,14,20,故有 4 项.

6.答案:A.解法:取 x=1,

6

7

8

9


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